第2章 2.2.2 第2课时

1、第2课时椭圆的几何性质及应用学习目标1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识.知识点一点与椭圆的位置关系思考类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆1(ab0)的位置关系的判定吗？答案当P在椭圆外时，1；当P在椭圆上时，1；当P在椭圆内时，b0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：位置关系满足条件P在椭圆外1P在椭圆上1P在椭圆内b0)的位置关系？答案联立消去y得关于x的一元二次方程.梳理直线与椭圆的三种位置关系位置关系解的个数的取值相交两解0相切一解0相离无解0知识点三直线与椭圆的相交弦思考若直线与椭圆相交，如何求相交弦弦长？答案有两种方法：

2、一种方法是联立直线方程与椭圆方程求出交点坐标，利用两点间距离公式可求得；另一种方法是利用弦长公式可求得.梳理弦长公式：(1)AB|x1x2|；(2)AB |y1y2| (直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，k为直线的斜率).其中，x1x2，x1x2或y1y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立，消去y或x后得到关于x或y的一元二次方程，由一元二次方程的根与系数的关系而得到.1.椭圆y21的长轴长为4.()2.椭圆1的离心率为.()3.若椭圆1的离心率为，则m的值等于3.()类型一直线与椭圆的位置关系例1当m取何值时，直线l：yxm与椭圆9x216y2144.(1)无

3、公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)有两个公共点.考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点个数问题解由消去y，得25x232mx16m21440，(32m)2100(16m2144)576(m225).(1)由0，解得m5.(2)由0，解得m5.(3)由0，解得5m5.反思与感悟判断直线与椭圆的位置关系的方法跟踪训练1若直线ykx1与焦点在x轴上的椭圆1总有公共点，求m的取值范围.考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点个数问题解因为直线ykx1恒过定点(0,1)，点(0,1)在椭圆1上或其内部就能满足题意，所以解得1m0；(2)直线与椭圆相切0；(3)直线与椭圆相离0.此时直

4、线的方程为y2(x4)，即x2y80.方法二设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减，得0，整理得kAB.由于P(4,2)是AB的中点，x1x28，y1y24，于是kAB.于是直线AB的方程为y2(x4)，即x2y80.反思与感悟处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程.利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系.跟踪训练3已知椭圆ax2by21(a0，b0且ab)与直线xy10相交于A，B两点，C是AB的中点，若AB2，OC的斜率为，求椭圆的方程.考点直线与椭圆的位置关

5、系题点中点弦问题解方法一设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0.A，B为直线xy10上的点，1.由已知得kOC，代入式可得ba.直线xy10的斜率为k1，又AB|x2x1|x2x1|2，|x2x1|2.联立ax2by21与xy10，消去y，可得(ab)x22bxb10.且由已知得x1，x2是方程(ab)x22bxb10的两根，x1x2，x1x2，4(x2x1)2(x1x2)24x1x224.将ba代入式，解得a，b.所求椭圆的方程是1.方法二由消去y，得(ab)x22bxb10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

6、x1x2，x1x2，且直线AB的斜率为k1.AB.AB2，2，1.设C(x，y)，则x，y1x.OC的斜率为，将其代入式，得a，b.所求椭圆的方程为1.类型三椭圆中的最值(或范围)问题例4已知椭圆4x2y21及直线yxm.若设直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求AOB面积的最大值及AOB面积最大时的直线方程.考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆相交时的最值问题解由消去y，得5x22mxm210，由4m220(m21)0，得m，x1x2，x1x2，则AB|x1x2|.又O到AB的距离d.所以SAOBABd，当且仅当m2m2时，等号成立，此时m，即AOB的面积最大为，此时直

7、线方程为xy0.反思与感悟解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.跟踪训练4直线yb与椭圆y21交于A，B两点，记AOB的面积为S.求在0b0，m1或m0且m3，m1且m3.2.过椭圆y21的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A，B两点，则AB_.考点直线与椭圆的位置关系题点中点弦问题答案1解析由题意知AB为通径，则AB1.3.椭圆1的左、右焦

8、点分别为F1，F2，弦AB过F1，若ABF2的内切圆周长为，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|y1y2|的值为_.考点直线与椭圆的位置关系题点中点弦问题答案解析易知ABF2内切圆的半径r，根据椭圆的性质结合ABF2的特点，可得ABF2的面积Slr2c|y1y2|，其中l为ABF2的周长，且l4a，代入数据解得|y1y2|.4.过点P(1,1)的直线交椭圆1于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，则AB所在的直线方程为_.考点直线与椭圆的位置关系题点中点弦问题答案x2y30解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则又两式相减得.AB所在的直线方程为x2y30.5.直线l

9、：ykx1与椭圆y21交于M，N两点，且MN，求直线l的方程.考点直线与椭圆的位置关系题点求椭圆中的直线方程解设直线l与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2).由消去y并化简，得(12k2)x24kx0，所以x1x2，x1x20.由MN，得(x1x2)2(y1y2)2，所以(1k2)(x1x2)2，所以(1k2)(x1x2)24x1x2，即(1k2)2，化简得k4k220，所以k21，即k1.所以所求直线l的方程是yx1或yx1.1.直线与椭圆相交弦长的有关问题(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长.(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式.

10、设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有AB (k为直线斜率).(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况.2.解决椭圆中点弦问题的二种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.一、填空题1.若直线x2y20经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为_.考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆相交时的其他问题答案y21或1解析直线与坐标轴的交点为(0,1)，(2,

11、0)，由题意知当焦点在x轴上时，c2，b1，a25，所求椭圆的标准方程为y21.当焦点在y轴上时，b2，c1，a25，所求椭圆的标准方程为1.2.直线xa与椭圆1恒有两个不同的交点，则a的取值范围为_.考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点个数问题答案(，)3.若直线axby40和圆x2y24没有公共点，则过点(a，b)的直线与椭圆1的公共点个数为_.考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点个数问题答案2解析直线与圆没有交点，d 2，a2b24，即1，b0)的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连结AF，BF.若AB10，AF6，cosABF，则椭圆C的离心率e_.

12、考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆相交时的其他问题答案解析设椭圆的右焦点为F1，在ABF中，由余弦定理可解得BF8，所以ABF为直角三角形，又因为斜边AB的中点为O，所以OFc5，连结AF1，因为A，B关于原点对称，所以BFAF18，所以2a14，a7，所以离心率e.6.若点O和点F分别为椭圆y21的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP2PF2的最小值为_.考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆相交时的最值问题答案2解析设P(x0，y0)，而F(1,0)，OP2PF2xy(x01)2y.又y1，OP2PF2x2x03(x01)222.OP2PF2的最小值为2.7.过点M(1,1)作

13、斜率为的直线与椭圆C：1(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为_.考点直线与椭圆的位置关系题点中点弦问题答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则又A，B两点在椭圆上，则0，.，x1x22，y1y22，a22b2.又b2a2c2，a22(a2c2)，a22c2，e.8.若直线ykx交椭圆y21于A，B两点，且AB，则k的取值范围为_.考点直线与椭圆的位置关系题点弦长问题答案解析由得x2.不妨设由两点间距离公式得AB210，解得k2.k的取值范围为.9.如图，椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1

14、F22MF2F1，则该椭圆的离心率为_.考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆相交时的其他问题答案1解析由直线方程y(xc)，得直线与x轴的夹角MF1F2，且过点F1(c,0).MF1F22MF2F1，MF1F22MF2F1，即F1MF2M.在RtF1MF2中，F1F22c，F1Mc，F2Mc，由椭圆定义，可得2acc，离心率e1.10.若椭圆C：1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在椭圆C上，且直线PA2的斜率的取值范围是2，1，则直线PA1的斜率的取值范围为_.考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆相交时的其他问题答案解析设P(x，y)，直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2.则k1k2

15、.因为k22，1，所以k1.二、解答题11.设直线yxb与椭圆y21相交于A，B两个不同的点.(1)求实数b的取值范围；(2)当b1时，求|.考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点个数问题、弦长问题解(1)将yxb代入y21，消去y，整理得3x24bx2b220.因为直线yxb与椭圆y21相交于A，B两个不同的点，所以16b212(2b22)248b20，解得b0，b0)与直线x3y20的交点，点M是AB的中点，且点M的横坐标为，若椭圆C的焦距为8，求椭圆C的方程.考点直线与椭圆的位置关系题点中点弦问题解设A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM).由题意得kAB0.点M，0

16、，a23b2.又c4，a224，b28，经检验，a224，b28符合题意，椭圆C的方程为1.13.已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.考点直线与椭圆的位置关系题点求椭圆中的直线方程解(1)依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，知左焦点为F(2,0).从而有解得又a2b2c2，所以b212，故椭圆C的方程为1.(2)假设存在符合题意的直线l，由题意知直线l的斜率与直线OA的斜率相等，故可设直线l的

17、方程为yxt.由得3x23txt2120.因为直线l与椭圆C有公共点，所以(3t)243(t212)0，解得4t4.另一方面，由直线OA与l的距离d4，可得4，从而t2，由于24，4，所以符合题意的直线l不存在.三、探究与拓展14.已知椭圆1(ab0)的离心率为.设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点，若点Q在椭圆上且满足AQAO，则直线OQ的斜率为_.考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆相交时的其他问题答案解析设直线OQ的斜率为k，则其方程为ykx.设点Q的坐标为(x0，y0).由条件得消去y0并整理得x.(*)由AQAO，A(a,0)及y0kx0，得(x0a)2k2xa2，整理得(1k2)x2ax00.而x00，故x0.代入(*)式，整理得(1k2)24k24.由离心率为知，故(1k2)2k24，即5k422k2150，可得k25.所以直线OQ的斜率k.15.已知两点F1(2,0)，F2(2,0)，曲线C上的动点M满足MF1MF22F1F2，直线MF2与曲线C交于另一点P.(1)求曲线C的方程及离心率；(2)设N(4,0)，若SMNF2SPNF232，求直线MN的方程.考