高三复习第九讲离散型随机变量的均值、方差和正态分布讲义

1、第十章计数原理、概率、随机变量及分布列高三备课组第十章计数原理、概率、随机变量及分布列第九讲离散型随机变量的均值、方差和正态分布【考纲速读吧】1 .理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念.2 .能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.【要点集结号】1个重要作用均值是随机变量取值的平均值，常用于对随机变量平均水平的估计，方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，常用于对随机变量稳定于均值情况的估计.2种必会方法1 .若X服从两点分布，则E(X)=p,D(X)=p(1p);XB(n,p),则E(X)=np,一，一，一，MD(X)=np(1p);若X服从超几何

2、分布，则E(X)=n.2 .正态总体在某个区间内取值的概率的求法：一要熟记P(口b<XW十cr),P(科一2(t<XW市2o),P(科一3b<XW23a的值，二要充分利用正态曲线对称性和曲线与x轴之间面积为1.©3项必须注意1 .在记忆D(aX+b)=a2D(X)时要注意：D(aX+b)汨D(X)+b,D(aX+b)为D(X).2 .求随机变量E的期望与方差时，可首先分析比否服从二项分布，如果服从XB(n,p),那么用公式E(X)=np,D(X)=np(1p)求解，可大大减少计算量.注:E(X)=np,D(X)=np(1-p).3 .在利用对称性转化区间时，要注意正

3、态曲线的对称轴是x=科(科才0,而不是x=0.【课前自主导学】011 .离散型随机变量的均值与方差(1)若离散型随机变量X的分布列为XXxXi111XnPp1p2pi*pn均值称E(X)=为随机变量X的均值或,它反映了离散型随机变量取值的.方差称D(X)=为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的,其为随机变量X的标准差.(2)均值与方差的性质(1) E(aX+b)=,(2)D(aX+b)=.(a,b为常数)(3)两点分布与二项分布的均值、方差均值力差变量X服从两点分布E(X)=D(X)=XB(n,p)E(X)=D(X)=3相一相心、心、随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系

4、是怎样的?份填一填已知随机变量E的分布列为123P0.5xy若E(9=8,则D(E)=.2.正态分布(1)正态曲线的性质曲线位于x轴,与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线对称；曲线在处达到峰值(72兀曲线与x轴之间的面积为;当b一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示；当心定时，曲线的形状由标定.(T,曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；(T曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示.第15页共10页(2)正态分布的三个常用数据：P("-o<XSo)=；P(广2KXW叶2a=;P("-3KXW叶36=.母想一想的姓正态分布中的实际意义是什么？疆填一填设

5、随机变量引艮从正态分布N(0,1),若P(21)=p,则P(1<%0)=.【自我校对】1.xipi+x2P2+Xpi+xnpn数学期望平均水平£(x-E(XJ2p平均偏离程度算i白术平方根/D(X)aE(X)+ba2D(X)pp(1p)npnp(1-p)个变量.随着样本容量的增想一想：提示：随机变量的均值、方差是一个常数.样本的均值、方差是加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差.填一填：54 提示：由分布列性质，得 x+y=0. 5.又E ( 915,即 2x + 3y=",可得 < 881 x= 8,3 y=8.15 2 1 小 15 2DO)=(1-y

6、)2+(2-)115 2 3 558+(3-7) 8=次2.上方 x=想一想：提示:x =1 越小科是正态分布的期望,越大 0. 6826 0. 9544b是正态分布的标准差.0. 9974一 一 1填一填：2 p 提木：P(1<E<0111一，一乂1=2P(1<E<1=)12P(E>1=2-P(E>1=-p-【核心要点研究】02【考点一】离散型随机变量的均值例12012福建高考受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年.现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取

7、50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0<x<11<x<2x>20<x<2x>2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为Xi,生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,分别求X1，X2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由.解析(1)设

8、甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A,则P(A)=/3=！.5010(2)依题意得，X1的分布列为X1123P139255010X2的分布列为X21.82.9P110910(3)由(2),得E(X1)=1+2总+3舄=*=2.86(万元)，2550105019E(X2)=1.8而+2.9><而=2.79(万兀).因为E(X1)>E(X2),所以应生广甲品牌轿车.【师说点拨】1 .求离散型随机变量的均值关键是先求出随机变量的分布列，然后根据均值定义求解.2 .若随机变量服从二项分布，即XB(n,p)可直接使用公式E(X)=np求解，可不写出分布列.3 .注意运用均值的

9、线性运算性质即Y=ax+b则E(Y)=aE(X)+b.【变式探究】某品牌的汽车4s店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如表所示.已知分3期付款的频率为0.2,4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元.用刀表示经销一辆汽车的利润.付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数4020a10b(1)求上表中的a,b值；(2)若以频率作为概率，求事件A：购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用3期付款”的概率P(A);(3)求刀的分布列及数学期望E(刀).a解：(1)由=0.2,得a=20又因为

10、40+20+a+10+b=100,所以b=100100（2）记分期付款的期数为E,依题意，得P（土1）=1400=0.4,P（土2）=需=0.2,P（土3）=0.2,P（土4）=1100=1，P（e5）=100=0。1则购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款”的概率为P（A）=0.83+C3x0.2X（10.2）2=0.896.(3)由题意，可知我,能取1,2,3,4,5.而F1时，r=1;E=2时，r)=1.5;E=3时，1.5;E=4时,刀=2;E=5时，r=2.所以刀的可能取值为：1,1.5,2,其中P(1)=P(E=1)=0.4,P(r=1.5)=P(¥2)+P(E

11、=3)=0.4,P(2)=P(E=4)+P(E=5)=0.1+0.1=0.2,所以刀的分布列如下表所示：11.52P0.40.40.2故刀的数学期望E（琢=1X0.4+1.5X0.4+2X0.2=1.4（万元）.【考点二】离散型随机变量的方差例22012上海高考设10WX1<X2<X3<X4W104,X5=105.随机变量&取值x1,x2,x3,x4,x5的概率均为0.2,随机变量匕取值x1产，上，亭4,x4萨，x詈的概率也均为0.2.若记DD&分别为E1E2的方差，则（）A.D3>D?B.D&=D&C. D&<D?D. D

12、8与D&的大小关系与x1,x2,x3,凡的取值有关【审题视点】写出分布列，求得E（x）,再代入方差公式求D（x）.解析1X1X2X3X4X5P0.20.20.20.20.2E(0)=X1X0.2+X2>0.2+x3X0.2+X4X0.2+X5>0.2=0.2秋1+X2+X3+X4+X5).运X1+x22X2+X32X3+x42X4+X52X5+X12P0.20.20.20.20.2Xi+x2X2+X3X3+X4X4+X5X5+X1.E(=-2X0.2+2M.2+2M.2+2M.2+2X0.2=0.2杈1+X2+X3+X4+X5)-E(&)=E(，记彳'乍x,

13、，D(H)=0.2(xix)2+(X2-x)2+-+(X5-x)2X1 + X2同理 D( )=0.2(2-=0.2x2+x2+x2+5x22(Xi+x2+X5)X=0.2(X2+X2+X25x2).2X2+X32X5+X12-2. .(吐 )2<2 )X2+X2)+(-2-)+-+(-2-)-5xX5Xix5x1Z<-22X1+X221x2+X32'X5+X12222,工2厂12广2尸1+X2+-，D(a)>D(轨答案A【师说点拨】D(X)表示随机变量XXE(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中

14、在E(X)附近，统计中常用来描述X的分散程度.【变式探究】2012裸标全国高考某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以日需求量n14151617181920频数10201616151310每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，nCN)的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差;若花店计划一天购

15、进解：(1)当n>16时,16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.y=16X(105)=80.当nW15时,y=5n510n80(16-n)=10n-M得：y.O必$(2)X可取60,70,80.X607080P0.10.20.7P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.X的分布列为E(X)=60>0.1+70>0.2+80>0.7=76.D(X)=162>0,1+62>0.2+42X0.7=44.购进17枝时，当天的利润为y=(14X5-3>5)X0.1+(15X5-2X5)>0.2+(16

16、>51X5)X0.16+17>5>0,54=76.4,由76.4>76,应购进17枝.【考点二】有关正态分布的问题例32011湖北高考已知随机变量辗从正态分布N(2,6，且P(E<4=0.8,则P(0<E<2=()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2【审题视点！此正态曲线是关于x=2的一个轴对称图形，根据其对称性求解概率.解析由P(E<4=0.8知P(E>4=P(E<0=0.2,故P(0<E<2=0.3.故选C.答案C奇思妙想：本例条件不变，求P(ES)o的值.解：P(E硝0=P(E村4=1P(卫<4=0.2.【

17、师说点拨】关于正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记P(口b<XW/a,P(厂2b<XW十2b),P(厂3b<XW/3b)的值；(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.正态曲线关于直线x=的称，从而在关于x=例称的区间上概率相等.P(X<a)=1-P(Xaa),P(X<pa)=P(X>叶a).【变式探究】2012课标全国高考某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000,502),且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部

18、件的使用寿命超过1000小时的概率为.答案：38解析：设元件1,2,3的使用寿命超过1000小时的事件分别记为A,B,C,显然1P(A)=P(B)=P(C)=2,，该部件的使用寿命超过1000的事件为(AB+Kb+AB)C.该部件的使用寿命超过1000小时的概率为p=盟+悬+昌；4=8.【课课精彩无限】03求解离散型随机变量的期望和方差的方法【选题热考秀】2012广东高考某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：40,50),50,60),60,70),70,80),80,90),90,100.(1)求图1x的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，

19、该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为E,求E的数学期望.规范解答(1)由题意，得10x=1-(0.006X3+0.01+0.054)X10=0.18,.x=0.018.(2)成绩不低于80分的学生共有其中90分以上(含90分)的共有0. 006X 10X50= 3人,(0.018+0.006)X10X50=12人,E的可能值为0,1,2,C26"0)=滔2=彳c9c39P(E=1)=c22=2?C21"2)辛=2?.E (9 =0X4+1 最+酌分布列为012P6._9工11222212m2212,【备考角度说】No.1角度关键词：审题视角(1)抓住所有小矩形的面

20、积和为1,列出方程即可算得x的值；(2)准确无误地找出的可能取值为0,1,2,确定事件类型，借助于排列组合的知识，计算出相应的概率,从而求得E的期望.No.2角度关键词：技巧点拨(1)解决此类问题要注意以下几点：掌握好期望与方差的性质.记住或理解一些特殊分布的均值与方差，如两点分布、二项分布等.注意运算技巧，随机变量的均值与方差计算比较复杂，在运算时要注意一些运算技巧，如把问题归结为二项分布的期望与方差，运用期望与方差的性质简化运算，运算时注意一些项的合并.(2)解决此类问题的基本步骤如下：第一步：确定随机变量的所有可能值.第二步：求每一个可能值所对应的概率.第三步：列出离散型随机变量的分布列

21、.第四步：求均值和方差.第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.【经典演练提能】041 .设随机变量工服从正态分布N(2,9),若P(E>c+1)=P(E<c1),则c=()A. 1答案：B 解析：2. 2013B. 2C. 3D. 412bP11a26)(c 1) + (c+1) = 4, - c= 2,选B55.沈阳模拟设离散型随机变量第勺分布列为(A. 6答案：C11,贝U 3a+ b=B. 5C. 4D. 3解析：由1 1a+ 2+6=1,斛得a=1所以EO =得+2导b解得b=3,所以34 = 4.3. 2013选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为1A

22、 5答案:4°。5D.X,则X的数学期望是(65解析:X的可能取值为0,1,2._C2 1P(X=0)=K2= ' C C5 10-1_1 cc2 cP(X=1)=if= p(x=2)=c1=而所以6E(X)=54.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件,若X表示取到次品的次数，则D (X)答案:916解析:11由题意知取到次品的概率为4，XB (3, 4).D (X)5. 2013个球，记4答案：45北京海淀区袋中装有大小相同的2个白球和然摸出两球中白球的个数，则925的期望3个黑球. _,方差=3x -X 1 1 1)=.4 14，16采取不放回抽样方式

23、，从中依次摸出两金版原创题一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员、2名男性成员，现从中随机解析：由题知E可取0,1,2,依题意，得p(土。)=5 彳=-P (土 1)=3等51=3925则E«=。币W+24=5,4 )2X3+(24)2X1=5 5510【限时规范特训】05(时间：45分钟分值：100分)一、选择题451. 2013大庆模拟设E是服从二项分布B(n,p)的随机变量，又E(9=15,D(9=,则n与p的值为()3_1_3_1A.60,4B.60,1C.50,4D.50,：答案：B451一斛析：由EB(n,p),有E(9=np=15,D(J=np(1p)=,-P=

24、-4，n=60.2. 2013许昌模拟设随机变量XN(1,52),且P(XWO=P(X>a2),则实数a的值为()A.4B.6C.8D.10答案：A解析：由正态分布的性质可知P(XWO)=P(X>2),a-2=2,z.a=4,选A.3. 2013安徽怀远在正态分布N(0,1)中，数值落在(一°°,1)U(1,+8)内的概率为()9A.0.097B.0.046C.0.03D,0.0026答案：D解析：丁-0,o=3P(x<1或x>1)=1P(1aWD=1P(厂3EW叶3a=1-0.9974=0.0026.4. 2013扬州调研某校约有1000人参加摸底

25、考试，其数学考试成绩>N(90,a2)(a>0,试卷满分1503分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的2则此次数学考试成绩不低5于110分的学生人数约为()A.200B.300C.400D.600答案：A解析：由题知，P(x>110=1x(13)=1,则成绩不低于110分的学生人数约为1000£=200.25555. 2013天津调研为了给2013年天津东亚运动会选拔志愿者，组委会举办了一个趣味答题活动.参选的志愿者回答三个问题，其中二个是判断题，另一个是有三个选项的单项选择题，设E为回答正确的题数,则随机变量E的数学期望E ( E)

26、=()A. 1B. 3C. 3334答案：43解析：由题意知，随机变量E的可能取值为P ( E= 0) = (1)2<=焉2312D. 2=2J 4 +身4+犯力=考0,123,P ( E= 1)P ( E= 3)112 112 1115=2吗马+ 2"3+2弓马=石111。=2X2X3= 12,所以 E ( E) = 1*15+ 2*+3X112=4.6. 2013德阳模拟已知袋中装有6个白球、 =( )2个黑球，从中任取 3个球，则取到白球个数E的期望E ( E)A. 2B 59B- 28C 61 ,28D1答案:力c2c-2-1解析:取到的白球个数E可能的取值为1,2,3

27、.所以P(卜1)=-632=.p(22)=嘴2=羡;C828C828P(9刃=余力因此取到白球个数E的期望=28+2噌+3*=筹9-二、填空题x123P ( 土 x)?!?7. 2013玉林模拟马老师从课本上抄录一个随机变量E的概率分布列如下表:请小牛同学计算 E的数学期望.尽管 f ”处完全无法看清，且两个处字迹模糊，但能断定这两个处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E ( 9 =.答案：2解析：设 P (E= 1) =x,则 P (白 2) =1 2x, P ( E= 3) = x8.已知随机变量 E的分布列如下：,E ( E) = 1 x+2 - (1-2x) + 3 x= 2.101

28、Pabc其中a, b, c成等差数列，若 E ( 9 =；,则D ( 9的值是35答案：59解析：a,1b, c成等差数列，2b= a+c.又 a + b+ c= 1, E ( E) = - 1 Xa+ 1 Xc= c- a= -, 3a=1 b = 1, c= 1, 1- D ( S = 1- 1-1)2$+ ( 0-1) 6323639. 2013岳阳模拟一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记 目标的概率为2.此人得分的数学期望与方差分别为 3答案：20, 200324+(14) W10分.没有击中记。分，某人每次击中解析：记此人三次射击击中目标刀次得分为 七分,则刀B (3, 1) ,

29、 E= 10 Y,3. E ( 9 = 10E (垃=10X3X3=20,D ( E) = 100D (垃=1。右胃鼻二答.三、解答题10. 2013运城模拟甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏, 性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余 3题，每人答对其中按照规则，甲先从6道备选题中一次道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是2题就停止答题，即闯关成功.已知在 623,(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；(2)设甲答对题目的个数为E,求E的分布列及数学期望.解：(1)设甲、乙闯关成功分别为事件A、B,-J2C4c2412、32,42、2127则P(A高=犷5，P(B)=

30、(13)+C33(1-3)=王+9=万所以，甲、乙至少有一人闯关成功的概率是：171281-P(AB)=1-P(A)P(B)=1-5右=.(2)由题意，知E的可能取值是1、2.c4/ 1P(畀 1)="CT = 5 则E的分布列为：P(E=2)=4(或*2)=CCj=4C65C65E ( 9 = 195.12P154511. 2013焦作质检学生在教师上第一节课时会对教师产生优秀"或般"的第一印象，某个学生将优秀”11误认为般”的概率为2,将'般”误认为优秀”的概率为:有4个教师来学校应聘，其中3人优秀”，1人般”，学校要求他们在该学生所在的班级各上了一节课.(1)求该学生第一印象认为其中2人优秀”，2人般”的概率；(2)求该学生第一印象认为优秀”的人数X的分布列及期望.解：(1)设该学生第一印象认为其中2人优秀，2人般为事件