人教版九年级数学上册思维特训(十一)引入中间变量的二次函数应用问题

1、思维特训（十一）引入中间变量的二次 函数应用问题方法点津1 .由于题目本身涉及的量较多，因此弄清量与量之间的关系是解决问题的关键.2 .结合原来函数关系式，在引入中间变量的前提条件下，建构新的函数关系式，通过函数关系式列方程或不等式解决问题.类型一探究性问题1. 2019扬州农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售 量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：销售价格x（元/千克）3035404550日销售量p（千克）6004503001500（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数的知识确定p与x之间的函数解析式；（

2、2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a>0）的相关费用.当40双w 45寸，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值.（日获利=日销售利润一日支出费用）类型二存在性问题2 .某房地产开发公司于 2019年5月份完工一商品房小区，6月初开始销售，其中 6月 的销售单价为0.7万元/m2, 7月的销售单价为0.72万元/m2,且每月的销售单价 巾（单位：万 元/m2）与月份x（6买w 11x为整数）之间满足一次函数关系， 每月的销售面积为 y2（单位：m2）, 其中 y2=- 2019x+26000（6

3、xw 11 x 为整数）.（1）求y1与月份x之间的函数解析式；（2）611月中，哪个月的销售额最高？最高销售额为多少万元？（3）2019年11月时，因受到政策的影响，该公司销售部预计12月份的销售面积会在 11月销售面积的基础上减少20a%,于是决定将12月份的销售单价在11月的基础上增加a%,该计划顺利完成.为了尽快收回资金，2019年1月公司进行降价促销，该月销售额为 （1500+ 600a）万元.这样12月、1月的销售额共为4618.4万元，请根据以上条件判断 a的值是否 存在，若存在，请求出 a的值.3 .某公司在固定线路上运输， 拟用运营指数 Q量化考核司机的工作业绩.Q = W+

4、 100, 而W的大小与运输次数 n及平均速度x(km/h)有关(不考虑其他因素),W由两部分的和组成： 一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比.试行中得到了下表中的数据：次数n21速度x4060指数Q420100(1)用含x和n的式子表示 Q.(2)当 x=70, Q = 450 时，求 n 的值.(3)若n=3,要使Q最大，确定x的值.(4)设n=2, x= 40,能否在n增加m%(m>0)同时x减少m%的情况下，而 Q的值仍为 420?若能，求出 m的值；若不能，请说明理由.b 4ac一 b2参考公式：抛物线 y= ax2+bx+c的顶点坐标是(豆，一;).2a 4a /

5、类型三优化方案问题4 .某货车销售公司，分别试销售两种型号货车各一个月，并从中选择一种长期销售， 设每月销售量为x台.若销售甲型货车，每月销售的利润为 yi(万元).已知每台货车的利润为(m6)万元(m是 常数，9<m<11),每月还需支出杂费及其他费用8万元，受条件限制每月最多能销售甲型货车25辆；若销售乙型货车，每月的销售利润y2(万元)与x之间的函数解析式为 y2=ax2+bx25,且当x=10时，y2=20,当x=20时，y2=55,受条件限制每月最多能销售乙型货车40辆.(1)分别求出y1, y2与x之间的函数解析式；(2)若 y2= 68.75,求 x 的值；(3)分别

6、求出销售这两种货车的最大月利润；(4)为获得最大月利润，该公司应该选择销售哪种货车？请说明理由.典题讲评与答案详析1.解：(1)假设p与x成一次函数关系，设函数解析式为p=kx+ b(kw 0)30k+ b=600,k=30,则.解得.”40k+ b=300,b= 1500,. .p= 30x+ 1500.检验：当x=35, p=450;当x=45, p=150;当x= 50, p= 0,符合一次函数解析式,.所求的函数解析式为p=- 30x+ 1500.(2)设日销售利润为 w 元，则 w=p(x 30)=( 30x+ 1500)(x 30),即 w= 30x2+2400x 45000,当x

7、“ 2400=40时,w有最大值，最大值为 3000,故这批农产品的销售价2X( 30)格定为40元/千克，才能使日销售利润最大.设日获利为 Q 元，则 Q=p(x 30- a)=(-30x+ 1500)(x-30-a),即 Q=- 30x2+(2400+30a)x(1500a+45000),图象的对称轴为直线 x=：400+拿 =40+1a.2X( 30)2、“-1.当 40+2a=45 时，a= 10.1 一右 40+2a >45 则 a >10.,-40<x< 45当x=45时，Q有最大值，即 Q= 2250-150a< 2430(不合题意);一一一 1 一

8、若 40<40+2a<45,则 a<10.,1 .当x=40 + 2a时，Q有最大值.11将 x=40+2a代入，可得 Q=30 4a2-10a+ 100 , .2430=30 1a210a+ 100 ,4解得 a1 = 2, a2=38(舍去).综上所述，a的值为2.2 .解：(1)设 yi = kx+b(kw 0)6k+ b=0.7,k=0.02,由题意，得解得7k+ b=0.72,b = 0.58, .yi = 0.02x+0.58.(2)设第x个月的销售额为 W万元，贝u w= yi - y2=(0.02x+ 0.58)( 2019x +26000) = 40x264

9、0x+ 15080,，抛物线的对称轴为直线x= b-= 640= 8.2a 80 ,当6»w 11寸，W随x的增大而减小， 当x=6时，W取得最大值，W 最大值=40 X 2640 X 介 15080=9800.6月份的销售额最高，最高销售额为9800万元.存在.11 月份的销售面积为 2019 X 1126000 = 4000(m2),11月份的销售价格为 0.02 X州0.58=0.8(万元/m2).由题意，得 4000(1 20a%) X 0.8俳 a%)+ 1500+600a= 4618.4,化简，得 4a2+5a-51 =0,17解得 a1 = 3, a2=(舍去)，a=

10、3.3 .解：(1)设亚=k1x2+k2nx,则 Q=k1x2 + k2nx+ 100.420 = 402k1 + 2X 402+ 100,由表中数据，得9100=602k1+ 1 x 6102+100, ±k1 = - 10，解得 10k2= 6,.丁12. c，一 ' Q = 10、+ 6nx+ 100.第5页/共6页1(2)将 x=70, Q = 450 代入 Q=- -x2 + 6nx+ 100,得12450= - -X 70+ 6X 7i0+ 100,解得n=2.(3)能.当 n=3 时，Q=畜 + 物+ 100=(x90)2+910.，函数图象开口向下，有最大值,

11、则当x=90时，Q有最大值,即要使Q最大，x= 90.12(4)由题意，得 420 = 不40(1 m%)2+6X 2(1m%)x 40(Jm%)+100,即 2(m%)2m%= 0,1人，解得m% = 2或m%=0（舍去）,m= 50.4.解：(1)yi = (m6)x8(0 WW 25).当 x=10, y2=20,当x= 20 时，y2= 55,20 = 100a+ 10b25,55 = 400a+20b-25,解得a 20'b= 5,1 2 , V2= 20x2+ 5x- 25(0NW 40)，一一1c、一，, c(2)由题意，得 68.75 = -20x2+5x- 25,变形为 x2-100x+ 1875=0,一 x=100 H10000 4X 1875即 xi=75(舍去)，x2 = 25, ，x的值为25. . m 6>0,yi随x的增大而增大.0<x< 25,当x=25时，yi有最大值，最大值为(m 6)X258=25m158.1 o1 oV2 = - 20X2 + 5x 25 = 20(x 50)2 + 100,当x< 50寸,y随x的增大而增大.1又Oxw 4 0 .当 x=40 时，y2 有最大值，最大值为 y2= 20(40 50)2+ 100=95.(4)当 25m 158 = 95 时