导数学案(有答案)

1、3.1.1 平均变化率I课时目标：1理解并掌握平均变化率的概念 2会求函数在指定区间上的平均变化率3能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题.知识橈理1. 函数f(x)在区间X1 ,X2上的平均变化率为 .习惯上用 Ax表示,即，可把 A看作是相对于X1的一个“,可用 代替X2 ；类似地，Ay=，因此，函数f(x)的平均变化率可以表示为 .Ay f X2 f X12. 函数y= f(X)的平均变化率 人=的几何意义是：表示连接函数y = f(X)图象AxX2 X1上两点(X1, f(X1)、(X2, f(X2)的割线的 .1. 当自变量从X0变到X1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函

2、数 .(填 序号) 在X0, X1上的平均变化率； 在X0处的变化率； 在X1处的变化率； 以上都不对.2. 设函数y = f(x)，当自变量x由xo改变到xo+ A时，函数的增量 令=.Ay3. 函数f(x) = 2x2 1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1 + Ax, f(1 + Ac)，那么£ =4. 某物体做运动规律是s= s(t)，那么该物体在t到t + At这段时间内的平均速度是5. 如图，函数y= f(x)在A , B两点间的平均变化率是 6. 函数 y= f(x) = x2 + 1,在 x = 2, Ax = 0.1 时，Ay 的值为.7过曲线y = 2x上两点(0

3、,1), (1,2)的割线的斜率为 .&假设一质点M按规律s(t)= 8 + t2运动，那么该质点在一小段时间2,2.1内相应的平均速度是.、解答题9. 函数f(x) = x2 2x，分别计算函数在区间3, 1, 2,4上的平均变化率.10. 过曲线y = f(x) = x3上两点P(1,1)和Q(1 + Ax, 1 + Ay)作曲线的割线，求出当Ax = 0.1时割线的斜率.【能力提升:11.甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，试问甲、乙二人哪一个跑得快?12.函数f(x) = x2 + 2x在0, a上的平均变化率是函数g(x) = 2x 3在2,3上的平均变化率的2倍，求a的

4、值.1.做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s= s(t)描述，设At为时间改变量，在to+At这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是 As= s(to+A) s(to),那么位移改变量 A与时间改变量 At的比就是这段时间内物体的平均速度"v ,即一 v =AS =sto+ At s to2 .求函数f(x)的平均变化率的步骤:求函数值的增量Ay = f(x 2) - f(x i);计算平均变化率沪XX2f3.1.2 瞬时变化率一一导数(二)【课时目标：1.知道导数的几何意义.2.用导数的定义求曲线的切线方程.函数 y = f(x)在点xo处的导数 f'(X。)的几何

5、意义是2利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：(1)求出函数y= f(x)在点xo处的导数fz (xo)；根据直线的点斜式方程，得切线方程为y yo= f' (xo) (xxo).作业设计一、填空题11. 曲线y = -在点P(1,1)处的切线方程是 .x2曲线y= 2x3上一点A(1,2)，那么A处的切线斜率为 .3. 曲线y = 4x x3在点(一1, 3)处的切线方程是 .4. 假设曲线y = x4的一条切线I与直线x + 4y 8 = 0垂直，那么I的方程为5. 曲线y= 2x x3在点(1,1)处的切线方程为 .6. 设函数y = f(x)在点xo处可导，且f'

6、(xo)>O,那么曲线y= f(x)在点(xo, f(xo)处切线的倾斜角的范围是.7. 曲线f(x) = x3 + x 2在点P处的切线平行于直线y= 4x 1，贝V P点的坐标为&直线 x y 1 = 0与曲线y= ax2相切，那么a=.二、解答题49. 曲线y = x在点P(1,4)处的切线与直线I平行且距离为 .17, 求直线I的方程.入110. 求过点(2,0)且与曲线y = -相切的直线方程.x【能力提升：11. 曲线y = 2x2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程.12. 设函数f(x) = x3+ ax2 9x 1 (a<0) 假设曲线

7、y= f(x)的斜率最小的切线与直线12x+ y= 6平行，求a的值.1 利用导数可以解决一些与切线方程或切线斜率有关的问题.2禾U用导数求曲线的切线方程，要注意点是否在曲线上如果点在曲线上， 那么切线方程为y f(xo)= f' (xo) (x xo);假设点不在切线上，那么设出切点(xo,f(xo), 表示出切线方程，然后求出切点.3.1.2 瞬时变化率一一导数(一)【课时目标：1掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确定义2会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率.3理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法4理解并掌握开区间内的导数的概

8、念，会求一个函数的导数.知识榛理1 瞬时速度的概念作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，把物体在某一时刻的速度叫用数学语言描述为：设物体运动的路程与时间的关系是s= f(t)，当At趋近于0时，函数f(t)在to到to + At之间的平均变化率f t0+ A虫趋近于常数，我们这个常数称为2. 导数的概念设函数y = f(x)在区间(a, b)上有定义，xo (a, b)，当Ax无限趋近于0时，比值£ =无限趋近于一个常数A，那么称f(x)在点x = xo处，并称该常数 A 为，记作f' (xo).3函数的导数假设f(x)对于区间(a, b)内任一点都可导，贝Uf(x)

9、在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f' (x).4. 瞬时速度是运动物体的位移S(t)对于时间t的导数，即v(t) =.5. 瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间t的导数，即a(t) =.作业设计一、填空题1. 任一作直线运动的物体，其位移 s与时间t的关系是s= 3t- t2,那么物体的初速度是f xo- Ax f xo ,亠，2. 设f(x)在x = xo处可导，那么当 Ax无限趋近于o时Ax的值为 .3. 一物体的运动方程是 s= ata为常数)，那么该物体在t = to时的瞬时速度是 34. f(x) =-x2

10、 + 10,那么f(x)在x =处的瞬时变化率是 15. 函数v = x+-在x = 1处的导数是x6. 设函数 f(x) = ax3 + 2,假设 f' ( 1) = 3，贝U a=.1,1+ Zt7. 曲线f(x) = x在点(4,2)处的瞬时变化率是 .&物体运动的速度与时间之间的关系是：v(t) = t2 + 2t + 2,那么在时间间隔内的平均加速度是，在t= 1时的瞬时加速度是.二、解答题19. 用导数的定义，求函数y = f(x)=丄在x = 1处的导数.Vxa= 5X 105 m/s2x 10 3 s.求10. 枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度

11、是 枪弹射出枪口时的瞬时速度.【能力提升：11. 函数y = ax2 + bx+ c,求函数在x= 2处的导数.12. 以初速度vo (vo>O)垂直上抛的物体，t秒时间的高度为 s(t)= vot *gt2,求物体在时刻to处的瞬时速度.1. 利用定义求函数在一点处导数的步骤:计算函数的增量：第=f(xo+Ax) f(xo).(2) 计算函数的增量与自变量增量&的比号.计算上述增量的比值当 Ax无限趋近于0时，备 f X0+ : f X0无限趋近于A.2. 导数的物理意义是物体在某一时刻的瞬时速度.常见函数的导数.2.掌握常I课时目标：1理解各个公式的证明过程，进一步理解运用概

12、念求导数的方法 见函数的导数公式 3灵活运用公式求某些函数的导数.(kx + b)，=;C'=(C为常数)；(x2)，=；1 ,=x .2.根本初等函数的导数公式:(x a(为常数)(ax)'=(a>0，且1), 1(log ax)= Jl°gae=(a>0，且1)(ex)，=作业设计一、填空题1 以下结论不正确的选项是 (填序号) 假设y = 3，贝U y '= 0;1 假设y = -，那么y'：x1 假设y = - x，那么y'=1 ；2px 假设y = 3x，那么y ' = 3.ni22 .以下结论：(cos x)&#

13、39; = sin x; sin 3 ' = cos n；假设 y =尹 那么 f' (3) = - 27 其中正确的有个.3. 设 fo(x) = sin x, fl(x) = f ' 0(x) , f2(x) = f' 1(x),，fn+1(x) = f ' n(x) , n N ,那么 f2 010(x)4曲线y= x3在点P处的切线斜率为k,那么当k= 3时的P点坐标为 .5. 质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s= 5t，那么质点在t = 4时的速度为6. 假设函数 y= f(x)满足 f(x- 1) = 1 2x+ x2，贝V y'

14、;= f' (x) =.7. 曲线v= cos x在点A三，乂3处的切线方程为6 2&曲线y= x2上切线倾斜角为4的点是 .二、解答题9.求以下函数的导数.(1)y= log4X3 Iog4x2;(2)y= 2XX±1 2x;XXo X(3)y= 2sin 2 2sin 1 .y= x2上有两点 A(1,1), B(2,4) 求:(1)割线AB的斜率kAB;在1,1 + X内的平均变化率；点A处的切线斜率kAT；(4)点A处的切线方程.【能力提升:11.假设曲线f(x) = ax5 + In x存在垂直于y轴的切线，贝U实数a的取值范围为 12 假设某国家在20年期

15、间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t) = po(1 + 5%)七,其中po为t= 0时的物价，假定某种商品的po 0.05，精确到0.01)反思感悟1求函数的导数，可以利用导数的定义，也可以直接使用根本初等函数的导数公式.2 .对实际问题中的变化率问题可以转化为导数问题解决.§导数的运算3.2.2 函数的和、差、积、商的导数【课时目标：1.理解函数的和、差、积、商的求导法那么.2.理解求导法那么的证明过程，能 够综合运用求导公式和四那么运算法那么求函数的导数.1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的 ，即f(x) &#

16、177;(x)'2两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上,即f(x) x)' Cf(x)(其中C为常数)1 f(x)= x3+ 3x+ In 3，贝V f (x) =.2. 曲线y= xex+ 1在点(0,1)处的切线方程是 3. 函数 f(x) = x4+ ax2-bx，且 f' (0) =- 13, f' (- 1)=- 27,贝U a + b =4. 曲线y= x(x- 1)(x-2)(x- 6)在原点处的切线方程为 5曲线y= ex在点(2, e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 nn6. 函数 f(x) = f' Q

17、cos x+ sin x,贝U fQ)的值为7. 曲线C: f(x)= sin x+ ex + 2在x = 0处的切线方程为 3&某物体作直线运动，其运动规律是s= t2+ 3(t的单位是秒，s的单位是米)，那么它在第4秒末的瞬时速度应该为 m/s.二、解答题9求以下函数的导数.(1) y= 10x；x+ cos x(2) y=x- cos x(3) y= 2xcos x 3xlog 2 011X;(4) y= x - tan.y= x2 + sinx在点n Q处的切线方程.【能力提升:11.点P在曲线y =匚行上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，贝V a的取值范围e r I为.12.

18、求抛物线y= x2上的点到直线x-y 2 = 0的最短距离.1. 理解和掌握求导法那么和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件.2. 对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数的几何意义，利用公式进行计算.3. 1.1 平均变化率知识梳理f X2 f X11.-X2 X1AyAx4 Ax + 2 AxAx2_= 4 + 2 Ax._Ay4.st + At stAt解析 由平均速度的定义可知，物体在 t到t + At这段时间内的平均速度是其位移改变 量与时间改变量的比.st + At stAt5. 1解析7. 12 1解析由平均变化率的几何意义知“百= 解析质点在区间咖内的平均速度可由罟求

19、得，即J 备违$ = 4.9. 解 函数f(x)在3， 1上的平均变化率为： f 1 f 313=6.110.解 / Ay= f(1 + Ax) f(1) = (1 + Ax)3 1=3Ax+ 3( Zx)2 + ( Ax)3, 2X 1 3 2 2X 3函数f(x)在2,4上的平均变化率为:=4.AAxAx 3+ 3 Ax 2+ 3&Ax=(A)2+ 3 Ax+ 3.42 2 X 4 22 2 X 2当Ax= 0.1时，割线PQ的斜率为k,那么 k =号=(o.1)2+ 3X。仆 割线PQ的斜率=换当Ax= 0.1时割线的斜率为 3.31.11.解 乙跑的快因为在相同的时间内，甲跑的

20、路程小于乙跑的路程，即甲的平均速 度比乙的平均速度小.12.解 函数f(x)在0, a上的平均变化率为fa f 0a 0a2+ 2aaa+ 2.函数g(x)在2,3上的平均变化率为2.g 3 g 22 X 3- 3 2 X 2-33 21导数(二)/ a+ 2= 2X 2, a= 2.3. 1.2 瞬时变化率知识梳理1 .曲线y= f(x)上过点xo的切线的斜率作业设计1. x+ y 2= 01 Ax1 1解析A=斗=字=xAxAx 1 + Ax当Ax无限趋近于0时，申无限趋近于一1,x- k= 1,切线方程为 y 1 = (x 1)，即 x+ y 2 = 0.2. 6解析/ y= 2x3,空

21、=2 x+ Ax 3 2x3Ax =Ax2 Ax 3+ 6x Ax 2+ 6x2Ax=Ax=2( Zk)2 + 6x Ax+ 6x2.当Ax无限趋近于0时，今无限趋近于6x2,x点A(1,2)处切线的斜率为6.3. x y 2= 0y 4 x + Ax x+ Ax 3 4x+ x3解析 =4 ( Ax)2 3x2 3x( Ax),当Ax无限趋近于0时，学无限趋近于4 3x2,Ax f ( 1) = 1.所以在点(一1, 3)处的切线的斜率为 k= 1,所以切线方程是y= x 2.4. 4x y 3 = 0解析 与直线x+ 4y 8= 0垂直的直线l为4x y+ m= 0,即y = x4在某一点

22、的导数为 4, 而y' = 4x3，所以y= x4在(1,1)处导数为4，此点的切线方程为4x y 3 = 0.5. x+ y 2= 0解析Ax= 2( A<)2 3x2 3x( Ax),当Ax无限趋近于0时，申无限趋近于2 3x2,x - y' = 2 3x2,. k= 2 3 = 1.切线方程为 y 1 = (x 1)，即 x+ y 2 = 0.6.0, n冗解析k= f' (X0)>0,. tan B>0,灰 0, 2 .7. (1,0)或(1, 4)解析 设 P(X0, y0)，由 f(x) = x3 + x 2,直=(Zx)2+ 3x2+ 3

23、x( Ax) + 1,x当Ax无限趋近于0时，単无限趋近于3x2+ 1.Ax f' (x)= 3x2 + 1，令 f'(X0)= 4,即 3x0+ 1 = 4，得 X0= 1 或 X0= 1 , P(1,0)或(1, 4).1解析ax + Ax 2 ax2Ax=2ax+ a Ax,当Ax无限趋近于0时，2ax+ a Ax无限趋近于2ax,/ f' (x)= 2ax.设切点为(xo, yo),那么 f' (xo) = 2axo,2axo= 1,1且 yo= xo 1 = ax6,解得 xo= 2, a= 4.4 49.解Ayfx+Ax f xx+Ax xAxAxA

24、x1x x+ Ax4 Ax4由可得X0= 1,故切线方程为x+ y 2 = 0.Ay 2 1 +Ax 2 2 11解 AAX4 Ax+ 2 AxAX_2-=4+2 Ax,当Ax无限趋近于0时，卑无限趋近于4,Ax f (1) = 4.1所求直线的斜率为k= 1.4(x 1), 即即 x+ 4y 9 = 0.12.解/ Ay= f(x0+Ax) f(x0)=(X0+ Ax)3 + a(X0+ Ax)2 9(x°+ Ax) 1 (x0+ ax0 9x0 1)=(3X2 + 2ax0 9) A+ (3x0+ a)( A)2 + ( A)3,-j = 3x0 + 2ax0 9+ (3x0+

25、a) aX + ( &)2.3.1.2 瞬时变化率一一导数(一)【课时目标：1掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确定义.2.会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率.3.理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法.4.理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数.知识梳理1. 瞬时速度的概念作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，把物体在某一时刻的速度叫用数学语言描述为：设物体运动的路程与时间的关系是s= f(t)，当At趋近于0时，函 数f(t)在to到to + At之间的平均变化率f t0+巴_匚9趋近于常数，我们这个常数称

26、为2. 导数的概念设函数y = f(x)在区间(a, b)上有定义，xo (a, b)，当Ax无限趋近于0时，比值g =无限趋近于一个常数A，那么称f(x)在点x = xo处，并称该常数 A 为，记作f' (xo).3函数的导数假设f(x)对于区间(a, b)内任一点都可导，贝Uf(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f' (x).4. 瞬时速度是运动物体的位移S(t)对于时间t的导数，即v(t) =.5. 瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间t的导数，即a(t) =.作业设计一、填空题1. 任一作直线运动的

27、物体，其位移s与时间t的关系是s= 3t- t 设f(x)在x = xo处可导，那么当Ax无限趋近于0时匸2A_的值为 .,那么物体的初速度是10. 枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a= 5X 105 m/gx 10一3s.求枪弹射出枪口时的瞬时速度.【能力提升：11. 函数 y = ax2 + bx+ c,求函数在 x= 2处的导数.12. 以初速度vo (vo>O)垂直上抛的物体，t秒时间的高度为 s(t)= vot gt1. 利用定义求函数在一点处导数的步骤： 计算函数的增量：厨=f(xo+Ax) f(x o). 计算函数的增量与自变量增量A的比丈.，求物体在时

28、 刻to处的瞬时速度.v f xo+ Ax f xo 一计算上述增量的比值当 无限趋近于0时，=瓦无限趋近于A.2. 导数的物理意义是物体在某一时刻的瞬时速度.3. 1.2 瞬时变化率一一导数(一)知识梳理1 瞬时速度瞬时速度2.f xo + Ax f xoAx可导函数f(x)在点X= Xo处的导数4. S' (t)5.v'作业设计1. 3解析s=石=3 At At2At=3 At,当At无限趋近于0时，A无限趋近于3.2.f' (xo)解析_ f xo Ax f xo'Axf xo f xo AxAxf xo f xo Ax=Ax，当Ax无限趋近于o时，原式无

29、限趋近于一f' (xo).3. ato解析As=At =s to+ At s toAt1=?a At+ ato,当At无限趋近于o时，At无限趋近于ato.4. 3f| +Ax f3Ax2=Ax 3,当Ax无限趋近于0时，£无限趋近于一3.5. 01c解析1+ Ax + 八 A 2 Ay1 + AxAx=Ax&2+ 1 2 1+ Ax1 +Ax 1 + AxAxAx 2Ax 1 + Ax1 + Ax'当Ax无限趋近于0时,殳无限趋近于0.6. 1解析f 1 + Ax fAxa 1+ Ax 3 a 1 3Ax=a( A)2 3a Ax+ 3a.当Ax无限趋近于0

30、时，£无限趋近于即 3a= 3 ,. a= 1.解析Af f 4 + Ax f 4p4+ Ax 2AxAxAx当Ax无限趋近于0时，£无限趋近于14.& 4+ At 4解析 在1,1 + A内的平均加速度为 AV 1+ At V 1 = At + 4，当At无限趋近于0时,At云无限趋近于4./ 厨=f(1 + Ax) - f=11"19.解1 + Ax1 + Ax1+ .1+Ax.Ay =jAx ,1 + Ax1+ ,1 + Ax当Ax无限趋近于0时，-1,1+Ax1 + '. 1 + Ax1 1无限趋近于2，- f' (1) = - 2

31、10.解1运动方程为s= ?at21 1 因为 As= 2a(to+ At)2-atO=atoAt+ 2a( At)2,As1所以A = ato+扫At.所以当At无限趋近于0时，A无限趋近于ato.由题意知，a = 5X 105 m/s2, tox 10-3s,所以 at0= 8x 102= 800 (m/s).即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.11.解 / Ay= a(2 + Ax)2 + b(2 + Ax) + c- (4a+ 2b+ c)=4a Ax+ a( Zx)2 + b Ax,A 4aAx+ a Ax 2+ bAx= 4a+ b + a Ax,AxAx当Ax无限趋近于0

32、时，斗无限趋近于4a+ b.Ax所以函数在x= 2处的导数为4a+ b.1 2voto 2gto=(vo gto) A ?g( A)2,As1At= vo gto 2g A，当At无限趋近于0时，A无限趋近于vogt°.故物体在时刻to处的瞬时速度为vo gto.3. 2.1常见函数的导数知识梳理11. k o 1 2x X22.(X6)' = a x 1( a为常数)(ax) '= axln_a (a>o，且 1)(logax)'= Xlogae= xa (a>o,且 a丰 1)(ex) '= ex(ln x) '= x(sin

33、x) '= cos_x(cos x)，= sin_x作业设计1.解析， 1 , “1y =.x =(x1)1=2x解析直接利用导数公式.因为(cos x)' =- sin x,所以错误；sin 3=2，而 岁' = 0,所以错误；1 - - 2X2 ' = (x-2)' =-2x-3,那么 f' (3) =-27，所以正确.3. - sin x解析fo(x) = sin x, fi(x)= f' o(x) = cos x,f2(x) = f' i(x) = - sin x, f3(x) = f' 2(x) = - cos

34、x,f4(x) = f' 3(x) = sin x,由此继续求导下去，发现四个一循环，从0到2 010共2 011个数，2 011 = 4 X 502 + 3,所以 f2 010(x)= f2(x) = - sin x.4. ( 1,- 1)或(1,1)解析 y' = 3x2,t k= 3 ,二 3x2= 3,. x= ± 1那么P点坐标为(-1, - 1)或(1,1).15. -10越解析sz =.55t4当t= 4时，s' = 1丄=亠.折10%6. 2x解析/ f(x- 1) = 1-2x+ x2= (x- 1)2, f(x) = x2, f'

35、(x)= 2x.7. x+ 2y- .3-n= 0解析 t y' = (cos x)' =- sin x, k=-sin n=在点A处的切线方程为y 2 =- 1 x n即 x + 2y 3 n= 0.1 18. 2，4解析设切点坐标为(X0, X2),那么 tan 才二 f (xo) = 2xo,.°. xo= 1.1 1所求点为2， 1.9. 解(1) /y= Iog4x3 log4x2= log4x,1 y' = (l0g4x)'=忌.- y=2x2+ 1x2x2 + 1 2x22x=(3) / y= 2sin | 2si n2f 1=2sin

36、I 1 2si n2f=2s in 2 cos x = sin x. y' = (sin x)' = cos x.10.解(1)kAB= 2 1 = 3.(2)平均变化率労1 + Ax 2 1Ax2 Ax+ AxAx2-=2 +Ax.x(3)y' = 2x, k= f' (1) = 2,即点A处的切线斜率为kAT= 2.点A处的切线方程为y 1 = 2(x 1),即 2x y 1= 0.11. ( 3 0)1解析 t f' (x) = 5ax4 + x, x (0, + 3),x1 由题知5ax4 + x= 0在(0, + m)上有解.x1即 a = 5

37、x5在(o,+ m)上有解.1 x (0 , + m ),. c ( m, 0) . a ( m, 0). 5x12.解 / po= 1,二 p(t)= (1 + 5%)根据根本初等函数的导数公式表，有p，(tt)' t ln 1.05. p' 10 0.08(元/年).因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.3.2.2 函数的和、差、积、商的导数.2.理解求导法那么的证明过程，能I课时目标：1理解函数的和、差、积、商的求导法那么 够综合运用求导公式和四那么运算法那么求函数的导数.知识榛理1两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的 ，即f(x

38、) ±(x)'2 .两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上,即f(x) g(x)' Cf(x)' =(其中C为常数).3两个函数的商的导数，等于分子的导数与 减去与分子的积，再除以.即.作业谡计、填空题1 f(x)= x3+ 3x+ In 3，贝y f (x) =.2. 曲线y= xex+ 1在点(0,1)处的切线方程是 3函数 f(x) = x4+ ax2 bx，且 f (0) =- 13, f' ( 1)=- 27,贝V a + b =4.曲线y= x(x 1)(x 2)(x 6)在原点处的切线方程为 .5曲线y= ex在点(2

39、, e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 .nn6. 函数 f(x) = f' Qcos x+ sin x,贝U fQ)的值为.7. 曲线C: f(x)= sin x+ ex + 2在x = 0处的切线方程为 .3&某物体作直线运动，其运动规律是s= t2+ j(t的单位是秒，s的单位是米)，那么它在第4秒末的瞬时速度应该为 m/s.二、解答题9求以下函数的导数.(1) y= 10x；x+ cos x(2) y=x cos x(3) y= 2xcos x 3xlog 2 011X;(4) y= x tan.y= x2 + sin x在点(n旳处的切线方程.【能力提升:4

40、11. 点P在曲线y = 上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，贝V a的取值范围e十1为.12. 求抛物线y= x2上的点到直线x y 2 = 0的最短距离.反思虏悟1 理解和掌握求导法那么和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件.2. 对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数的几何意义，利用公式进行计算.3. 2.2函数的和、差、积、商的导数知识梳理1 .和(或差)f'(X)±' (x)2.第一个函数乘第二个函数的导数f' (x) g(x) + f(x) g' (x) C ' (x)3. 分母的积分母的导数分母的平方伍'=gx

41、f xfxgx (g(x)工0)g xg x作业设计1. 3x2 + 3x- ln 31解析 (in 3) ' = 0,注意防止出现(In 3) ' = £的错误.32. x y+ 1 = 0y = x+1，即 x y解析 丫 = e + xex,当x= 0时，导数值为1,故所求的切线方程是+ 1 = 0.3. 18解析 T f' (x) = 4x3 + 2ax b,f' 0 = 13 b = 13,由？f' 1 = 27 4 2a b = 27.a 5,a+ b= 5 + 13= 18.b= 13.4. y= 720x解析 y' =

42、(x 1)(x 2)(x 6) + x(x 1)(x 2)-(x 6)',所以 f' (0) = 1 X 2X 3X 4 X 5 X 6+ 0= 720.故切线方程为y= 720x.5. e2解析/ y' = (ex)' = ex,在(2, e2)处的切线斜率为 e2,曲线在点(2, e2)处的切线方程为y e2 = e2(x 2),即 y = e2% e2.当 x = 0 时，y= e2,当 y = 0 时，x= 1.1 1二 s f' (x)= f' n sin x + cos x.4 2X1X | ei=尹2.6. 1n解析T f(x) =

43、 f' 4 cos x+ sin x,n= n 2.24422 '二n=冷尹-1 故 f n=.2 -1x 2+孑=1.7. 2x y+ 3 = 0解析 由 f(x)= sin x+ e cos x 2 (3)y' = (2x)' cos x + (cos x)' 2x 3x'log2 011 x+ (log? qhx) x+ 2得 f' (x) = cos x+ ex,从而 f' (0) = 2，又 f(0) = 3,所以切线方程为y= 2x+ 3.1258.763解析/ s' = 2t卡，3 125当第 4 秒末，v= 8 16= ijRm/s).9.解 (1)y' = (10x)' = 10xln 10.(2)y'=x+ cos xx