鲁棒控制与鲁棒控制器设计

1、2022-3-181控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院薛定宇薛定宇 著著控制系统计算机辅助设计控制系统计算机辅助设计 MATLAB语言与应用语言与应用 清华大学出版社清华大学出版社2022-3-182控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院n线性二次型线性二次型 Gauss 控制控制n鲁棒控制问题的一般描述鲁棒控制问题的一般描述n 鲁棒控制器的计算机辅助设计鲁棒控制器的计算机辅助设计n新鲁棒控制工具箱及应用新鲁棒控制工具箱及应用n分数阶控制系统分析与设计分数阶控制系统分析与设计2022-3-183控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学

2、信息学院7.1 7.1 线性二次型线性二次型 Gauss Gauss 控制控制7.1.1 7.1.1 线性二次型线性二次型 Gauss Gauss 问题问题假设对象模型的状态方程表示为假设对象模型的状态方程表示为 为白噪声信号，分别表示模型的不确定性与输出信号的量测噪声。2022-3-184控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院定义最优控制的指标函数为定义最优控制的指标函数为2022-3-185控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院7.1.2 7.1.2 使用使用 MATLAB MATLAB 求解求解 LQG LQG 问题问题2022-3-186控制

3、系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院Kalman 滤波器的增益矩阵滤波器的增益矩阵式中式中 , 满足下面的满足下面的 Riccati 代数方程代数方程2022-3-187控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院【例例7-17-1】2022-3-188控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院2022-3-189控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院2022-3-1810控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院由由 Kalman 滤波器方程滤波器方程可以写出基于观测器的可以写出基于观测器的 LQG

4、 调节器为调节器为2022-3-1811控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院2022-3-1812控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院【例例7-27-2】2022-3-1813控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院7.1.3 7.1.3 带有回路传输恢复的带有回路传输恢复的 LQG LQG 控制控制使用使用 LQG 控制器，系统的开环传递函数表示为控制器，系统的开环传递函数表示为直接状态反馈系统的开环传递函数为直接状态反馈系统的开环传递函数为2022-3-1814控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院【

5、例例7-37-3】2022-3-1815控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院2022-3-1816控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院加权函数的选择加权函数的选择2022-3-1817控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院 2022-3-1818控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院2022-3-1819控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院【例例7-47-4】 对对【例例7-37-3】不同的不同的 q q 值应用值应用 LTR LTR 技术技术2022-3-1820控制系统计算机

6、辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院2022-3-1821控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院若想使得系统在输入端恢复环路传递函数，则若想使得系统在输入端恢复环路传递函数，则若想在对象模型的输出端恢复环路传递函数，则若想在对象模型的输出端恢复环路传递函数，则2022-3-1822控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院【例例7-57-5】 对对【例例7-37-3】选定一个选定一个 q q 向量，设计向量，设计 LTR LTR 控制器，并绘制出不同控制器，并绘制出不同 q q 值下环路传递函数值下环路传递函数 的的 Nyquist Nyqui

7、st 图。图。2022-3-1823控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院7.27.2鲁棒控制问题的一般描述鲁棒控制问题的一般描述n小增益定理n鲁棒控制器的结构n鲁棒控制系统的 MATLAB 描述2022-3-1824控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院7.2.1 7.2.1 小增益定理小增益定理(a) 标准反馈控制结构标准反馈控制结构(b) 小增益定理示意图小增益定理示意图2022-3-1825控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院假设假设 为稳定的，则当且仅当小增益条件为稳定的，则当且仅当小增益条件满足时满足时图图 (b)

8、 中所示的系统对所有稳定的中所示的系统对所有稳定的 都是良定的，都是良定的，且是内部稳定的。且是内部稳定的。即如果系统的回路传递函数的范数小于即如果系统的回路传递函数的范数小于 1，则闭，则闭环系统将总是稳定的。环系统将总是稳定的。2022-3-1826控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院7.2.2 7.2.2 鲁棒控制器的结构鲁棒控制器的结构闭环系统中引入的增广对象模型闭环系统中引入的增广对象模型其对应的增广状态方程为其对应的增广状态方程为2022-3-1827控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院闭环系统传递函数为闭环系统传递函数为2022-3

9、-1828控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院 最优控制问题最优控制问题 其中需求解 ； 最优控制问题最优控制问题 其中需求解 ； 控制问题控制问题 需要得出一个控制器满足鲁棒控制问题的三种形式：鲁棒控制问题的三种形式： 鲁棒控制的目的是设计出一个镇定控制器鲁棒控制的目的是设计出一个镇定控制器 使得闭环系统使得闭环系统 的范数取的范数取一个小于一个小于 1 的值，亦即的值，亦即2022-3-1829控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院加权灵敏度问题的控制结构框图加权灵敏度问题的控制结构框图 加权函数加权函数 ，使得，使得 均正则。均正则。 即传递

10、函数在即传递函数在 时均应该是有界的。时均应该是有界的。2022-3-1830控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院式中式中假定系统对象模型的状态方程为假定系统对象模型的状态方程为 ，加权函数加权函数 的状态方程模型为的状态方程模型为 的的状态方程模型为状态方程模型为 ，而非正则的而非正则的 的模型表示为的模型表示为 2022-3-1831控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院这时鲁棒控制问题可以集中成下面三种形式：这时鲁棒控制问题可以集中成下面三种形式：2022-3-1832控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院7.2.3 7

11、.2.3 鲁棒控制系统的鲁棒控制系统的 MATLAB MATLAB 描述描述 鲁棒控制工具箱中的系统描述方法鲁棒控制工具箱中的系统描述方法2022-3-1833控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院2022-3-1834控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院2022-3-1835控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院【例例7-67-6】2022-3-1836控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院2022-3-1837控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院变换出系统矩阵变换出系统矩阵 P

12、2022-3-1838控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院【例例7-77-7】用用【例例7-67-6】中的对象模型和加权函数，中的对象模型和加权函数， 得出其系统矩阵模型得出其系统矩阵模型 P P 2022-3-1839控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院7.3 7.3 鲁棒控制器的鲁棒控制器的 计算机辅助设计计算机辅助设计n鲁棒控制工具箱的设计方法鲁棒控制工具箱的设计方法n基于线性矩阵不等式工具箱的设计方法基于线性矩阵不等式工具箱的设计方法n基于基于 分析与综合工具箱的分析与综合工具箱的 控制器设计控制器设计n基于回路成型技术的鲁棒控制器设计基

13、于回路成型技术的鲁棒控制器设计2022-3-1840控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院7.3.1 7.3.1 鲁棒控制工具箱的鲁棒控制工具箱的 设计方法设计方法鲁棒控制器的状态方程表示鲁棒控制器的状态方程表示其中其中X X 与与 Y Y 由下面的两个代数由下面的两个代数 Riccati Riccati 方程求解方程求解2022-3-1841控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院控制器存在的前提条件为控制器存在的前提条件为n 足够小足够小, , 且满足且满足 ； n 控制器控制器 Riccati Riccati 方程的解为方程的解为 正定矩阵；正定

14、矩阵； n 观测器观测器 Riccati Riccati 方程的解为方程的解为 正定矩阵；正定矩阵； n 。该式说明两个该式说明两个 Riccati Riccati 方程的积方程的积矩阵的所有特征值均小于矩阵的所有特征值均小于 。 2022-3-1842控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院【例例7-87-8】对对【例例7-67-6】中的增广的系统模型，分别中的增广的系统模型，分别 设计设计2022-3-1843控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院绘制绘制在控制器作用下系统的开环在控制器作用下系统的开环 Bode Bode 图和图和闭环阶跃响应曲线

15、闭环阶跃响应曲线2022-3-1844控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院【例例7-97-9】设设计最优计最优 控制器，并绘制出该控制器作用下的控制器，并绘制出该控制器作用下的阶跃响应曲线和开环系统的奇异值曲线。阶跃响应曲线和开环系统的奇异值曲线。并设置并设置加权矩阵加权矩阵2022-3-1845控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院2022-3-1846控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院【例例7-107-10】带有双积分器的非最小相位受控对象带有双积分器的非最小相位受控对象，选择加权函数，选择加权函数并选择极点漂移为并选

16、择极点漂移为设计系统的最优设计系统的最优 控制器。控制器。2022-3-1847控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院2022-3-1848控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院7.3.2 7.3.2 基于线性矩阵不等式基于线性矩阵不等式 工具箱的设计方法工具箱的设计方法 问题转问题转换成线性矩阵换成线性矩阵不等式的最优不等式的最优化问题化问题2022-3-1849控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院【例例7-117-11】采用采用【例例7-67-6】中增广的系统模型，用中增广的系统模型，用 LMILMI 工具箱的相关函数设计

17、最优工具箱的相关函数设计最优 控制器控制器2022-3-1850控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院7.3.3 7.3.3 基于基于 分析与综合工具箱分析与综合工具箱 的的 控制器设计控制器设计【例例7-127-12】采用采用【例例7-67-6】中增广的系统模型，用中增广的系统模型，用 分析与综合工具箱的相关函数设计最优分析与综合工具箱的相关函数设计最优 控制器控制器2022-3-1851控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院2022-3-1852控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院7.3.4 7.3.4 基于回路成型技术的

18、基于回路成型技术的 鲁棒控制器设计鲁棒控制器设计假设前向回路的数学模型为假设前向回路的数学模型为 ，由典型反馈系统有由典型反馈系统有 ，则系统的灵敏度，则系统的灵敏度控制传递函数控制传递函数 ，灵敏度函数，灵敏度函数2022-3-1853控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院加权和数与回路成型示意图加权和数与回路成型示意图2022-3-1854控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院2022-3-1855控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院7.4 7.4 新鲁棒控制工具箱新鲁棒控制工具箱及应用及应用7.4.1 7.4.1 不确定

19、系统的描述不确定系统的描述2022-3-1856控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院【例例7-137-13】典型二阶开环传函典型二阶开环传函选定标称值为选定标称值为构造不确定系统模型。构造不确定系统模型。2022-3-1857控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院对叠加型不确定性对叠加型不确定性对乘积型的不确定性对乘积型的不确定性2022-3-1858控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院7.4.2 7.4.2 灵敏度问题的鲁棒控制器设计灵敏度问题的鲁棒控制器设计一般情况下，受控对象一般情况下，受控对象 G G 的的 D D

20、矩阵为非满秩矩阵时，矩阵为非满秩矩阵时，不能得出精确的成型控制器，这时回路奇异值的上下限不能得出精确的成型控制器，这时回路奇异值的上下限满足式子满足式子当当 时，控制器作用下实际回路奇异值介于时，控制器作用下实际回路奇异值介于 之间。之间。2022-3-1859控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院【例例7-147-14】2022-3-1860控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院绘制在此控制器下的回路奇异值及闭环绘制在此控制器下的回路奇异值及闭环系统的阶跃响应曲线系统的阶跃响应曲线2022-3-1861控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东

21、北大学信息学院7.4.3 7.4.3 混合灵敏度问题的鲁棒混合灵敏度问题的鲁棒 控制器设计控制器设计2022-3-1862控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院【例例7-157-15】2022-3-1863控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院假设系统的不确定部分为乘积型的，且已知假设系统的不确定部分为乘积型的，且已知 ，并已知不确定参数的变化范围为并已知不确定参数的变化范围为, ,设计固定的设计固定的 控制器控制器2022-3-1864控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院7.5 7.5 分数阶控制系统分析分数阶控制系统分析与

22、设计与设计7.5.1 7.5.1 分数阶微积分学与数值计算分数阶微积分学与数值计算n 分数阶微积分的定义分数阶微积分的定义2022-3-1865控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院当系数简单表示当系数简单表示2022-3-1866控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院编写求取给定函数的分数阶微分函数编写求取给定函数的分数阶微分函数2022-3-1867控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院n Riemann Riemann- -Liouville Liouville 定义为目前最常用的分数阶微积分定义定义为目前最常用的分数阶微

23、积分定义2022-3-1868控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院Caputo Caputo 分数阶微分定义为分数阶微分定义为Caputo Caputo 分数阶积分定义为分数阶积分定义为2022-3-1869控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院分数阶微积分的性质分数阶微积分的性质 解析函数解析函数 的分数阶导数的分数阶导数 对对 都是解析的。都是解析的。 为整数时，分数阶微分与整数阶微分的为整数时，分数阶微分与整数阶微分的 值完全一致，且值完全一致，且 。 分数阶微积分算子为线性的，即对任意常数分数阶微积分算子为线性的，即对任意常数 ， 有有20

24、22-3-1870控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院 分数阶微积分算子满足交换律，并满足叠加关系分数阶微积分算子满足交换律，并满足叠加关系 函数分数阶微分的函数分数阶微分的 Laplace Laplace 变换为变换为特别地，若函数特别地，若函数 及其各阶导数的初值均为及其各阶导数的初值均为 0 0，则，则2022-3-1871控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院7.5.2 7.5.2 分数阶线性系统频域分数阶线性系统频域 与时域分析与时域分析单变量线性系统的分数阶传递函数一般形式为单变量线性系统的分数阶传递函数一般形式为2022-3-1872

25、控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院2022-3-1873控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院2022-3-1874控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院7.5.3 7.5.3 分数阶微分的滤波器近似及应用分数阶微分的滤波器近似及应用Oustaloup Oustaloup 算法算法滤波器零极点和增益为滤波器零极点和增益为假设选定的拟合频率段为假设选定的拟合频率段为 ，则可以构造出连续则可以构造出连续滤波器的传递函数模型为滤波器的传递函数模型为2022-3-1875控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院编

26、写设计连续滤波器的函数。编写设计连续滤波器的函数。2022-3-1876控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院【例例7-167-16】2022-3-1877控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院2022-3-1878控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院2022-3-1879控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院【例例7-177-17】用近似方法求解分数阶非线性微分方程用近似方法求解分数阶非线性微分方程2022-3-1880控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院7.5.4 7.5.4 分数阶系统的模型降阶技术分数阶系统的模型降阶技术2022-3-1881控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用东北大学信息学院【例例7-187-18】利用最优降阶函数利用最优降阶函数opt_app( )opt_app( )对其进行降阶处理，对其进行降阶处理，并绘制出高阶近似与最优降阶近似模型的阶跃响应并绘制出高阶近似与最优降阶近似模型的阶跃响