多元函数微分

1、第八章第八章 多元函数微分学学习指导多元函数微分学学习指导小组研讨报告小组研讨报告组员：史昭君组员：史昭君 王明明王明明 诸可诸可 傅柔怡傅柔怡 陈珊珊陈珊珊 李灏李灏 张心雨张心雨1.1.类比一元函数导数与二元函数偏导数的定义、可导、求类比一元函数导数与二元函数偏导数的定义、可导、求导方法，总结它们的不同之处与类同之处，请分别指出具导方法，总结它们的不同之处与类同之处，请分别指出具体内容。举例说明它们的几种求导方法。体内容。举例说明它们的几种求导方法。2.2.类比一元函数与二元函数的极值定义、极值的充分、必类比一元函数与二元函数的极值定义、极值的充分、必要条件、极值最值求法。要条件、极值最值

2、求法。3.3.偏弹性，二元函数极值、最值在经济学中的应用。偏弹性，二元函数极值、最值在经济学中的应用。思考题：思考题：类比一元函数导数与二元函数偏导数的定义：类比一元函数导数与二元函数偏导数的定义：如果如果 f (x , y) f (x , y) 在区域在区域 D D 内每一点内每一点 (x , y) (x , y) 处对处对 x x 的偏导数都存在，的偏导数都存在， 此此函数函数称为函数称为函数 z = f ( x , y ) z = f ( x , y ) 对自变量对自变量 x x 的偏的偏导函数导函数, ,记作记作,xz ),(yxfx xz).,(yxfx 或或类似地，可以定义函数类似

3、地，可以定义函数 z = f (x , y) z = f (x , y) 对自变量对自变量 y y的的偏偏导函数，记作导函数，记作,yz ),(yxfy yz ).,( yxfy 或或在不致混淆的情况下，在不致混淆的情况下，偏导函数也称偏导数偏导函数也称偏导数. .类比一元函数导数与二元函数偏导数的可导：类比一元函数导数与二元函数偏导数的可导：一元函数导数：连续是可导的必要条件，但不是充分条件，一元函数导数：连续是可导的必要条件，但不是充分条件，即可导一定连续，但连续不一定可导。即可导一定连续，但连续不一定可导。函数在某点的极限存在，且左右极限都相等，则函数在该点可导某点的极限存在，且左右极限

4、都相等，则函数在该点可导二元函数偏导数：二元函数偏导数：类同之处：类同之处：一元函数导数与二元函数偏导数都是通过一元函数导数与二元函数偏导数都是通过研究函数的研究函数的变化率变化率引入其引入其定义，导数定义，导数反映了函数变化反映了函数变化率这一概念，偏导数反映了函数随一个自变量变化的率这一概念，偏导数反映了函数随一个自变量变化的变化率问题。变化率问题。不同不同之处：之处：对于一元函数而言，导数对于一元函数而言，导数 可可看作函数的微分看作函数的微分dydy与自变量的微分与自变量的微分dxdx的商，但二的商，但二元元函数函数的偏导数的记号的偏导数的记号 是是一个整体，导数一个整体，导数 y|x

5、y|x= = 是是函数函数y y在点在点x x处的变化率，它反映了函数处的变化率，它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度，二元函数偏导数实随自变量变化而变化的快慢程度，二元函数偏导数实际是一元函数的导数际是一元函数的导数dydxfx0 x连续连续可导可导可微可微一元函数可导、可微与连续的一元函数可导、可微与连续的关系：关系：二元函数：二元函数：极限存在极限存在偏导数连续偏导数连续可微可微连续连续可导（偏导数存在）可导（偏导数存在）类比一元函数导数与二元函数偏导数类比一元函数导数与二元函数偏导数的求导方法：的求导方法：由偏导数的定义可知，求由偏导数的定义可知，求多元函数多元函数对一个自变量的偏

6、导数对一个自变量的偏导数时，只需将其他自变量看成常数，用一元函数求导法即可时，只需将其他自变量看成常数，用一元函数求导法即可求得。求得。一元函数的求导一元函数的求导方法：方法：1.1.定义法定义法2 2利用初等函数的求导方法利用初等函数的求导方法3 3隐函数求导法隐函数求导法4 4对数求导对数求导法法5 5洛必达法则洛必达法则注意点：对分段函数在分段点处的偏导数要利用注意点：对分段函数在分段点处的偏导数要利用偏导数的定义来偏导数的定义来求求利用初等函数的利用初等函数的求导函数法则求导函数法则基本求导公式函数基本求导公式函数的和、差、积、的和、差、积、商的求导法则商的求导法则反函数的求导函数反函

7、数的求导函数复合函数复合函数的求导函数的求导函数类比一元函数与二元函数的极值定义：类比一元函数与二元函数的极值定义：函数的极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为函数的极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点极值点类比一元函数与二元函数的类比一元函数与二元函数的极值的充分、必要条件：极值的充分、必要条件：是充分条件而不是充分条件而不是充要条件是充要条件注：注：由定理由定理8.48.4知极值点可能在驻点取得，但驻点不一定是知极值点可能在驻点取得，但驻点不一定是极值点极值点。（极值点（极值点也可能是使偏导数不存在的点也可能是使偏导数不存在的点。）？。）？类比一元函数与二元函数

8、的类比一元函数与二元函数的极值、最值求法：极值、最值求法：二元函数：书二元函数：书p344 p344 例例4 4一元函数一元函数: :假定函数假定函数f(x)f(x)在在闭区间闭区间【a,ba,b】上上连续连续，则函数在该区间上则函数在该区间上必必取得最大值与最小值。如果取得最大值与最小值。如果函数的最小值函数的最小值或最大或最大值在（值在（a,ba,b）内达到，）内达到，则极小则极小值或极大值，同时值或极大值，同时也也是最小值和最大是最小值和最大值。值。二元函数：与二元函数：与一元函数相似，如果函数一元函数相似，如果函数f(f(x,yx,y) )在在有界闭区间有界闭区间D D上连续，则上连续

9、，则f(f(x,yx,y) )在在D D上必定能取得上必定能取得最大值和最小值，且函数最大值和最小值，且函数最大值点最大值点或最小值或最小值点点在在函数的极值点或在函数的极值点或在D D的边界点上的边界点上。总结：总结：条件极值与拉格朗日乘数条件极值与拉格朗日乘数法法书书p344p344例题例题0XLuzPxx0YLuzPYy0XYLM P X P Yz/XXYYuPxM UM UuPy偏弹性，二元函数极值、最值在经济学中的应用。偏弹性，二元函数极值、最值在经济学中的应用。1.1.关于偏弹性见书本关于偏弹性见书本p330 p330 例例5 5需求对价格的偏弹性、需求对收入的偏需求对价格的偏弹性

10、、需求对收入的偏弹性弹性2.2.关于二元函数极值、最值见书本关于二元函数极值、最值见书本p343 p343 例例6 6对获得最大利润、产生最小成本的计算对获得最大利润、产生最小成本的计算例：设销售收入例：设销售收入R R（单位：万元）与花费在两种广告宣传的费用（单位：万元）与花费在两种广告宣传的费用x,yx,y（单位：万元）之间的（单位：万元）之间的关系关系为为 利润额利润额相当于五分之一的销售收入并要扣除广告费用。已知广告相当于五分之一的销售收入并要扣除广告费用。已知广告费用总预算金为费用总预算金为2525万元。试问如何分配两种广告费万元。试问如何分配两种广告费用使利润用使利润最大最大？200100510 xyRxy解：由题意解：由题意x+yx+y=25=25 11 200100555 10 xyLR x yx yxy 构造：构造： 4020,255 10 xyF xyx y ax yxy 222