#等差数列、等比数列的概念和求和

1、历年高考真题考点归纳2011年第六章数列第一节等差数列、等比数列的概念及求和一、选择题1. （天津理4）已知'为等差数列，其公差为-2，且是93与39的等比中项，Sn为a*的前n项和，nN*，则So的值为A.-110B.-90C.90D.110【答案】D（四川理8）数列"时的首项为3:'bj为等差数列且bn二an1-an（nN*）.若则d=-2,0=12贝ya8A.0B.3C.8D.11【答案】B【解析】由已知知bn=2n一8,弘4-an=2n-8,由叠加法（a2-印）（a3a2）11（aa7）=-6-4止一20246=0=a8=印=32. （全国大纲理4）设Sn为等

2、差数列玄匚的前n项和，若內二1，公差d=2,SkS=24,则k二A.8B.7C.6D.5【答案】D（江西理5）已知数列an的前n项和Sn满足：SnSm=Snm，且印=1.那么引0=A.1B.9C.10D.55【答案】A二、填空题3. （湖南理12）设Sn是等差数列an（LN），的前n项和，且a1“月4=7,则S9=.【答案】25（重庆理11）在等差数列an中，a3*a7=37，则a2+a4*a6*a8=【答案】747.（北京理11）在等比数列an中，a1=2,a4=-4,则公比q=;aia2an2nA_!【答案】2&(广东理11)等差数列&(广东理11)等差数列an前9项的和等

3、于前4项的和.若a1=1,aka0，则k=【答案】109.(江苏13)设仁a1'a2-a7，其中a1，a3,a5,a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是【答案】三、解答题10.(江苏20)设M部分为正整数组成的集合，数列an的首项a1，前n项和为Sn，已知对任意整数rM当整数n，k时,Sn'kSz=2(SnSk)都成立(1)设M二1，a2二2,求a5的值;(2)设M二3,4,求数列a.的通项公式本小题考查数列的通项与前n项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识,究及逻辑推理的能力，满分16分。考查考生分析探解:(1)由题设知，当n-2时,

4、Sn1-Sn*2©S),即(Sn1-Sn)-(Sn-Sn4)=2S从而an1-an=2a1=2,又a?二2,故当n2时,an=a22(n-2)=2n2.所以a5的值为8o(2)由题设知当k匸M-3,4,且n>k时,S用*Sn_k=2Sn+2Sk且Sn1k'Sn1=2&1'2Sk两式相减得an1kan1_2an1,即an1_an1-k_an1an1-k所以当“占8时,a6,an-3,an,anH3,a6成等差数列且an-6,an-2,an七，an%也成等差数从而当n8时2anan七+an3an6*an_6(*)且an6-an6二a.2，a.?所以当n一8时

5、,2a.二a.2-an,即an2an-a'an2于是当n亠9时,an_3,anJ,an1,an3成等差数列从而an3anJ3=an.1'anJ,故由(*)式知2an=an1anJ,即an1_an=an一anj.当n9时，设d=an-务十当2兰m兰8时，m+6A8，从而由(*)式知2aml6=am+amH2故2am7=am1am13.从而2(amam廂)=amH1一am*(am卑3一am卑2)于是am1一am=2d-d=d.因此，an1一二d对任意n_2都成立，又由Snk'Sn-2Sk=2Sk(k3,4)可知(Snk-Sn)-(Sn-Sn±H2Sk,故9d=2S

6、s且16d心4解得a4=d,从而a22=3d,a显22因此，数列an为等差数列，由a"知d=2.所以数列an的通项公式为an=2n-1.11.(北京理20)若数列An=a1,a2,，an(n占2)满足an+-a1=1(k=1,2,n-1，数列An为E数列，记S(An)=a1a2.an.(I)写出一个满足a1二as=0，且S(As)0的E数列An；(H)若a1=12,n=2000,证明：E数列An是递增数列的充要条件是an=2011;(川)对任意给定的整数n(n>2),是否存在首项为0的E数列An，使得SA=0?如果存在，写出一个满足条件的E数列An;如果不存在，说明理由。解：(

7、I)0,1,2,1,0是一具满足条件的E数列A5。(答案不唯一，0,1,0,1,0也是一个满足条件的E的数列A5)(H)必要性：因为E数列A5是递增数列，所以aak=1(k=1,2,，1999).所以A5是首项为12,公差为1的等差数列.所以a2000=12+(20001)x1=2011.充分性，由于a2000a1000<1,a2000a1000wia2a1<1所以a2000a<19999,即a2000<a1+1999.又因为a仁12,a2000=2011,所以a2000=a1+1999.故an十一an=>0(k=2，1999)，即An是递增数列.综上，结论得证。

8、(出)令Ckak1_ak-10(k-1,2/,n-1),则Ca=1-因为=a1c1'3=a1'C)c2an=a1C1C'Cn1,所以S(An)二na(n-1)c(n-2)c(n-3)qc.(1-c1)(n-1)(1-6)(n-2)(1-Cn).2因为Ck=-1,所以1-Ck为偶数(k=1,n-1).所以*1一C1)(n-1)+(1C2)(n2)*(16)为偶数，S(An)=0,必须使叫3所以要使2为偶数，即4整除n(n-1),亦即n=4m或n=4m+1(mN*).当n=4m1(mN*)时，E数列An的项满足a4k1二a42二0,玄4心二-1,(k=1,2，,m)时，有a

9、1=0,S(An)=0;a4k-1(k=1,2,m),a4k1=0时，有a1=0,S(An)=0;当n=4m+1(meN*)时，E数列An的项满足，玄彳心二玄彳心=0,a4k<=-E数列An,当n=4m2或n=4m3EN)时,n(mJ)不能被4整除，此时不存在使得a1二0,S(An)二0.12.（广东理20）设b>0,数列©'满足a仁b，annbanjanj2n-2(n一2)(1)求数列E的通项公式;(2)证明：对于一切正整数anbn1解:nbanJ(1)由an2n-2b%An=,A令anbnd2门川bn当b-2时,nnb-2bn(b-2)b=2时、An当nbn(

10、b-2)an二bn-2n,b=22、b=2（2）当b=2时，（欲证annnnb(b-2).bjon-°n“,只需证nL乞(1b-222nn1)b'2nn(2n1bn1)bn1n4nn4、b)(b2bIII2)=2n1bnJ-2n2bn-J|22n-b2n2b2n-2nbn1=2应£步算川b)bbb222.2nbn(22|l(2)=2n2nbn=n2ndbn,anannbn(b-2)bn121.nnb-2时bn卑当b=2时4亠盯1.bn1综上所述an_2n11.13.(湖北理19)已知数列的前n项和为Sn，且满足：78(0),anJ=rSn(nn*,rR，r=-1)(

11、I)求数列心心的通项公式;(n)若存在kN*,使得St,9,Sk2成等差数列，是判断：对于任意的mn*,且m一2,am-1，am，am2是否成等差数列，并证明你的结论.本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想。(满分13分)解:(I)由已知an1二rSn，可得anrSn1，两式相减可得an2an1-r(Sn1Sn)_ran1,即an2(r1)an1,又比二二ra,所以r=o时，数列an为：a,0,，0,；当r工0,r式T时，由已知aM0,所以务=0(nN),=r1(nN)于是由an2-(r1)an1,可得an1,a2，a3l(，anJ"成

12、等比数列，n-2二当n兰2时an=r(r+1)a.ann-1,综上，数列an的通项公式为T(r1a，门_2(II)对于任意的m.N，且m_2,ami,am,am.2成等差数列，证明如下:a,n=1,当r=0时，由(I)知，0,n一2-对于任意的mN，且m-2,am1,am,am.2成等差数列,当r=0，r=-1时，Sk2=S<'ak1ak2,Skiak1.若存在kN*，使得Ski,Si,Sk2成等差数列，贝ySk1.5k2=2Sk2Sk'2ak1'ak22Sk,即ak2-_2ak1,由（I）知,%月31（,amH的公比r1»2，于是对于任意的mN且mA2

13、,am*=2am,从而am七=4am.综上，对于任意的m.N，且m_2,am1,am,am2成等差数列。14.(辽宁理17)已知等差数列an满足a2=0,a6+a8=-10(I)求数列an的通项公式；(II)求数列l2“的前n项和.解：(I)设等差数列an的公差为d,由已知条件可得2a112_10a1=，解得d八1.故数列an的通项公式为冇=2-n真的前n项和为Sn(II)设数列2，即1+分川+强故2，Sn3132=r2所以,nJ时,Sn=1-(12L.山21IH4丄2*1丿an_anjan2心一歹12-n、2“-2*丿2-n2n所以'吵.令的前n项和Sn综上，数列2n2*-J.12分

14、15.(全国大纲理20)15.(全国大纲理20)1设数列3n；'满足31=0且1_3n113n=1.(I)求的通项公式;bn(n)设解：3n1,记2bk，证明：Sn<1.-nk1(I)由题设(I)由题设J1-an11_anI即13n是公差为1的等差数列。又1-31an所以十丄n(II)由(I)得.n1-n.n1、n11、n.n1,8分n八(k412分nSn=7bkk416.(山东理20)等比数列中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(I)求数列的通项公

15、式;(n)若数列©满足：0=a.(-Jina.，求数列g的前门项和Sn.解：(I)当a1=3时，不合题意；当a1=2时，当且仅当a2=6,a3刊8时，符合题意;当a1=10时，不合题意。因此a12,a6,a18,所以公式q=3,n二故an=23.(II)因为bn二an(-1)1nan=23心(-1)n(23n4)-23n，(T)nln2(n-1)1n3=23n，(-1)n(ln2-In3)(-1)nnln3,所以S2n=2(13川32n)一11一1川(1)2n(ln2In3)一12一5山(1)nnln3,所以nSn21_nIn3n为偶数时，1-32=3nnin3-1;2当n为奇数时,

16、当n为奇数时,Sn1-3(In2In3)(-2-n)ln3n_i=3nIn3-In2-1.2综上所述，3n-In3-1,n为偶数SnI213n-In3-In2-1,n为奇数I2仃（上海理22）已知数列an和bn的通项公式分别为an=3n+6,bn=2n+7（n迂N*）,将集合x|x=an，nNUx|x=0,N中的元素从小到大依次排列，构成数列G,C2,C3,|l（,Cn,|（1）求G，6,524；（2）求证：在数列Cn中.但不在数列bn中的项恰为a2,印"，a2n"；（3）求数列Cn的通项公式。解：q=9,6=11,C3=12,C4=13；任意nN*，设a2nj=3（2n-

17、1）6=6nb2k7，则k=3n-2，即a2n4-b3n-2假设a2n=6n6二bk=2k7U假设a2n=6n6二bk=2k7U（矛盾），a2nTbn在数列Cn中但不在数列bn中的项恰为a2,a4,m,a2n"。b3k_2=2(3k-2)7=6k3=a2k4dk:二6k5a?k二6k6dk二6k76k36k5：6k66k7当k=1时依次有bl=3=山2=q,a2=033=c4'6k+3(n=4k3)6k+5(n=4k2)6k6(n-4k-1)6k7(n=4k)18.(天津理20)已知数列3n与bn满足:3+(1)nbnan'an1'bnlan2-0,bn2a&

18、lt;i=2,a2=4(I)求氏，34,35的值;(n)设01二a2nPn"N，证明：©J是等比数列;(III)设Sk“2''a2k，k，N，证明:(III)设Sk“2''a2k，k，N，证明:、§-(nN*)k吕ak6本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法满分14分.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法满分14分.(I)解：由bn二3(-1)n2可得1, n为奇数2,

19、 n为偶数又bnanan1bn1an_0,当n=1时,a1+a2+2a3=0,由a1=2,a2=4,可得a3=-3;当n=2时,2a2+a3+a4=0,可得a4二-5;当n=3时,a3+a4+2a5=0,可得a4=4.(Il)证明：对任意nNa2n4a2n'2a?n1=0,2a2na2n1a2n2=0,又bnanan1bn1an_0,当n=1时,a1+a2+2a3=0,由a1=2,a2=4,可得a3=-3;当n=2时,2a2+a3+a4=0,可得a4二-5;当n=3时,a3+a4+2a5=0,可得a4=4.(Il)证明：对任意nNa2n4a2n'2a?n1=0,2a2na2n1

20、a2n2=0,一，得a2n=a2n3.将代入，可得a2n卑*a2n能=(a2n*a2n)即cn1-5(nN)又&=aia3=-1,故cn=0,Cn-1因此Cn1,所以5是等比数列.(III)证明：由(II)可得a2k1'氣1十°,于是，对任意keN*且k32，有ai_-1,-(a3a5)=a5a7=一1(-1,(a2kJ3a2k)=一1k将以上各式相加，得a1(一1)a2k厂-你-1),即a2ki=(-1)k1(k1)，k-1此式当k=1时也成立.由式得a2k珂一1)(k3).从而S2k-(a2a4)(a6a8)|1('(a4kJ2a4k)二-k,S2ki=S

21、2k-a4=k3.所以，对任意nN,n_2，4nn、-(S4m-3.S4m-2n.S4m_S4m)k绘akm生a4m-3a4m-2a4m4a4mJ,2m22m-12m3.2m、2m2m22m12m3)n=m.(2m(2rn1)(2m2)；2m2)亠-23m2m(2m1)(2n2)(2n3)1<31<31_3m謬(2m-1)(2m1)(2n2)(2n-3)11111一5)(5万)川(冇一訂)(2n2)(2n3)1+2n1(2n2)(2n3)对于n=1,不等式显然成立.Vi(沁邑aa2a2n1a2n所以，对任意nN，=(SLS2).(S3.S4a2ai(34)(S2nJ-鱼a3a4a2

22、na2n11121nW-4P）（-承：2*/）川（1苜-冇）二n-(丄)-(241242；7)774匕)5_(丄)=4121n一319.（浙江理19)已知公差不为0的等差数列an的首项a1为a（aR）,设数列的前n项和为Sn，且a1去，为成等比数列(1)求数列an的通项公式及S1(2)厲亠丄+1+.+1记SlS2SnBn丄丄丄aa?鱼2丄a2n，当n-2时，试比较A与Bn的大小.本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同时考查分类讨论思想。满分14分。（丄）2亠丄（I）解：设等差数列an的公差为d,由比印去得(a1d)ag3d)anfZ1)因为d=0，所以d=a所以12/11、()(II)解：因为2a3=S3=a3S2解得nann1，所以SnSn宀)n二因为a2n1=2a，所以B