第4章 多元函数微分学

1、推广推广第四章第四章 多元函数微分学多元函数微分学 一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意: : 善于类比善于类比, , 区别异同区别异同一元函数、极限与连续一元函数、极限与连续 一元函数的导数一元函数的导数 一元函数的极值一元函数的极值 4.1.1 空间解析几何简介空间解析几何简介 一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 4.1 4.1 多元函数、极限与连续多元函数、极限与连续 八个卦限八个卦限zyx0一、一、八个卦限八个卦限zyx0. 八个卦限八个卦限zyx0MxyNz(x,y,z)M (x,y,z)点的坐标点的坐标0zyx0MxyNz(x,y,z)(x,y,z

2、)坐标和点坐标和点 M0zyx0NM点到坐标面的距离点到坐标面的距离M点到原点的距离点到原点的距离M点到坐标轴的距离点到坐标轴的距离PQ到到z轴轴:221yxd 到到x轴轴:到到y轴轴:222yzd 223zxd M(x,y,z)d1d2d3.0zyx.P2.P1二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离设设P1(x1,y1,z1)和和P2(x2,y2,z2)为空间任意两点，则其距离为为空间任意两点，则其距离为 例例1 1 求证：以求证：以P1(- -1,4,8)、P2(- -2,7,3)和和P3(2,3,13)三点为三点为顶点的三角形是等腰三角形。顶点的三角形是等腰三角形。证明：证明：因为因为

3、所以，此三角形是等腰三角形。所以，此三角形是等腰三角形。1213PPPP21221221221)()()(zzyyxxPP35)83()47() 12(22221PP35)813()43() 12(22231PP则方程则方程(4-2)(4-2)就叫做曲面就叫做曲面S的方程，而曲面的方程，而曲面S就叫做方就叫做方程程(4-2)(4-2)的图形。的图形。三、空间曲面与曲线三、空间曲面与曲线若曲面若曲面S与三元方程与三元方程 F(x,y,z)=0 (4-2) (4-2)有下述关系：有下述关系：(1)(1)曲面曲面S上任一点的坐标都满足方程上任一点的坐标都满足方程(4-2)(4-2)；(2)(2)不在

4、曲面不在曲面S上的点的坐标都不满足方程上的点的坐标都不满足方程(4-2)(4-2)。1.1.平面方程平面方程一般式方程：一般式方程：点法式方程：点法式方程：其中其中A,B,C是平面法向量是平面法向量Ax+By+Cz+D=0，截距式方程：截距式方程：2220ABC000()()()0A xxB yyC zz1xyzabc2.2.二次曲面方程二次曲面方程把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。为了了把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。为了了解三元方程解三元方程F(x,y,z)=0所表示的曲面的形状，通常采用所表示的曲面的形状，通常采用平行平行截口法截口法。即用坐标面和平行于坐标面的平面与曲线相

5、截，。即用坐标面和平行于坐标面的平面与曲线相截，考察其交线（即平行截口法）的形状，然后加以综合，从考察其交线（即平行截口法）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。而了解曲面的全貌。同学们可试用平行截口法考察下面的二次曲面。同学们可试用平行截口法考察下面的二次曲面。xzy0平行截口法平行截口法用用z = a截曲面截曲面用用y = b截曲面截曲面用用x = c截曲面截曲面1. 椭圆抛物面椭圆抛物面zqypx22222 xzy0平行截口法平行截口法用用z = a截曲面截曲面用用y = b截曲面截曲面用用x = c截曲面截曲面1. 1. .zqypx22222 用用z = a截曲面截曲面用用y =

6、 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面xzy0zqypx 2222平行截口法平行截口法 （马鞍面）（马鞍面）2.2.双曲抛物面双曲抛物面 平行截口法平行截口法2. 2. 双曲抛物面双曲抛物面 （马鞍面）（马鞍面）xzy0用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面zqypx 2222平行截口法平行截口法2.2.双曲抛物面双曲抛物面 （马鞍面）（马鞍面）xzy0用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面zqypx 222212222 byaxabzxyo3.3.椭圆椭圆zxy = 0y12222 bzaxo4.4.双曲双曲

7、pxy22 zxyo5.5.抛物抛物曲线曲线 C 00),(xzyfCy zo绕绕 z轴轴6.6.旋转旋转的方程的方程曲线曲线 C 00),(xzyfxCy zo绕绕 z轴轴6.6.旋转旋转的方程的方程曲线曲线 C00),(xzyf旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 SCSMN), 0(11zy zz 1zPMPy |11y1zy zo绕绕 z轴轴22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z)6.6.旋转旋转的方程的方程x S曲线曲线 C 00),(xzyf旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 SxCSMN), 0(11zyzz 1zPMPy |11y1z0),( 22 zyxfS：.绕

8、绕 z轴轴.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z)6.6.旋转旋转的方程的方程y zo Sx zbyax 双曲线双曲线0y7.7.绕绕 x 轴一周轴一周x zbyax 双曲线双曲线0zy绕绕 x 轴一周轴一周7.7.x0zy 得得双双叶叶旋旋转转双双曲曲面面122222 bzyax. zbyax 双曲线双曲线7.7.绕绕 x 轴一周轴一周axyo8.8.上题双曲线上题双曲线绕绕 y 轴一周轴一周 012222 zbyax axyoz上题双曲线上题双曲线绕绕 y 轴一周轴一周 012222 zbyax 8.8.a.xyoz 得单叶旋转双曲面得单叶旋转双曲面122222 byazx8.

9、8.上题双曲线上题双曲线绕绕 y 轴一周轴一周 012222 zbyax 0 0 2222 =z=byax9.9.旋转锥面旋转锥面两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周x yo 0 0 2222 =z=byax两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周x yoz9.9.旋转锥面旋转锥面x yoz 0 0 2222 =z=byax两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周得旋转锥面得旋转锥面022222 bzyax9.9.旋转锥面旋转锥面yoz 02 xazy10.10.抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周yoxz 02 xazy抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周10.10.yay

10、xz22 .oxz生活中见过这个曲面吗？生活中见过这个曲面吗？.10.10. 02 xazy抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周得旋转抛物面得旋转抛物面13. 例例四、空间曲线一般方程四、空间曲线一般方程空间曲线可看作两个曲面的交线。空间曲线可看作两个曲面的交线。设设F(x,y,z)=0和和G(x,y,z)=0是两个曲面的方程，它是两个曲面的方程，它们的交线为们的交线为C。因为曲线。因为曲线C上的任何点的坐标应同时上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组这个方程叫做空间曲线这个方程叫做空间曲线C的一般方程。的一般方程。0),(0),(zy

11、xGzyxF其交线都是xOy平面上的圆周222Ryx由此可看出表示空间曲线的方程组不是唯一的。例例1 1 考虑方程组考虑方程组与与的交线。02222zRzyx2222222RyxRzyx二、邻域二、邻域一、多元函数的概念一、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性4.1.2 4.1.2 多元函数概念多元函数概念 一、多元函数概念一、多元函数概念 定义定义1 1 设有三个变量设有三个变量x,y,z，若变量，若变量x,y在允许的区域在允许的区域内任意取定一对值时，变量内任意取定一对值时，变量z按着一定的规律总有唯按着一定的规律总有唯一确定的值与之对

12、应，则变量一确定的值与之对应，则变量z称为称为x,y的二元函数，的二元函数，记作记作z=f(x,y)其中其中x,y称为自变量称为自变量，z称为因变量。称为因变量。以一点P0(x0,y0)为圆心，长度为半径的圆形区域（不包括圆周，记做 ) ,其平面区域是二、邻域二、邻域 ( (圆邻域圆邻域) )( (球邻域球邻域) )()(| ),(),(20200 yyxxyxPU),(00yxU2020)()(yyxx其中其中P(x,y)是邻域内的一点。是邻域内的一点。)arcsin()2(22yxz 1)1(221 yxz例例2 2 求下列函数定义域求下列函数定义域,| ),( yxyxD解：解：(1)函

13、数函数z的定义域是整个的定义域是整个xOy平面，是无界开区平面，是无界开区域，即域，即10| ),(22 yxyxD(2)函数函数z的定义域是整个的定义域是整个xOy平面上，中心在原点，半径平面上，中心在原点，半径为为1 1的圆周及其圆内部各点的全体，它是有界闭区域，即的圆周及其圆内部各点的全体，它是有界闭区域，即 xyz1ln1)1( 222242511)2(yxyxz 例例3 3 求下列函数的定义域求下列函数的定义域10, 0| ),(xyxyxD且解：解：(1)函数函数z的定义域是无界区域，即的定义域是无界区域，即 0425, 1| ),(2222 yxyxyxD(2)函数函数z的定义域

14、是的定义域是 即椭圆即椭圆x2+4y2=25内与圆内与圆x2+y2=1外的公共部分，它外的公共部分，它是不包括圆周和椭圆上的点的开区域。是不包括圆周和椭圆上的点的开区域。4.1.3 二元函数的极限与连续性二元函数的极限与连续性 Ayxfyyxx),(lim00Ayxf),(lim020200)()(yyxxPP定义定义2 2 设二元函数设二元函数f(x,y)在点在点P0(x0,y0)的某一邻域内的某一邻域内有定义有定义( (在在P0处可以无定义处可以无定义) )，若，若P(x,y)沿任何路径无沿任何路径无限趋于定点限趋于定点P0(x0,y0)时，函数时，函数f(x,y)无限趋于一个常数无限趋于

15、一个常数A，则称，则称A是函数当是函数当P(x,y)P0(x0,y0)时的极限，记作时的极限，记作或或其中其中是指是指P与与P0间的距离。间的距离。对于该定义，应注意以下两点：对于该定义，应注意以下两点： 1、即使当点即使当点P(x,y)沿着许多沿着许多特殊的方式特殊的方式趋近于趋近于P0时，时，对应的函数值都趋近于同一个常数，也不能判定对应的函数值都趋近于同一个常数，也不能判定),(lim0yxf的存在。的存在。2、当当P沿着两条不同的曲线趋近于沿着两条不同的曲线趋近于P0时，函数时，函数f(x,y)趋近趋近于不同的值，可以断定极限于不同的值，可以断定极限 不存在。不存在。),(lim0yx

16、f解：解：设设 P(x , y) 沿直线沿直线 y = k x 趋于点趋于点 (0, 0) ，则有，则有222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx21kkk 值不同极限不同值不同极限不同 ! !故故f(x,y)在在(0,0)点极限不存在。点极限不存在。22),(yxyxyxf在点在点(0, 0)的极限。的极限。例例4.4. 讨论函数讨论函数xyxyyx11lim00例例5 5 求求xyxyyx11lim00 xyxyxyyx) 11(11lim00解：解：xyxyxyyx) 11(lim0011lim00 xyyx21例例6 6 求极限求极限yxyyx)sin(lim02解：解：

17、=)sin(lim02yxyyxxyxyxyx)sin(lim02xyxyxyxyx)sin(limlim02022=(2) 存在；存在；),(lim),(),(00yxfyxyx),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx(3)(3)则称函数则称函数z=f(x,y)在点在点P0(x0,y0)连续，否则称函数连续，否则称函数z=f(x,y)在点在点P0(x0,y0)处间断。处间断。定义定义3 3 设函数设函数z=f(x,y)满足条件满足条件(1)在点在点P0(x0,y0)及其邻域内有定义；及其邻域内有定义；解解：(1)由前面的由前面的例例5 5讨论可知，函数讨论可知，函数z1当当

18、P(x,y)沿直线沿直线y=kx趋于点趋于点(0,0)时极限不存在，故时极限不存在，故z1的间断点是的间断点是xOy平面平面上的孤立点上的孤立点(0,0)。 (2)因为函数因为函数z2的定义域是的定义域是1+22yx122 yx故函数故函数z的间断点是的间断点是221yxxyz11222yxz例例7 7 求下列函数的间断点求下列函数的间断点(2)(1)4.2 4.2 偏导数与全微分偏导数与全微分 4.2.1 4.2.1 偏导数的概念及计算偏导数的概念及计算定义定义1 1 设函数设函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，的某一邻域内有定义，当当y固定在固定在y0而而x在在x

19、0处有增量处有增量x时，相应的函数有增时，相应的函数有增量量f(x0+x,y0) - -f(x0,y0)，称其为函数在点称其为函数在点(x0,y0)处对处对x的的偏增量偏增量 。), (), (lim000yfyfx存在，存在，则称此极限为函数则称此极限为函数z=f(x,y)在在点点(x0,y0)对对x的的偏导数，记为偏导数，记为;),(00yxxz;),(00yxxfxx00 x极限极限定义定义2 2 设函数设函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)的某邻域内的某邻域内)(0 xf)()(00 xfxxfx0limxx; ),(00yxfx;),(00yxxz0ddxxxy. ),(001

20、yxf xyxfyxxfx),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx),(00yxfx注意：注意：0),(dd0yyyxfy同样可定义对同样可定义对 y的偏导数的偏导数 lim0y),(00yxfy若函数若函数 z = f (x , y) 在域在域 D 内每一点内每一点 (x , y) 处对处对 x,xzxfxz则该偏导数称为偏导函数则该偏导数称为偏导函数, ,也简称为也简称为偏导数偏导数 ,),(, ),(1yxfyxfx),(, ),(2yxfyxfy) ,(0 xf),(0 xfy记为yy00y或或 y 偏导数存在偏导数存在 ,yzyfyz),(zyxfx例如例如, , 三

21、元函数三元函数 u = f (x, y,z) 在点在点(x,y,z)处对处对 x 的的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数。偏导数的概念可以推广到二元以上的函数。 lim0 x), (zyf),(zyfxxx?),(zyxfy?),(zyxfzx偏导数定义为偏导数定义为( (请自己写出请自己写出) )例例8 8 求求z=x2+3xy+y2在点在点(1,1) 处的偏导数。处的偏导数。解法解法1:1:xz) 1 , 1 (xz解法解法2:2:) 1, 1(xz) 1, 1(yz,32yx yzyx23 , 51312) 1 , 1 (yz51213132xx1)32(xx51xz231yy 1)2

22、3(yy51yz例例9 9 0002),(2222yxyxyxxyyxf当当设解解: :xxxx00)(02lim20 xfxfx) 0 , 0 () 0 ,0 (lim0)0 , 0( xf=0求求)0 , 0(),0 , 0(yxffyyyy0)(002lim20yfyfy) 0 , 0 ()0 , 0 (lim0)0 , 0( yf=0例例1010 求求222zyxr解解: :xr2222zyxx2rx,ryyrrzzr的偏导数。的偏导数。二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义: :00),(dd00 xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfz00),(dd00yyyxfyy

23、fxxyy是曲线是曲线0),(xxyxfz在点在点M0处的切线处的切线M0Tx对对 x 轴的斜率。轴的斜率。在点在点M0 处的切线处的切线M0Tx对对y轴的斜率。轴的斜率。是曲线是曲线yxz0 xyToxT0y0M函数在某点各偏导数都存在函数在某点各偏导数都存在, ,但在该点不一定连续但在该点不一定连续. .显然显然例如例如, ,0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz0)0,(dd)0, 0(xxfxfx0), 0(dd)0, 0(yyfyfy00注意：注意：在上节已证在上节已证f (x , y)在点在点(0,0)并不连续并不连续! !4.2.2 4.2.2 全微分全微分4.2.

24、2.1 4.2.2.1 定义定义 设函数设函数z=f(x,y)在点在点(x,y)的某一邻域内有定义，的某一邻域内有定义，给给x以增量以增量x，同时给，同时给y以增量以增量y时，则时，则z=f(x+x,y+y)- -f(x,y)，称为函数称为函数f(x,y)在点在点(x,y)处对处对x的的全增量。全增量。一、全微分的定义、全微分的定义 定义定义 若函数若函数 z = f ( x, y )在定义域在定义域 D 的内点的内点( x , y ),(),(yxfyyxxfz可表示成可表示成, )(oyBxAz其中其中A , B 不依赖于不依赖于 x, y , ,仅与仅与 x , y 有关有关，称为函数称

25、为函数f(x,y)在点在点 (x, y) 的的全微分全微分, , 记作记作BdydxAfz+=d=d若函数在域若函数在域 D 内各点都可微内各点都可微, ,22)()(yx则称函数则称函数 f ( x, y ) 在点在点( x, y) 可微可微，处全增量处全增量则称此函数在则称此函数在D内可微内可微. .yBxA+考虑考虑 ，它对一切，它对一切x,y都是都是成立的。显然对成立的。显然对y=0也成立，于是也成立，于是)(+=oyBxAz)(+=oxAz即即xoAxz)(+=)()(limlim00 xAxoAxzxx其中因此因此Axz 同理同理Byzdyyzdxxzdz 二元函数的全微分可写成二

26、元函数的全微分可写成推广三元函数推广三元函数u=f(x,y,z)的全微分公式为的全微分公式为dzzudyyudxxudu(2)偏导数连续偏导数连续),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA下面两个定理给出了可微与偏导数的关系下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: :(1)函数可微函数可微函数函数z = f (x, y)在点在点(x, y)可微可微),(lim00yyxxfyx由微分定义由微分定义 : :得得zyx00lim0),(yxf函数在该点连续函数在该点连续偏导数存在偏导数存在 函数可微函数可微 即即例例1 1. . 计算函数计算函数z=x2y+y2的全微分的全微分。22y

27、yxz解：解：因为因为xz yz,2xyyx22定理定理1 1 ( (充分条件充分条件) )yzxz,若函数若函数z=f(x,y)的偏导数的偏导数dyyxxydxdz)2+(+2=2在点在点P(x,y)连续，则函数在该点连续，则函数在该点可微分可微分。所以所以例例2 2. .计算函数计算函数的全微分的全微分. . zyeyxu2sin解：解：因为因为udxd1yyd) cos(221zeyzydzyezyzzyzyxyeuzeyuu=,+2cos21=, 1=二、高阶偏导数二、高阶偏导数设设 z = f (x , y)在域在域 D 内存在连续的偏导数内存在连续的偏导数),(, ),(yxfyz

28、yxfxzyx若这两个偏导数仍存在偏导数，若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是则称它们是z = f (x , y) )(xz)(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy的的二阶偏导数二阶偏导数。按求导顺序不同，有下列四个二阶偏导数：按求导顺序不同，有下列四个二阶偏导数：22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx类似可以定义更高阶的偏导数类似可以定义更高阶的偏导数. .例如，例如，z = f (x , y)关于关于x的三阶偏导数为的三阶偏导数为3322)(xzxzxz = f (x , y)关于关于x 的的n1阶偏导数，再关于阶偏导数，再关于

29、y 的一阶的一阶) (yyxznn1偏导数为偏导数为11nnxz例例3 3 求函数求函数yezxsin解解：xz22xzyzxyz2yxz2 22 yz注意：注意：此处此处,22xyzyxz但这一结论并不总成立但这一结论并不总成立. .yexsinyexcosyexsinyexcosyexcosyexsin的二阶偏导数的二阶偏导数 ,D)()(内连续都在区域和若x,yfx,yfxyyxxyyxff则则定理定理2(证明略证明略) 例例4 4 证明函数证明函数22lnyxz02222yzxz证明：证明：xz22xz满足方程满足方程22yxx22222)(2)(yxxxyxyz22yxy22222)

30、(yxxy22yz22222)(2)(yxyyyx22222)(yxyx所以所以02222yzxz例例5.5. 证明函数证明函数222,1zyxrru满足拉普拉斯满足拉普拉斯0222222zuyuxu证明：证明：xu22xu利用对称性，有利用对称性，有,3152322ryryu222222zuyuxu方程方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0内容小结内容小结1. 1. 偏导数的概念及有关结论偏导数的概念及有关结论定义；记号；几何意义定义；记号；几何意义函数在一点偏导数存在函数在一点偏导数存在函数在此点连续函数在此点连

31、续混合偏导数连续混合偏导数连续与求导顺序无关与求导顺序无关2. 2. 偏导数的计算方法偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法求一点处偏导数的方法先代后求先代后求先求后代先求后代利用定义利用定义 求高阶偏导数的方法求高阶偏导数的方法逐次求导法逐次求导法( (与求导顺序无关时与求导顺序无关时, , 应选择方便的求导顺序应选择方便的求导顺序) )一元复合函数一元复合函数)(),(xuufy求导法则求导法则xuuyxydddddd多元复合函数求导的链式法则多元复合函数求导的链式法则4.3 4.3 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 xvvz一、多元复合函数求导法则一、多元复合函数求导法则定理

32、定理3 3 若函数若函数有连续处在点),(),(, ),(yxyxvyxu),(vufz 处有连续偏导数处有连续偏导数, ,),(vu在点则复合函数则复合函数偏导数，偏导数，xzyzyuuzyvvzxuuzzvuyxyx),(),(=yxyxfz对对x及及y的偏导的偏导数存在且有数存在且有推广推广: : 设下面所涉及的函数都可微设下面所涉及的函数都可微 . .1)1)中间变量是一元函数的情形中间变量是一元函数的情形. .例如例如, ,)(, )(, ),(tvtuvufzdtdzdtduuzdtvdvzzvutt2)2)中间变量多于两个的情形中间变量多于两个的情形. . 例如例如, , ),(

33、wvufz tzddzwvuttttuuzddtvvzddtwwzdd)(, )(, )(twtvtu又如又如, ,),(, ),(yxvvxfz当它们都具有可微条件时当它们都具有可微条件时, , 有有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意: : 这里这里xzxfxz表示固定表示固定y对对x求导求导, ,xf表示固定表示固定v对对x求导求导口诀口诀: : 分段用乘，分叉用加，单路全导，叉路偏导分段用乘，分叉用加，单路全导，叉路偏导xfxvvfyvvf与不同不同, ,v例例1 1 设设,ln22xyvyxuvezu.,yzxz求解解: :xzxv 2ln xyxxyx22)ln(2yzx

34、uuzxvvzyvuyuuzyvvzzvuyxyxyv 2ln yyxxyy22)ln(2xvu例例2 2 设设 .ddtzztvutttzdd)1(4)23(sec222txyxt txxzddtyyzddtz求全导数求全导数,1),23tan(2txyxtz, ty 解解: :注意：注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到验证解的问题中经常遇到, ,下列两个例题有助于掌握下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号这方面问题的求导技巧与常用导数符号. .)21()23(sec22tyxt )23(sec322yxt

35、)23(sec)2143(223yxttt例例3 3 设设,)1 (yxyzyzxz,求解解: :xz 12)1 (yxyyxuuz,1xyuyv vuz xvvz)1ln(1)1 (xyxyxyxyyyuuzyvvzyz zvuyyx二、隐含数的微分法二、隐含数的微分法1 1、一个方程的情形、一个方程的情形1)1)设方程设方程 0),(yxF确定函数确定函数)(xyy, ,求求dxdyxF 0 定理定理4.54.5yxFFdxdy 方程两边对方程两边对 x 求导，得求导，得dxdyFy ),(yxFu xy例例1.1.设设122 yx求求dxdy及及22dxyd解解：法：法1 1122 yx

36、)y,x(FdxdyyxFF yx22 22dxyd dxdydxd2yyxy 31y yxdxd2yyxxy 322yxy 法法2 2 两边关于两边关于x求导求导022 yyxyxy yx 2 2）设方程设方程0 )z , y,x(F确定二元隐函数确定二元隐函数)y,x( zz 求求yzxz , )z ,y,x(Fu xF zxFFxz yzFz zyFFyz xyz方程两边对方程两边对x求偏导，得求偏导，得xzFz 0方程两边对方程两边对y求偏导，得求偏导，得yF 0定理定理4.64.6例例2.2.设设04222 zzyx求求22xz,yz,xz 解：解：法法1 1zzyx)z ,y,x(

37、F4222 xFx2 ,yF,y 2 42 zFzxz zxFF zx 2.zy 222xz xzx2)2()()2(zxzxz32222)z(x)z( yz, zyFF zxx 23224)z(y 法法2 2 两边关于两边关于x求导求导0422 xxzz zx两边关于两边关于y求导求导0422 yyzz zy例例3.3.设设0 xyzez, ,求求yxz2解解),(zyxFxyzezxz zxFF xyeyzz xyeyzzyxz 2)(xzy )(xyeyzyz2)()()(xyexyzeyzxyeyzyzzzz3222)()(xyeyxxyzeezzzzyz zyFF xyexzz 设设

38、 00)v ,u, y,x(G)v ,u, y,x(F求求yv,xv,yu,xu 确定了隐函数确定了隐函数: :)y,x(uu )y,x(vv, 方程两边对方程两边对x求偏导求偏导, ,得得即即 xvuxvuGxvGxuGFxvFxuFxF xuFu xvFv 0 xG xuGu xvGv 0 二二. .方程组的情形方程组的情形解方程组即得解方程组即得例例4.4. 设设 10 xvyuyvxu求求yv,xv,yu,xu 方程两边对方程两边对x 求偏导，得求偏导，得xuxu 即即 vxvxxuyuxvyxux xu,yxyvxu22 xv22yxxvyu 解解 xvy 0 xuy xvxv 0

39、，方程两边对，方程两边对y 求导求导, ,得得 10 xvyuyvxu 00yvxyuyuyvyvyux即即 uyvxyuyvyvyyux yu,yxyuxv22 yv22yxyvxu 例例5.5.10222zyxzyx, ,求求.,dzdydzdx设设方程两边对方程两边对z 求导，得求导，得解解01dzdydzdx0222zdzdyydzdxx 1dzdydzdxzdzdyydzdxx即即dzdydzdx;xyyz.xyzx一元函数与二元函数的比较一元函数与二元函数的比较一元函数一元函数 二元函数二元函数 定义域定义域 数轴上的区间数轴上的区间 平面中的区域平面中的区域 图像图像 平面中的曲

40、线平面中的曲线 空间中的曲面空间中的曲面 极限极限 单极限单极限 二重极限二重极限 微分学微分学 导数与微分导数与微分 偏导数与全微分偏导数与全微分 积分学积分学 定积分定积分 二重积分二重积分 一、多元函数的极值一、多元函数的极值 二、最值应用问题二、最值应用问题三、条件极值三、条件极值4.4 4.4 多元函数的极值多元函数的极值xyz一、多元函数的极值一、多元函数的极值 定义定义 若函数若函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)的某邻域内有的某邻域内有则称函数在该点取得则称函数在该点取得极大值极大值( (极小值极小值) )。例如例如 : :在点在点 (0,0)有极小值；有极小值；在点在点

41、(0,0)有极大值有极大值; ;在点在点(0,0)无极值无极值. .极大值和极小值极大值和极小值统称为统称为极值极值, ,使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点. .),(),(00yxfyxf或2232yxz22+=yxzyxz xyzxyz说明：说明：使偏导数都为使偏导数都为 0 的点称为驻点的点称为驻点。 例如例如定理定理5 5( (必要条件必要条件) )证明证明: :据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. .0),(,0),(0000yxfyxfyx 但驻点不一定是极值点但驻点不一定是极值点. .有驻点有驻点(0, 0)，但

42、在该点不取极值但在该点不取极值. . 且在该点取得极值，则有且在该点取得极值，则有yxz 若函数若函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)存在偏导数，存在偏导数，因函数因函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)取得极值，故取得极值，故函数函数z=f(x,y0)在在x=x0取得极值取得极值函数函数z=f(x0,y)在在y=y0取得极值取得极值时时, , 具有极值具有极值定理定理6 (充分条件充分条件)具有一阶和二阶连续偏导数，且具有一阶和二阶连续偏导数，且令令则：则：1)当当A0 时取时取极小值极小值. .2)当当3)当当时时, , 没有极值没有极值. .时时, , 不能确定不能确定 , ,

43、 需另行讨论需另行讨论. .0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC若函数若函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)的某邻域内的某邻域内利用定理利用定理1 1、2 2，把具有二阶连续偏导数的函数，把具有二阶连续偏导数的函数z=f(x,y)的极值的求法叙述如下：的极值的求法叙述如下：第一步：解方程组第一步：解方程组 0),(, 0),( yxfyxfyx求得一切实数解，即可求得一切驻点。求得一切实数解，即可求得一切驻点。第二步：对于每一个驻点第二步：对于每一个驻点(x0,y0)，求出

44、二阶偏导数的值，求出二阶偏导数的值A、B和和C。第三步：定出第三步：定出AC- -B2的符号，按定理的符号，按定理2 2的结论判定的结论判定f(x0,y0)是否是极值、是极大值还是极小值。是否是极值、是极大值还是极小值。例例1.1. 求函数求函数解解: :第一步第一步 求驻点求驻点. .得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别. .在点在点(1,0) 处处为极小值;解方程组ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的极值的极值. .求二阶偏导数,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,

45、12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233在点在点( 3,0)处处不是极值不是极值; ;在点在点( 3,2)处处为极大值为极大值. .,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0, 3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在点在点(1,2) 处处不是极值不是极值; ;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC0例例2 2. .讨论函数讨论函数及及是否取得极值是否取得极值. .解：解：显然显然 (0,0) 都是它们的

46、驻点都是它们的驻点 , ,在在(0,0)点邻域内的取值点邻域内的取值, 因此因此 z(0,0) 不是极值不是极值. .因此因此,022时当 yx222)(yxz0)0 , 0( z为极小值为极小值. .正正负负33yxz222)(yxz在点在点(0,0)xyzo并且在并且在 (0,0) 都有都有 02 BAC33yxz可能为可能为0)()0 , 0()0 , 0(222yxz驻点驻点二、最值应用问题二、最值应用问题函数函数 f 在闭域上连续在闭域上连续函数函数 f 在闭域上可达到最值在闭域上可达到最值 最值可疑点最值可疑点 边界上的最值点边界上的最值点特别特别, , 当区域内部最值存在当区域内

47、部最值存在, , 且且只有一个只有一个极值点极值点P时时, , )(Pf为极小为极小 值值)(Pf为最小为最小 值值( (大大) )( (大大) )依据依据假设侧面积与底面积的单位造价为假设侧面积与底面积的单位造价为3k和和4k，则水箱的造价为，则水箱的造价为例例3 3 要建造一容积为要建造一容积为1818立方米的长方形水箱，已知侧面积立方米的长方形水箱，已知侧面积与底面积的单位造价之比为与底面积的单位造价之比为3:43:4，问水箱的尺寸如何才能使，问水箱的尺寸如何才能使费用最省。费用最省。解解: : 设水箱长设水箱长, ,宽分别为宽分别为x , ym , ,则高为则高为,m18xy令得驻点得驻点kZ3)yxkxy4kxyyxk4)11(18604)(18621kyzxx)3,3(yx1804)(18621kxzyy根据实际问题可知最小值在定义域内应