第2章 2.3.3 第2课时

1、第2课时等比数列前n项和的性质及应用学习目标1.理解等比数列前n项和公式的函数特征.2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.3.会用错位相减法求和知识点一等比数列前n项和公式的函数特征思考若数列an的前n项和Sn2n1，那么数列an是不是等比数列？若数列an的前n项和Sn2n11呢？答案当Sn2n1时，annN*是等比数列；当Sn2n11时，annN*不是等比数列梳理当公比q1时，设A，等比数列的前n项和公式是SnA(qn1)即Sn是n的指数型函数当公比q1时，因为a10，所以Snna1，Sn是n的正比例函数知识点二等比数列前n项和的性质思考若公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，

2、则Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列吗？答案由题意可知，Sn，S2nSn，S3nS2n都不为0，设an的公比为q，则Sna1a2an，S2nSnan1an2a2na1qna2qnanqnqnSn，S3nS2na2n1a2n2a3nan1qnan2qna2nqnqn(S2nSn)，Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列，公比为qn.梳理等比数列an前n项和的三个常用性质：(1)数列an为公比不为1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍构成等比数列(2)若an是公比为q的等比数列，则SnmSnqnSm(n，mN*)(3)若an是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是

3、数列的偶数项和与奇数项和，则：在其前2n项中，q；在其前2n1项中，S奇S偶a1a2a3a4a2na2n1(q1)1对于公比q1的等比数列an的前n项和公式，其qn的系数与常数项互为相反数()2当an为等差数列，bn为公比不是1的等比数列时，求数列的前n项和，适用错位相减法()类型一等比数列前n项和公式的函数特征应用例1已知数列an的前n项和Snan1(a是不为零且不等于1的常数)，求证：数列an为等比数列考点等比数列前n项和题点等比数列前n项和综合问题解当n2时，anSnSn1(a1)an1；当n1时，a1a1，满足上式，an(a1)an1，nN*.a，数列an是等比数列反思与感悟(1)已知

4、Sn，通过an求通项an，应特别注意n2时，anSnSn1.(2)若数列an的前n项和SnA(qn1)，其中A0，q0且q1，则an是等比数列跟踪训练1若an是等比数列，且前n项和为Sn3n1t，则t_.考点等比数列前n项和题点等比数列前n项和综合问题答案解析显然q1，此时应有SnA(qn1)，又Sn3nt，t.类型二等比数列前n项和的性质命题角度1连续n项之和问题例2已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：SSSn(S2nS3n)考点等比数列前n项和的性质题点连续m项的和成等比数列证明方法一设此等比数列的公比为q，首项为a1，当q1时，Snna1，S2n2

5、na1，S3n3na1，SSn2a4n2a5n2a，Sn(S2nS3n)na1(2na13na1)5n2a，SSSn(S2nS3n)当q1时，Sn(1qn)，S2n(1q2n)，S3n(1q3n)，SS2(1qn)2(1q2n)22(1qn)2(22qnq2n)又Sn(S2nS3n)2(1qn)2(22qnq2n)，SSSn(S2nS3n)方法二根据等比数列的性质有S2nSnqnSnSn(1qn)，S3nSnqnSnq2nSn，SSSSn(1qn)2S(22qnq2n)，Sn(S2nS3n)S(22qnq2n)SSSn(S2nS3n)反思与感悟处理等比数列前n项和有关问题的常用方法：(1)运用

6、等比数列的前n项和公式，要注意公比q1和q1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质整体处理跟踪训练2在等比数列an中，已知Sn48，S2n60，求S3n.考点等比数列前n项和的性质题点连续m项的和成等比数列解由等比数列前n项和的性质得，Sn，S2nSn，S3nS2n也成等比数列，12248(S3n60)，解得S3n63.命题角度2不连续n项之和问题例3已知等比数列an的公比q，则_.考点等比数列前n项和的性质题点等比数列奇偶项和的性质答案3解析a2a4a6a8a1qa3qa5qa7qq(a1a3a5a7)，3.反思与感悟注意

7、观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题的解决过程变得简洁明快跟踪训练3设数列an是以2为首项，1为公差的等差数列；数列bn是以1为首项，2为公比的等比数列，则_.考点等比数列前n项和的性质题点等比数列奇偶项和的性质答案126解析2，是首项为b2，公比为2的等比数列 272126.类型三错位相减法求和例4求数列的前n项和考点错位相减法求和题点错位相减法求和解设Sn，则有Sn，两式相减，得SnSn，即Sn1.Sn22.反思与感悟一般地，如果数列an是等差数列，bn是公比不为1的等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法跟踪训练4求和：Snx2x23x3nxn (x0)考点错

8、位相减法求和题点错位相减法求和解当x1时，Sn123n；当x1时，Snx2x23x3nxn，xSnx22x33x4(n1)xnnxn1，(1x)Snxx2x3xnnxn1nxn1，Sn.综上可得，Sn1已知等比数列an的公比为2，且其前5项和为1，那么an的前10项和为_考点等比数列前n项和的性质题点连续m项的和成等比数列答案33解析设an的公比为q，由题意，q2，a1a2a3a4a51，则a6a7a8a9a10q5(a1a2a3a4a5)q52532，S1013233.2已知等比数列an的前n项和为Snx3n1，则x的值为_考点等比数列前n项和题点等比数列前n项和综合问题答案解析方法一Snx

9、3n13n，由SnA(qn1)，得，x.方法二当n1时，a1S1x；当n2时，anSnSn12x3n2，an是等比数列，n1时也应适合an2x3n2，即2x31x，解得x.3已知等差数列an的前n项和Snn2bnc，等比数列bn的前n项和Tn3nd，则向量a(c，d)的模为_考点等比数列前n项和题点等比数列前n项和综合问题答案1解析由等差数列与等比数列的前n项和公式知，c0，d1，所以向量a(c，d)的模为1.4设等比数列an的前n项和为Sn，若q2，S10036，则a1a3a99_.考点等比数列前n项和的性质题点连续m项的和成等比数列答案12解析设a1a3a99S，则a2a4a1002S.S

10、10036，3S36，S12，a1a3a5a9912.1在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q1或q1作出判断；若an是等比数列，且an0，则lg an构成等差数列2等比数列前n项和中用到的数学思想：(1)分类讨论思想：利用等比数列前n项和公式时要分公比q1和q1两种情况讨论；研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a10，q1或a10,0q1时为递增数列；当a11或a10,0q1时为递减数列；当q0且q1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和Sn(qn1)(q1)设A，则SnA(qn1)与指数函数相关(3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn，当成整体求解一、填空题1在等比数列a

11、n中，a33S22，a43S32，则公比q_.考点等比数列前n项和的性质题点等比数列前n项和性质综合答案4解析a33S22，a43S32，a4a33(S3S2)3a3，即a44a3，q4.2设an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若Sn是等差数列，则q_.考点等比数列前n项和的性质题点等比数列前n项和性质综合答案1解析SnSn1an(n2)，又Sn是等差数列，an为定值，即数列an为常数列，q1.3在等比数列an中，已知S3013S10，S10S30140，则S20_.考点等比数列前n项和的性质题点连续m项的和成等比数列答案40解析S303S10，q1.由得由等比数列前n项和性质得，S

12、10，S20S10，S30S20成等比数列，(S2010)210(130S20)，解得S2040.4已知Sn是等比数列an的前n项和，若存在mN*，满足9，则数列an的公比为_考点等比数列前n项和的性质题点连续m项的和成等比数列答案2解析设公比为q，若q1，则2，与题中条件矛盾，故q1.qm19，qm8.qm8，m3，q38，q2.5已知等比数列an的公比为q，记bnam(n1)1am(n1)2am(n1)m，cnam(n1)1am(n1)2am(n1)m(m，nN*)，则以下结论一定正确的是_数列bn为等比数列，公比为qm；数列bn为等比数列，公比为q2m；数列cn为等比数列，公比为；数列c

13、n为等比数列，公比为.考点等比数列前n项和的性质题点连续m项的和成等比数列答案解析an是等比数列，qmnkm(n1)kqm(1km)，(qm)mqm2.qm.6设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a41，S37，则S5_.考点等比数列前n项和的性质题点等比数列前n项和性质综合答案解析an是由正数组成的等比数列，且a2a41，设an的公比为q，则q0，且a1，即a31.S37，a1a2a317，即6q2q10.故q或q(舍去)，a14.S58.7数列an的前n项和为Sn，若a11，an13Sn(n1，nN*)，则a3_.考点等比数列前n项和的性质题点等比数列前n项和性质综合答

14、案12解析当n1时，an13Sn，则an23Sn1，an2an13Sn13Sn3an1，即an24an1，该数列从第3项起每一项都是前一项的4倍，即该数列从第2项起是以4为公比的等比数列又a23S13a13，a33412.8记等比数列an的前n项和为Sn，若S32，S618，则_.考点等比数列前n项和的性质题点连续m项的和成等比数列答案33解析由题意知公比q1，1q39，q2，1q512533.9等比数列an共2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q_.考点等比数列前n项和的性质题点等比数列奇偶项和的性质答案2解析根据题意得q2.10已知首项为1的等比数列an是摆动数列，

15、Sn是an的前n项和，且5，则数列的前5项和为_考点等比数列前n项和的性质题点等比数列前n项和性质综合答案解析1q25，q2.an是摆动数列，q2.首项为1，公比为，前5项和为.二、解答题11已知在等比数列an中，a12，a32是a2和a4的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)记bnanlog2an，求数列bn的前n项和Sn.考点错位相减法求和题点错位相减法求和解(1)设数列an的公比为q，由题意知2(a32)a2a4，q32q2q20，即(q2)(q21)0.q2，即an22n12n，nN*.(2)由题意得，bnn2n，Sn12222323n2n，2Sn122223324(n1)2nn

16、2n1，得Sn212223242nn2n12(n1)2n1.Sn2(n1)2n1，nN*.12中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题若某地区2019年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2019年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%.(1)求实施新政策后第n年的人口总数an的表达式；(注：2019年为第一年)(2)若新政策实施后的2019年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政

17、策，否则继续实施问到2036年是否需要调整政策？考点等比数列前n项和应用题题点等比数列前n项和的应用题解(1)当n10时，数列an是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，所以an45.50.5(n1)450.5n.当n11时，数列an是以0.99为公比的等比数列又a1050，所以an500.99n10，因此新政策实施后第n年的人口总数an(单位：万人)的表达式为an(2)设Sn为数列an的前n项和，则从2019年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得S20S10(a11a12a20)477.54 950(10.9910)950.8(万)，所以新政策实施后的2019年到2035

18、年的年人口均值为47.54万因为49，故到2036年不需要调整政策13已知an是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和(1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；(2)当Sm，Sn，Sl成等差数列时，求证：对任意自然数k，amk，ank，alk也成等差数列考点等比数列前n项和的性质题点等比数列前n项和性质综合(1)解由已知，得anaqn1，因此S1a，S3a(1qq2)，S4a(1qq2q3)当S1，S3，S4成等差数列时，S4S3S3S1，可得aq3aqaq2，化简得q2q10.解得q.(2)证明若q1，则an的各项均为a，此时amk，ank，alk显然成等差数列若q1，由Sm，Sn，Sl成等差数列可得SmSl2Sn，即，整理得qmql2qn.因此amkalkaqk1(qmql)2aqnk12ank，所以amk，ank，alk成等差数列三、探究与拓展14数列an满足：a1，且an1(nN*)，则_.考点等比数列前n项和的性质题点等比数列前n项和性质综合答案2 017解析由题意可知，即1，又1，所以1，所以nn，则2 0182 017.15