电磁场与电磁波(第三版之)

1、第第1 1章章 矢量分析矢量分析1.1 标量场和矢量场标量场和矢量场1.4 标量场的梯度标量场的梯度1.2 矢量场的通量矢量场的通量 散度散度1.3 矢量场的环流矢量场的环流 旋度旋度 1.5 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理1.1 1.1 标量场和矢量场标量场和矢量场 空间某一区域定义一个空间某一区域定义一个标量函数标量函数, ,其值随空间坐标的变化而变化，有时还可其值随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则称该区域存在一标量场。随时间变化。则称该区域存在一标量场。例如例如, ,在直角坐标下在直角坐标下, , 标量场标量场2225( , , ) (1)(2)xyzux y zxyz 如温度场如

2、温度场, ,电位场电位场, ,高度场等。高度场等。矢量场矢量场2232( , )1xyzx y zxyzxzx yAeee如速度场如速度场, ,电场、磁场等。电场、磁场等。 空间某一区域定义一个空间某一区域定义一个矢量函数矢量函数, ,其大小和方向随空间坐标的变化而变化，其大小和方向随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则称该区域存在一矢量场。有时还可随时间变化。则称该区域存在一矢量场。1.2 1.2 矢量场的通量矢量场的通量 散度散度一、通量一、通量 矢量场的通量 若若S 为闭合曲面为闭合曲面 dsAS 定义矢量定义矢量 A A 沿有向曲面沿有向曲面S 的面积分的面积分dS AS为为矢

3、量矢量 A A 穿过有向曲面穿过有向曲面S 的通量的通量二、散度二、散度10divlimdsAAS直角坐标系中散度的计算公式直角坐标系中散度的计算公式div xyzyxzAAAAA 如果包围点如果包围点P 的闭合面的闭合面S 所围区域所围区域 以任意方式缩小为点以任意方式缩小为点P 时时, , 通量与通量与体积之比的极限存在，定义该极限为矢量场体积之比的极限存在，定义该极限为矢量场A A 在在P 点的散度。即点的散度。即三、散度的物理意义三、散度的物理意义 散度代表矢量场的通量源的分布特性。散度代表矢量场的通量源的分布特性。 A A = = 0 (0 (无源无源） 在矢量场中，若在矢量场中，若

4、 A= 0，称之为有源场，称之为有源场， 称为称为( (通量通量) )源密度；若矢量源密度；若矢量场中处处场中处处 A=0，称之为无源场。，称之为无源场。 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数。矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数。 = = 0 (0 (正源正源) ) A A = = 0 (0 (负负源源) ) A A四、高斯定理四、高斯定理( (散度定理散度定理) )10divlimdSAAS0divlimdSAASn1=-n2n1n2111divdSAAS222divdSAAS)divdVAdSAS高斯定理高斯定理ddiv ddSvv ASAA 对于有限大体积对于有限大体积 ，可将

5、其按如图可将其按如图方式进行分割，对每一小体积元有方式进行分割，对每一小体积元有式中式中S为为 的外表面的外表面 该公式表明了区域该公式表明了区域 中场中场A与边界与边界S上上的场的场A之间的关系。之间的关系。1.3 1.3 矢量场的环流矢量场的环流 旋度旋度一、环流一、环流定义矢量场定义矢量场A沿空间有向闭合曲线沿空间有向闭合曲线C的积分的积分 dcAl为为A的的环流环流二、旋度二、旋度1. 1. 环流密度环流密度 过点过点P 作一微小曲面作一微小曲面S,它的边界曲线记为它的边界曲线记为C,面的法线方与曲线绕向成右手面的法线方与曲线绕向成右手螺旋关系。当螺旋关系。当S 收缩至收缩至P 点附近

6、点附近时时, ,存在极限存在极限0dlimcSSlSSn 环流的计算ACP 该极限值与该极限值与S 的形状无关，但与的形状无关，但与S的方向的方向n 有关。称为有关。称为矢量场矢量场 A A 在在P 点沿点沿n 方向的方向的环流密度环流密度2. 2. 旋度旋度 旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。用用 表示表示rot A它与环流密度的关系为它与环流密度的关系为0dlimro tcnSeSlA在直角坐标系下在直角坐标系下rotxyzxyzxyzAAA AAeee三、旋度的物理意义三、旋度的物理意义

7、 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 点点P的旋度的大小是该点环流密度的最大值。的旋度的大小是该点环流密度的最大值。 点点P的旋度的方向是该点最大环流密度的方向。的旋度的方向是该点最大环流密度的方向。四、斯托克斯定理四、斯托克斯定理d() dc lAASd() dSl AASl0dlimro tcnSSlAe由旋度的定义由旋度的定义 对于有限大面积对于有限大面积S，可将其按如图方可将其按如图方式进行分割，对每一小面积元有式进行分割，对每一小面积元有c)() dS ASdclA斯托克斯定理斯托克斯定理11d() dc lAAS22d() dc lAA

8、S1.4 1.4 标量场的梯度标量场的梯度一、一、 方向性导数与梯度方向性导数与梯度,uxyzc等值面等值面：标量场中量值相等的点构成的面：标量场中量值相等的点构成的面。方向性导数方向性导数 考虑标量场中两个等值面考虑标量场中两个等值面,uuu 00limlimuuuuuuuPMPMl uPNleMuu ne梯度梯度 由方向性导数的定义可知：沿等值由方向性导数的定义可知：沿等值面法线面法线 的方向性导数最大的方向性导数最大。ne故故gradnuuen标量场标量场 在在P点的梯度是一个矢量点的梯度是一个矢量大小：最大方向性导数大小：最大方向性导数方向：最大方向性导数所在的方向方向：最大方向性导数

9、所在的方向, , ,u x y z为标量场为标量场 在在P点沿点沿 方向的方向的方向方向性导数。性导数。其大小与方向其大小与方向 有关有关。le, , ,u x y zle 定义标量函数定义标量函数 沿给定方向沿给定方向 的变化率的变化率。le( , , )u x y z可得可得gradluu elgradgradgradxyzuu exuu eyuu ez在直角坐标系中梯度的计算公式在直角坐标系中梯度的计算公式gradxyzuuuueeeuxyz 1.5 1.5 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理：亥姆霍兹定理： 在有限区域内，矢量场由它的在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度散度、旋度及及边界条件边界条件惟一地确定。惟一地确定。已知已知矢量矢量A