第六节 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数

1、第六节 隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数1、隐函数的求导法函数表示两个变量与之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同的方式表达.前面我们遇到的函数，例如，等，这种函数表达式的特点是：等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值.用这种方式表达的函数叫做显函数.但是有些函数的表达式却不是这样，例如方程表示一个函数，因为当自变量在内取值时，变量有唯一确定的值与之对应，这样的函数称为隐函数.一般地，如果变量，之间的函数关系是由某一个方程所确定，那么这种函数就叫做由方程所确定的隐函数. 把一个隐函数化成显函数，叫做隐

2、函数的显化.例如由方程解出，就把隐函数化成了显函数.但是，隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的.例如，方程所确定的隐函数就不能用显式表示出来.因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来.我们知道，把方程所确定的隐函数代入原方程，便得恒等式，把这个恒等式的两端对求导，所得的结果也必然相等.但应注意，左端是将代入后所得的结果，所以，当方程的两端对求导时，要记住是的函数，然后利用复合函数求导法则求导.这样，便可得到欲求的导数.下面举例说明这种方法.例1 求由方程所确定的隐函数的导数.解 把方程两端分别对求导，记住是的函数，得，由此得 （）.例2 求

3、由方程所确定的隐函数的导数.解 把方程两端分别对求导，得，由此得 .例3 求曲线在横坐标为的点处的切线和法线方程. 解 由导数的几何意义，所求切线的斜率为 ，方程两端分别对求导，有，从而 当时，代入上式，得 .于是所求的切线方程为 ，即 .法线方程为 ，即 .例4 求由方程所确定的隐函数的二阶导数.解 方程两端分别对求导，得，于是 .上式两端再对求导，得.上式右端分式中的是由方程所确定的隐函数.2、对数求导法根据隐函数的求导法，我们还可以得到一个简化求导运算的方法.它适合由几个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数（包括幂指函数）的求导.这个方法是先取对数，化乘、除为加、减，化乘方、

4、开方为乘积，然后利用隐函数求导法求导，因此称为对数求导法.我们通过下面的例子来说明这种方法.例5 求的导数.解 对于两边取对数，得，两边对求导，得 ，于是 . 注 例5中函数既不是幂函数也不是指数函数，通常称为幂指函数.幂指函数的一般形式为，其中是的函数.例6 求的导数. 解 先在两边取对数（假定），得 ，上式两边对求导，注意到是的函数，得 ，于是 .当时，；当时，用同样的方法可得与上面相同的结果.二、由参数方程所确定的函数的导数一般地，如果参数方程，（为参数） 确定与之间的函数关系，则称此函数关系所表示的函数为由参数方程所确定的函数.对于参数方程所确定的函数，通常也并不需要由参数方程消去参数化为与 之间的直接函数关系后再求导. 如果函数，都可导，且，又具有单调连续的反函数，则由参数方程所确定的函数可以看成与复合而成的函数，根据复合函数与反函数的求导法则，有，即 ，也可写成 .例7 求摆线在处的切线方程.解