第二章 2.1.2 第2课时

1、第2课时椭圆的几何性质的应用学习目标1.进一步巩固椭圆的几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识知识点一点与椭圆的位置关系思考类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆1(a>b>0)的位置关系的判定吗？答案当P在椭圆外时，>1；当P在椭圆上时，1；当P在椭圆内时，<1.梳理设P(x0，y0)，椭圆1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：位置关系满足条件P在椭圆外>1P在椭圆上1P在椭圆内<1知识点二直线与椭圆的位置关系思考直线与椭圆有几种位置关系？如何判断？答案有三种位置关系，分别是相交、相切、相离可以通过直

2、线与椭圆的公共点的个数判断梳理直线ykxm与椭圆1的位置关系的判定联立消去y得关于x的一元二次方程.位置关系解的个数的取值相交两解>0相切一解0相离无解<0知识点三直线与椭圆的相交弦思考若直线与椭圆相交，如何求相交弦弦长？答案有两种方法：一种方法是联立直线方程与椭圆方程求出交点坐标，利用两点间距离公式可求得，另一种方法是利用弦长公式可求得梳理弦长公式：(1)|AB|x1x2|；(2)|AB| |y1y2| (直线与椭圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，k为直线的斜率)其中，x1x2，x1x2或y1y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立，消去y或x后得到关于x或y

3、的一元二次方程得到(1)点与椭圆的位置关系有且仅有三种()(2)直线l与椭圆C相切的充要条件是直线l与椭圆C有且只有一个公共点()类型一直线与椭圆的位置关系命题角度1直线与椭圆位置关系判断例1直线ykxk1与椭圆1的位置关系是()A相交 B相切 C相离 D不确定考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点的个数问题答案A解析直线ykxk1k(x1)1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交反思与感悟直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法)联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程：(1)>0直线与椭圆相交有两个公共点(2)0直线与椭圆相切有且只有一个公共点(3)<0直线

4、与椭圆相离无公共点跟踪训练1在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点的个数问题解由已知条件知直线l的方程为ykx，代入椭圆方程得(kx)21.整理得x22kx10.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于8k244k220，解得k或k.即k的取值范围为.命题角度2距离的最值问题例2在椭圆1上求一点P，使它到直线l：3x2y160的距离最短，并求出最短距离考点直线与椭圆的位置关系题点距离的最值问题解设与椭圆相切并与l平行的直线方程为yxm，代入1，并整理得4x23mxm270，9m2

5、16(m27)0m216m±4，故两切线方程为yx4和yx4，由图可知yx4距l最近，故最短距离d，P点为切点，即P.反思与感悟解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交>0；(2)直线与椭圆相切0；(3)直线与椭圆相离<0，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具跟踪训练2已知椭圆1，直线l：4x5y400.椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？考点直线与椭圆的位置关系题点距离的最值问题解如图，由直线l的方程与椭圆的方程可知，直线l与椭圆不相交设直线m平行于直线l，则

6、直线m的方程可以写成4x5yk0.由方程组消去y，得25x28kxk22250.令方程的根的判别式0，得64k24×25×(k2225)0.解方程得k125或k225.由图可知，当k25时，直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近，此时直线m的方程为4x5y250.直线m与直线l间的距离d.所以，最小距离是.类型二弦长与中点弦问题例3已知椭圆1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程考点直线与椭圆的位置关系题点中点弦问题解(1)由已知可得直线l的方程为y2(x4)，即yx.由

7、消去y，可得x2180，若设A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1x20，x1x218.于是|AB| ×63.所以线段AB的长度为3.(2)方法一当直线l的斜率不存在时，不合题意所以直线l的斜率存在设l的斜率为k，则其方程为y2k(x4)联立消去y，得(14k2)x2(32k216k)x(64k264k20)0.若设A(x3，y3)，B(x4，y4)，则x3x4，由于AB的中点恰好为P(4,2)，所以4，解得k，且满足>0.这时直线的方程为y2(x4)，即x2y80.方法二设A(x3，y3)，B(x4，y4)，则有两式相减得0，整理得kAB，由于P(4,2)是AB的中点，x1

8、x28，y1y24，于是kAB，于是直线AB的方程为y2(x4)，即x2y80.引申探究若P(4,2)恰是直线l：x2y80被椭圆1(ab0)所截弦AB的中点，求该椭圆的离心率解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，kAB，a24b2.又c2a2b23b2，e2，e.反思与感悟处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系跟踪训练3已知椭圆ax2by21(a>0，b>0且ab)与直线xy10相交于A，B两点，C是AB的中点，

9、若|AB|2，OC的斜率为，求椭圆的方程考点直线与椭圆的位置关系题点中点弦问题解方法一设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0.A，B为直线xy10上的点，1.由已知得kOC，代入式可得ba.直线xy10的斜率k1.又|AB|x2x1|x2x1|2，|x2x1|2.联立ax2by21与xy10，消去y，得(ab)x22bxb10.且由已知得x1，x2是方程(ab)x22bxb10的两根，x1x2，x1x2，4(x2x1)2(x1x2)24x1x224·.将ba代入式，解得a，b.所求椭圆的方程是1.方法二由得(

10、ab)x22bxb10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，且直线AB的斜率k1，|AB|·.|AB|2，2，1.设C(x，y)，则x，y1x.OC的斜率为，将其代入式得，a，b.所求椭圆的方程为1.类型三椭圆中的最值(或范围)问题例4已知椭圆4x2y21及直线yxm.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程考点直线与椭圆的位置关系题点椭圆中的最值问题解(1)由消去y，得5x22mxm210，因为直线与椭圆有公共点， 所以4m220(m21)0，解得m.(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两

11、点，由(1)知5x22mxm210，所以x1x2，x1x2(m21)，所以|AB| .所以当m0时，|AB|最大，此时直线方程为yx.引申探究在例4中，设直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求AOB面积的最大值及AOB面积最大时的直线方程解可求得O到AB的距离d，又|AB|，SAOB|AB|·d·· ·，当且仅当m2m2时，上式取“”，此时m±.所求直线方程为xy±0.反思与感悟解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等解决这类问题需要正确地应用转

12、化思想、函数与方程思想和数形结合思想其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件跟踪训练4若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为_考点椭圆的几何性质题点椭圆的范围的简单应用答案6解析由椭圆方程得F(1,0)，设P(x0，y0)，则·(x0，y0)·(x01，y0)xx0y.P为椭圆上一点，1.·xx03x03(x02)22.2x02，·的最大值在x02时取得，且最大值等于6.1点A(a,1)在椭圆1的内部，则a的取值范围是()Aa Ba或aC

13、2a2 D1a1考点椭圆的几何性质题点点与椭圆的位置关系答案A解析由题意知1，解得a.2若直线yx与椭圆x21(m>0且m1)只有一个公共点，则该椭圆的长轴长为()A1 B. C2 D2考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆公共点的个数问题答案D解析联立消去y，得(m21)x22x6m20，(2)24(m21)(6m2)0，即4m2(m25)0，m>0且m1，m，故选D.3设F1，F2为椭圆y21的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，·的值等于()A0 B2 C4 D2考点直线与椭圆的位置关系题点弦长与三角形面积答案D解析

14、由题意，得c，又22××|F1F2|·h(h为F1F2边上的高)，当hb1时，取最大值，此时F1PF2120°.·|·|·cos 120°2×2×2.4过点P(1,1)的直线交椭圆1于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，则AB所在的直线方程为_考点直线与椭圆的位置关系题点中点弦问题答案x2y30解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则又两式相减得.AB所在的直线方程为x2y30.5直线l：ykx1与椭圆y21交于M，N两点，且|MN|，求直线l的方程考点直线与椭圆的位置关系题点求椭圆中的直

15、线方程解设直线l与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y并化简，得(12k2)x24kx0，16k20，所以x1x2，x1x20.由|MN|，得(x1x2)2(y1y2)2，所以(1k2)(x1x2)2，所以(1k2)(x1x2)24x1x2，即(1k2)2，化简得k4k220，所以k21，所以k±1.所以所求直线l的方程是yx1或yx1.1直线与椭圆相交弦长的有关问题(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有|AB| 

16、3; ·(k为直线斜率)(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况2解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系特别提醒：利用公式计算弦长时，要注意这两个公式的区别，切勿记错一、选择题1椭圆1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是()A8,2 B5,4 C5,1 D9,1考点椭圆的几何性质题点椭圆的范围的简单应用答案D解析因为a5，c4，所以最大距离为a

17、c9，最小距离为ac1.2已知点(m，n)在椭圆8x23y224上，则2m4的取值范围是()A42，42 B4，4C42，42 D4，4考点椭圆的几何性质题点椭圆的范围的简单应用答案A解析方程可化为1，故椭圆焦点在y轴上，又a2，b，所以m，故422m424.3直线ykx1与椭圆1总有公共点，则m的取值范围是()Am>1 Bm1或0<m<1C0<m<5且m1 Dm1且m5考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆公共点的个数问题答案D解析直线ykx1恒过(0,1)点，且直线与椭圆总有公共点，则点(0,1)在椭圆上或内部，即1，得m1，又m5，所以选D.4直线y1被椭圆

18、1截得的线段长为()A4 B3 C2 D.考点直线与椭圆的位置关系题点弦长与三角形面积答案C5若直线axby40和圆x2y24没有公共点，则过点(a，b)的直线与椭圆1的公共点个数为()A0 B1C2 D需根据a，b的取值来确定考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆公共点的个数问题答案C解析直线与圆没有交点，d >2，a2b2<4，即<1，<1，点(a，b)在椭圆内部，故直线与椭圆有2个交点6已知椭圆x22y24，则以(1,1)为中点的弦的长度是()A3 B2 C. D.考点直线与椭圆的位置关系题点中点弦问题答案C解析设以(1,1)为中点的弦的两端为A(x1，y1)，B

19、(x2，y2)，可得(x1x2)(x1x2)2(y1y2)(y1y2)0，又，所在直线方程为y1(x1)，即yx，由得3x26x10，x1x22，x1x2.|AB| ××.二、填空题7直线ya与椭圆1恒有两个不同的交点，则a的取值范围是_考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆公共点的个数问题答案(2,2)解析如图，2<a<2.8如图，椭圆1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率为_考点椭圆几何性质的应用题点求椭圆的离心率答案1解析由直线方程y(xc)，得直

20、线与x轴的夹角MF1F2，且过点F1(c,0)MF1F22MF2F1，MF1F22MF2F1，即F1MF2M.在RtF1MF2中，|F1F2|2c，|F1M|c，|F2M|c，由椭圆定义可得2acc，离心率e1.9过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为原点，则OAB的面积为_考点直线与椭圆的位置关系题点弦长与三角形面积答案解析直线方程为y2x2，与椭圆方程1联立，可以解得A(0，2)，B，SOAB|OF|·|yAyB|(也可以用设而不求的方法求弦长|AB|，再求出点O到AB的距离，进而求出AOB的面积)10若椭圆mx2ny21(m>0，n>0)与直

21、线xy10交于A，B两点，若，则过原点与线段AB的中点M的连线的斜率为_考点直线与椭圆的位置关系题点中点弦问题答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则得m(x1x2)(x1x2)n(y1y2)(y1y2)0，即·0.1，kOM.三、解答题11已知点A，B是椭圆C：1(a>0，b>0)与直线x3y20的交点，点M是AB的中点，且点M的横坐标为，若椭圆C的焦距为8，求椭圆C的方程考点直线与椭圆的位置关系题点中点弦问题解设A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，依题意得kAB0，点M，×0，a23b2.又c4，a224，b28，经检验，a224，

22、b28符合题意，椭圆C的方程为1.12已知椭圆C的两个焦点分别为F1(1,0)，F2(1,0)，短轴的两个端点分别为B1，B2.(1)若F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；(2)若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程考点椭圆几何性质的应用题点由椭圆的几何性质求方程解(1)设椭圆C的方程为1(ab0)根据题意知解得a2，b2.故椭圆C的方程为1.(2)容易求得椭圆C的方程为y21.当直线l的斜率不存在时，其方程为x1，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)由消去y，得(2k21)x24k2x2(k21)0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2，(x11，y1)，(x21，y2)，因为，所以·0，即(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1k2(x11)(x21)(k21)x1x2(k21)(x1x2)k210，解得k2，即k±.故直线l的方程为xy10或xy10.13椭圆1(a>b>0)与直线xy10相交于P，Q两点，且(O为坐标原点)(1)求证：等于定值；(2)若椭圆的离心率e，求椭圆长轴长的取值范围考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆