第八章不定积分52454

1、第八章 不定积分§8-1 不定积分的概念与性质一原函数与不定积分定义：设函数在某区间上有定义，若或，则称为在区间上的一个原函数，即：若是导数，则为的一个原函数。例如：在原函数族定理：若是在区间上的一个原函数，则+C（C为常数），也是在区间上的一个原函数。例如：，可见。例如：下列函数，哪些是同一函数的原函数：（1）（2）原函数存在定理：在区间I上连续的函数，在该区间上一定存在原函数。注：证明在第九章不定积分的定义：若，则在区间上的全体函数为称为的不定积分，记作 即 ，c是任意常数。名称介绍：不定积分的几何意义：是的全体原函数，在几何上它们就是一族曲线，称为的积分曲线族。二、不定积分的基

2、本性质四等式：三、积分基本公式：由于积分运算是，求导运算的逆运算，因此由微分学中基本公式可直接得到相应的不定公式基本积分表法则：若函数的原函数都存在，则（1）（2）且为常数例：求下列不定积分：（1）（2）（3）（4）例：一曲线经过点（1，2），且其上任意一点处切线的斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线方程？例：已知的图形经过点（0，3），的图形是经过点（1，0），且不平行于坐标轴的直线，的极值是2，求？小结：略作业：P144/1，2，35§8-2 凑微分法（第一换元法）直接积分法（复习回顾）凑微分法（第一类换元法）引例：基本积分公式： 那么是否正确？ 验算： 上述结果是错误 给出正确解

3、法。定理（凑微分法或第一类换元法）设函数在所考虑的区间内是可微的，且知 则有：证：（分析复合函数求导法则）基本积分表中，把它的积分变量x换成可微函数时，公式仍成立 问题：如何具体运用定理呢？ 常用微分关系式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7） （8）（9） （10）例如：求下列不定积分（关键凑出）a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) §8-3换元法即变量代换法（第二类换元法或第二类变量代替法）定理（第二类换元法）：设是单调可导函数，且，又 具有原函数，则有：证明:分析由不定积分的定义只须证明的一个原函数即可.注：在具体运用换元法时，关键是选择适当的变换式

4、例：例：例：例：从以上四例可看出，被积函数中含有等式的无理函数时不能用凑微分法，应用下列变换式，将根号消去，把积分求出：（） 若含有（） 若含有（） 若含有（） 若含有§8-4 分部积分法 引例（）（）定理（分部积分法）：若均具有连续的导数，且存在，则也存在，并有：举例：（）（）（）（）（）从上述几例得，若是多项式，则对形如：（）（）（）（）（）（）举例（）（）（分析：先去根号用变量替代法）（）以上分别介绍三种基本积分法，其实一个积分可能有多种方法，在基本方法的基础上，应选择较好的方法求解例如：解法一：（凑微分法）解法二：（换元法）解法三：（分部积分法）小结：作业：P145/4，5，

5、6§8-5 有理函数与三角函数有理式的积分一、有理函数的积分有理函数定义:设函数分别是关于x的n次和m次多项式,则称为有理函数.其中(1)当n<m时称为有理真分式.(2)当n>m时称为有理假分式.而利用多项式除法,有理假分式可化成一个多项式与一个有理真分式之和.例1：把化成一个多项式与一个有理真分式之和解：两类常用的最简分式:例2.把分解成最简分式 解：(1)待定系数法.(2)赋值法.()有理函数的积分举例二、三角函数有理式的积分1.定义:对三角函数和施行四则运算所得到的式子称为三角函数有理式.记作。2.几类三角函数有理式的积分举例把它们转化为t的有理函数的积分,从而求得原函数.例3(2).,其中n,m中至少有一个是奇数, 对这类积分,把奇次幂的三角函数分离出一次幂,用凑微分求出原函数.例4 (3).,其中n,m均是偶数.这类积分主要利用三角恒等式:来降幂,然