第八节函数的连续性与间断点

1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1第八节第八节 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点一、函数的连续性一、函数的连续性二、函数的间断点二、函数的间断点三、小结三、小结 思考题思考题机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2【引言引言】自然界中的许多现象，如气温的变化、自然界中的许多现象，如气温的变化、河水的流动、动植物的生长等等都是河水的流动、动植物的生长等等都是连续地变化着的；这种现象在数学上连续地变化着的；这种现象在数学上的反映，就是函数的连续性的反映，就是函数的连续性. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3.,

2、),(,),()(00000增增量量的的为为自自变变量量在在点点称称时时终终值值变变到到初初值值从从当当自自变变量量内内有有定定义义在在设设函函数数xxxxxxxUxxUxf 一、函数的连续性1. .【增量增量】.)(),()(00的的增增量量相相应应于于称称为为函函数数xxfxfxxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x xx 00 xx y y )(xfy 【增量的几何解释增量的几何解释】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 42. .【连续的定义连续的定义】.)(, 0)()(lim 0lim, 0,000000处处连连续续在在点点则则称称或或即即时时若若

3、当当xxfyxfxxfyyxxx 【概念描述概念描述】.)(,0)()(limlim,),()(0000000称称为为连连续续点点处处连连续续在在点点则则称称如如果果内内有有定定义义在在设设函函数数xxxfyxfxxfyxUxfyxx 【定义定义1 1】,0 xxx 设设),()(0 xfxfy ,00 xxx 就就是是).()(00 xfxfy 就就是是:故故定定义义又又可可叙叙述述为为连续的本质连续的本质机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 5:定义定义 .)()(,|, 0, 0)(000 xfxfxxxxxf恒恒有有时时使使当当连连续续在在【定义定义2】;)(0的

4、的某某邻邻域域内内有有定定义义在在xxf【注注】f ( (x) )在在x0 0处连续的三个条件处连续的三个条件（三条缺一不可三条缺一不可）; )(lim0 xfxx).()(lim00 xfxfxx , ),( )( 0如果如果内有定义内有定义在在设函数设函数 xUxfy )()(lim00 xfxfxx 则称函数则称函数 y = f (x) 在点在点x0处连续处连续.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 6【注解注解】条件条件0lim0 yx 条件条件)()(lim00 xfxfxx 在本质上是一样的，只是形式上的不同在本质上是一样的，只是形式上的不同条件条件式清楚地反

5、映了连续概念的实质，式清楚地反映了连续概念的实质，即即自变量产生微小变化时，函数自变量产生微小变化时，函数的变化也很微小的变化也很微小. .但在证明具体函数的连续性以及作理论分但在证明具体函数的连续性以及作理论分析时，常应用条件析时，常应用条件式（因为条件式（因为条件要具要具体计算体计算y, ,往往很麻烦）往往很麻烦）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 7【补例补例1】 0, 0, 0, 0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf【证证】, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定义由定义2知知 0)(处处连连续续在在函函数数 xxf),

6、0()(lim0fxfx f (x) 在在x0的邻域内显然有定义的邻域内显然有定义机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 83. .【单侧连续单侧连续】 )()(00处处既既左左连连续续又又右右连连续续在在处处连连续续在在xxfxxf【左连续左连续】.)(),()(),()()(lim000000左左连连续续在在点点则则称称即即存存在在且且等等于于若若xxfxfxfxfxfxfxx 【右连续右连续】.)(),()(),()()(lim000000右右连连续续在在点点则则称称即即存存在在且且等等于于若若xxfxfxfxfxfxfxx 【定理定理】机动机动 目录目录 上页上页

7、下页下页 返回返回 结束结束 9【补例补例2】连连续续性性处处的的在在讨讨论论函函数数0, 0, 2, 0, 2)( xxxxxxf【解解】)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续，右连续但不左连续，. 0)(处处不不连连续续在在点点故故函函数数 xxf机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 104.【连续函数与连续区间连续函数与连续区间】在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数, ,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数, ,或者说或者说函数在该区间上连续函数在该区间

8、上连续. . .,)(,),(上上连连续续在在闭闭区区间间函函数数则则称称处处左左连连续续在在右右端端点点处处右右连连续续并并且且在在左左端端点点内内连连续续如如果果函函数数在在开开区区间间baxfbxaxba 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. .【几何表现几何表现】.,)( baCxf 记记闭区间闭区间a,b上的连上的连续函数的集合续函数的集合机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 11【相关结论相关结论】.),( ) ( 内内是是连连续续的的在在区区间间多多项项式式有有理理函函数数 5中已证多项式中已证多项式 f ( (x)

9、 )有有 )()(lim00 xfxfxx )0)( )()()( 0 xQxQxPxF有理分式函数有理分式函数在定义域内连续在定义域内连续. . )()(lim 0)( 000已证已证，时时xFxFxQxx ), 0( 内是连续的内是连续的在在函数函数 xy3 例例5 已证明已证明000lim 0 xxxxx ，时时机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 12【例例3】.),(sin内内连连续续在在区区间间函函数数证证明明 xy【证证】),( x任任取取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 则则,0,时时当当对任

10、意的对任意的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx时时当当.),(sin都都是是连连续续的的对对任任意意函函数数即即 xxy【相关结论相关结论】 . cos sin内内连连续续在在及及Rxyxy 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 13二、函数的间断点;)(0的的某某邻邻域域内内有有定定义义在在xxf; )(lim0 xfxx).()(lim00 xfxfxx 【描述描述】如果上述三个条件中只要有一个不满足，则如果上述三个条件中只要有一个不满足，则称函数称函数 f (x) 在点在点 x0 处处不连续不连续（或（或间断间断），），并称点并称点 x0 为为

11、 f (x) 的的不连续点不连续点（或（或间断点间断点）.函数函数 f (x) 在点在点x0处处连续连续必须满足的三个条件必须满足的三个条件机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 141. 【间断点定义间断点定义】设函数设函数 f (x) 在点在点x0的的某去心邻域内某去心邻域内有定义。在有定义。在此此前提下前提下，如果函数，如果函数 f (x) 有下列三种情形有下列三种情形之一之一：在在 x=x0 没有定义；没有定义；虽在虽在 x=x0 有定义，但有定义，但 不存在；不存在；)(lim0 xfxx虽在虽在 x=x0 有定义，且有定义，且 存在，但存在，但)(lim0 xf

12、xx )()(lim00 xfxfxx 则函数则函数 f (x) 在点在点 x0 处处不连续不连续（或（或间断间断），并称），并称点点 x0 为为 f (x) 的的不连续点不连续点（或（或间断点间断点）.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 15【特别强调特别强调】连续点要求在连续点要求在x0的的某邻域内某邻域内有定义；有定义；间断点要求在间断点要求在x0的的某去心邻域内某去心邻域内有定义；有定义； 失去这个前提，则不能研究点失去这个前提，则不能研究点x0的连续性的连续性.例如例如 , 1cos)( xxf ,2:ZkkxD 定义域是一些离散的点的集合，在这些点的定义域是

13、一些离散的点的集合，在这些点的某空心邻域某空心邻域 f (x) 无定义无定义,则这些点既则这些点既不是不是f (x)的的连续点连续点，也，也不是不是它的它的间断点间断点连续点连续点x0与间断点与间断点x0的共性是：的共性是： 均要求在均要求在x0的的某去心邻域内有定义（某去心邻域内有定义（ 【思考思考】 为什么？为什么？），），在这个前提下才有在这个前提下才有“f (x)的不连续点就是它的间的不连续点就是它的间断点断点”成立成立.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 16跳跃间断点跳跃间断点.)(),()( ,)(0000的的跳跳跃跃间间断断点点为为函函数数则则称称点点但

14、但存存在在右右极极限限都都处处左左在在点点如如果果xfxxfxfxxf 【补例补例4】 0, 0,1, 0,)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论 xxxxxxf【解解】, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff . 0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 x2.【函数间断点的几种常见类型函数间断点的几种常见类型】(1).【第一类间断点第一类间断点】( (左右极限都存在的点左右极限都存在的点).).oxy1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 17可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点的可去间断点为函数为函数义则称点义则

15、称点处无定处无定在点在点或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果xfxxxfxfxfxxfxx 【补例补例5】.1, 1,11, 10, 1,2)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 18【解解】, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f 【说明说明】 可去间断点只要可去间断点只要改变改变（原来有定义时）（原来有定义时）或或者者补充补充（原来无定义时）（原来无定义时）间断点处函数的间断点处函数的定义定义, , 则则可使其变为连续点，故称

16、其为可使其变为连续点，故称其为可去间断点可去间断点. . . 1 为为函函数数的的可可去去间间断断点点 xoxy112机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 19如例如例5中中, , 2)1( f令令. 1, 1,1, 10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxf跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. .【特点特点】.0处的左、右极限都存在处的左、右极限都存在函数在间断点函数在间断点 xoxy112可去型可去型 ： 左右极限存在且左右极限存在且相等相等. .跳跃型跳跃型： 左右极限存在但左右极限存在但不相等不相等. .机动机动

17、 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 20(2)【第二类间断点第二类间断点】的的第第二二类类间间断断点点为为函函数数则则称称点点在在右右极极限限至至少少有有一一个个不不存存处处的的左左、在在点点如如果果)(,)(00 xfxxxf【补例补例6】.0, 0, 0,1)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf【解解】oxy, 0)00( f,)00( f为函数的第二类间断点0 x【特点特点】 . )( )(00称之称之，中至少有一个是中至少有一个是与与 xfxf这种情况称为这种情况称为无穷间断点无穷间断点机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2

18、1【例例7】.01sin)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxf【解解】xy1sin ,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0为第二类间断点为第二类间断点 x这种情况称为这种情况称为振荡间断点振荡间断点. .【特点特点】 )( )(00中中至至少少有有一一个个因因函函数数与与 xfxf振荡而不存在，但均不为振荡而不存在，但均不为，称之，称之. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 22 , 0, 1)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy狄利克雷函数狄利克雷函数在定义域在定义域R内每一点处都间断内每一

19、点处都间断, ,且都是第二类间且都是第二类间断点断点. . ,)(是是无无理理数数时时当当是是有有理理数数时时当当xxxxxf仅在仅在x = 0 处连续处连续, , 其余各点处处间断其余各点处处间断. .特别地特别地【注意注意】 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 23o1x2x3xyx xfy , 1, 1)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxf在定义域在定义域R内每一点处都间断内每一点处都间断, , 但其绝对值但其绝对值处处连续处处连续. .【观察练习观察练习】立即说出

20、下列间断点类型立即说出下列间断点类型: :机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 24又如:xytan) 1 (2x0 xxy1sin) 2(1x11)3(2xxyxoy1xytan2xyoxyxy1sin0无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点可去间断点可去间断点机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 25【补例补例8】.0, 0, 0,cos)(,处处连连续续在在函函数数取取何何值值时时当当 xxxaxxxfa【解解】xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx ,a ,)0(af ),0()00()00(f

21、ff 要要使使,1 时时故故当当且且仅仅当当 a.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf, 1 a机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 26【典型补充例题典型补充例题】备用机动题备用机动题【补充补充1】 . )( 的间断点的间断点判断函数判断函数xxxfy 【解解】x的间断点为的间断点为, 2, 1, 0 x则则xx的间断点为的间断点为, 2, 1 x 0是是连连续续点点 x)0(0lim 0fxxx , 2, 1 时时是是间间断断点点当当 N因为因为)1(lim NNxxNx2limNxxNx 所以所以, 2, 1 x是是 的第一类间断点（跳跃型）的第一类间断点（跳跃型）)(xf机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 27【补充补充2】 . )( 的的连连续续性性判判断断函函数数xxxfy 【解解】 kxkxkxf011)( Zk 1)(lim kx xf1)(limkx xf0)( kf则则)( Zkkx 是是 的第一类（可去）间断点的第一类（可去）间断点. . )(xf机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 28右连续右连续三、小结)()(lim00 xfxf