第四章图像变换

1、遥感数字图像处理基础北京大学遥感所1 第四章图像变换第4章图像变换北京大学遥感所2 图像变换问题的提出 傅立叶变换 离散傅立叶变换 傅立叶变换的性质 快速傅立叶变换 离散余弦变换（DCT）4.1 问题的提出 图像变换的意义简化问题、解决问题和利于图像压缩。以对数变换、降噪为例：原图像：频谱图：傅氏变换北京大学遥感所34.1 问题的提出北京大学遥感所4正交变换的提出实现任意信号的分解。将函数写成下式：f (x) c00 (x) c11 (x) c22 (x) . cnn (x) . cnn (x)n0返回4.1 问题的提出。数学中有“按正交函数展开”的方法，可以圆满地解决这个 问题。基底函数：例

2、如三角函数、复指数函数。 离散正交函数 系有沃尔什（Walsh）函数实现任意信号的分解方法：正交函数展开。问题能否选择一种合适的基底函数 n (x)能否很方便地求出系数cn。北京大学遥感所54.1 问题的提出是 ：振幅。利用三角函数系或复指数函数系展开的函数级数，是傅立 叶级数；2n 1af ( x ) 0 (a ncos n x bnsin n x )式中 an ，bn 是傅立叶系数， 为基频，与周期 l或频率 的关系 2 / l 2。an cos 2nx bn sin 2nx An cos(2nx n )2北京大学遥感所6An an bn2 ,相位 n arctg (bn / an ),

3、谐波分量 4.1 问题的提出北京大学遥感所7总结：傅立叶级数是研究周期信号的重要数学工具； 意义：将一个复杂的周期性信号分解成简单的简谐波。并可 以利用频谱图直观地对信号各谐波分量的组成以及占有的比 重进行分析。4.1 问题的提出 频谱图：频率是信号所固有的。北京大学遥感所84.2 傅立叶变换对非周期函数的傅立叶展开式，采用傅立叶积分，周期无限大。傅立叶积分是傅立叶级数取极限得到的。得出傅立叶变换公式。北京大学遥感所94.2 傅立叶变换北京大学遥感所101、一维连续傅立叶变换设f(x)为x的函数，如果f(x)满足下面的狄里 赫利条件:1）具有有限个间断点；2）具有有限个极值点；3）绝对可积。

4、则有下式成立：其中j2= -1 傅立叶变换是一个线性积分变换f (x)e j 2 uxdx f (x) F (u) 4.2 傅立叶变换北京大学遥感所11F (s)e j 2 uxdu1f (x) F (u) 傅立叶反变换：傅立叶变换对：f (x) F (u)傅立叶变换是互逆的，唯一的。如果没有这一性质，就不能将一个时域的函数变换为频域进行分析， 再变换回时域。4.2 傅立叶变换f(x) 傅立叶变换的复函数表示F（u） R（u） jI（u）式中R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部 写成指数形式：F（u） F （u） e j（u）其中：F （u）R（2u） I （2u）F （u）是f（x）

5、傅里叶谱或称变换的幅值（u）是傅里叶变换的相角北京大学遥感所12 R（u）（u） tg 1 I（u） 4.2 傅立叶变换函数的能量谱u） I （2u）北京大学遥感所13E（u） F （u）2 R（2变量 x的变化范围称为空间域或者空域. 变量 u 的变化范围称为频率域或者频域。例如：高斯函数的傅立叶变换：2高斯函数为： f (t) et4.2 傅立叶变换北京大学遥感所142222222du进行傅立叶变换2e t e j 2 ut dte u u2e (t ju ) dte ue u 1F (u) e uF (u) e uF (u) 等式右边乘以e u则可得F (u) e进行变量替换u t ju

6、, du dt因为du1所以即高斯函数的傅立叶变换也是 一个高斯函数4.2 傅立叶变换北京大学遥感所15二维傅立叶变换：连续傅立叶变换：二维函数的傅立叶变换和反变换分别定义为：f (x, y)e j 2 (uxvy ) dxdyF (u, v) f (x, y) F (u, v)e j 2 (uxvy ) dudv其中f (x, y)是一幅图像，F (u, v)是它 的傅立叶变换。u、v是傅立叶变换的 空间频率。4.2 傅立叶变换二维函数傅立叶变换的指数形式：F （u，） 其中，振幅谱F （u，） R（2 u，） I（2 u,）F （u，） e j（u，）相角北京大学遥感所161R(u,) I

7、(u,) (u,) tg能量谱u，）u，） I （2E（u，） R（24.2 傅立叶变换傅立叶变化的幅度谱和相位谱相位谱图北京大学遥感所17原图幅度图4.2 傅立叶变换傅立叶变化的频谱图原图像北京大学遥感所18频谱图4.2 傅立叶变换傅立叶傅立叶变换中的幅度谱与相位的图例经典位图幅度谱图幅度谱复原图（相位为零）北京大学遥感所194.2 傅立叶变换傅立叶变换经典位图相位谱图相位复原图（幅度设为常数）北京大学遥感所204.2 傅立叶变换北京大学遥感所21可以总结两条结论：（1）幅度谱决定了一幅图像中含有的各种频率分量的多少（2）相位谱决定了每一种频率分量在图像中的位置。 只要每一种频率分量保持在图

8、像中的正确位置，那么图 像的完整性就能得到很好的保持，这也就是为什么在信号 或图像处理中通常只对幅度谱进行处理的原因。4.3 离散傅立叶变换北京大学遥感所22f(x)中取出N个等间隔点作为取样点，将f(x)离散化为一 个序列： f (x0 ), f (x0 x, f (x0 2x) f (x0 N 1x)定义：x可以看作是离散变量f (x) f (x0 xx)则序列 f (0), f (1), f (2), f (N 1)可以用来表示连续函数的任意N个等间隔的取样值.4.3 离散傅立叶变换离散傅立叶变换示意图0f(x)xNxF(u)01/ xx.s(x).1/ u1/ u0u.S(u)u0北京

9、大学遥感所234.3 离散傅立叶变换离散傅立叶变换示意图0f(x)*s(x)N1/ux.u.0F(u) s(u)Nu1/x北京大学遥感所24.4.3 离散傅立叶变换离散傅立叶变换对1北京大学遥感所25N j 2 ux / NF (u) N 1 f (x)ex0式中N 1f (x) F (u)e j 2 ux / Nu 0u 0,1, 2, N 1.x 0,1, 2, .4.3 离散傅立叶变换1N二维离散变换对:如果f(x,y)是一个NN的（就像用等间距的矩形网格,对一个二维 连续函数采样所得的）数组，则它的二维离散傅立叶变换为：N 1 N 1 j 2 (uxvy ) / Nx0 y0F (u,

10、 v) f (x, y)e式中：离散傅立叶反变换为：式中：u 0,1, 2, N 1. v 0,1, 2, N 1.x 0,1, 2, N 1. y 0,1, 2, N 1.1北京大学遥感所26Nj 2 (uxuy ) / Nf (x, y) N 1 N 1 F (u, v)eu 0 v04.3 离散傅立叶变换f(x,y)xy北京大学遥感所27xy4.3 离散傅立叶变换V2WVU2Wu1/x图像采样的频域示意图北京大学遥感所284.4 傅立叶变换的性质北京大学遥感所29傅立叶共扼表示可以证明下式成立：u）e j 2uxdxF（F（u）ej 2uxdu j 2 uxf（ x） F （ u ） e

11、du u） e j 2ux duF（f（x） 逆变换可以看成是 f（ x）的正变换傅立叶共扼表达式的意义：解决 计算机处理傅立叶逆变换的问题先做傅立叶正变换 然后求共扼，即可得出原函数。简化傅立叶逆变换的程序编制。4.4 傅立叶变换的性质北京大学遥感所30可分离性：二维离散傅里叶变换可表示它的分离形式同理，反变换也可以写成分离形式 1N 1 N y0j 2vy/ Nf（x，y）eF（x,v） NN 1x 0F ( x , v )e 1NF (u , v ) j 2 ux / N4.4 傅立叶变换的性质北京大学遥感所31线性性质：f （1x, y） f （21x, y）的傅里叶变换分别为 F （

12、 u , ） F2 (u ,） , a, b是两个标量，则a（f1x, y ) bf 2 ( x, y ) aF1 (u , ) bF2 (u , )所以，傅立叶变换是线性积分变换，满足线性叠加原理 也可以称为加法原理，但对乘法一般不满足。4.4 傅立叶变换的性质北京大学遥感所324.4 傅立叶变换的性质北京大学遥感所33位移定理000 f (x x ) f (x x )e j2uxdx进行变量替换S x x0 , ds dx,可得： f (x x )空间位移变化：已知 f（x） F(u)如果自变量x在空间有一位移（x x0）,0 F (u ) j 2 uxf (s)e j 2u(sx0 )d

13、s e4.4 傅立叶变换的性质幅值不变幅角变化F 2 (u)F （u）e j 2ux0同样适用于二维傅立叶变换平移特性可以看出：时（空）域的信号平移不改变其频率成分 及幅度，而只改变了相位谱，再一次证明了以上的结论：相位谱决定了图像信号中各频率分量的位置。0 j 2ux则有f（x x0） F (u)eF(u)e j2ux0 F(u) e j (u)2ux0 北京大学遥感所344.4 傅立叶变换的性质北京大学遥感所35对于二维离散傅立叶变换，有下式成立：y0 ) / N j 2 (ux0 f（x x0 , y y0） F (u,)e应用:f(x)在空间平面的原点移位到(x0,y0),求其傅立叶变

14、换时,只需在原傅氏变换结果后乘以4.4 傅立叶变换的性质北京大学遥感所36则有二 维相当于在时域乘上一个周期信号，所以频率特性又称为调制特性.频率位移变化如果 F （ u ）的频率变量u移动了一个距离 u 00 F (u u0 )j 2u xf（x）e F (u u0 , 0 )j 2 (u0 x0 y ) / Nf（x, y）e4.4 傅立叶变换的性质北京大学遥感所37应用利用频移方法,消除图像背景上观测到的周期性干扰 信号;e j 2 (u0 x0 y ) / N ej (x y)（1 ）( x y )（1 ）( x y )可简单的用乘以f（x, y）当 u0 N / 2 时,有下式: v

15、0则f（x, y） 的傅氏变换的原点就移到屏幕中央了4.4 傅立叶变换的性质 1北京大学遥感所38a即： f (ax) 1 F ( u )aa f (ax) 令u ax, du adx,可得：相似性定理 相似性定理描述了函数自变量的尺度变化对其傅立叶变换的作用。改变一个函数的自变量会将一个函数展宽或压 缩。f (u)e j 2u (u / a ) du f (ax) f (ax)e j 2uxdx，作变量替换4.4 傅立叶变换的性质由上面相似性定理可得：北京大学遥感所394.4 傅立叶变换的性质北京大学遥感所40几点说明此定理说明为什么图像细节和边缘是高频分量；也称为时间尺度改变特性时间尺度压

16、缩，频谱的频带加宽，幅值压低时间尺度扩展，频带变窄，幅度增高，N为周期,按傅里叶变换的定北京大学遥感所414.4 傅立叶变换的性质周期与共轭对称性以（ u N）代替 u（,义，有下式： N）代替 F（u N, N） F（u,）表明 f(x,y) 振幅谱具有周期性，从而导出共扼对称性。 上式取共扼：N 1 N 1x 0 y 0f ( x, y)e 1Nj 2 (ux y ) / NF（u N , N） 可以用于图像数据压缩N u, N ） F (u,)则有 F（4.5 快速傅立叶变换前面的讨论可知，离散傅立叶变换的直接计算量是很大的，需要N*N次复数乘法和N（N-1）次复数加法。近半个世纪 来，

17、人们研究了很多有效的快速计算方法，称为FFT（Fast Fourier Transform）而对于图像处理而言，我们用到最多的是二维傅立叶变换1 12 2北京大学遥感所421212NNf (n , n )eN j 2 ( k n k n )n1 0 n2 0N 1F (k , k ) 1N 1 0 N 1 N 1 1 N 01 （，） NN4.5 快速傅立叶变换北京大学遥感所43图像的快速傅立叶变换的算法步骤：求出每个点的灰度值求出每一行的一维FFT，并存储在中间矩阵数组里求出中间数组的每一列的FFT，得到的结果就是二维的FFT为了显示二维图像的幅值，可以求出每一个图像点的复数 的幅值|H(u

18、,v)|将幅值做对数变换D(u,v)=Lg(1+|H(u,v)|),最后量化成可显 示的0255之间的数值。输入NN1=N-1I=1 J=1I=J?T=A(J) A(J)=A(I) A(I)=TK=N/2K=J?J=J+K I=I+1I=N1J=J-K K=K/2YES北京大学遥感所44NONOYESYESNO4.5 快速傅立叶变换算法流程图4.6 离散余弦变换根据傅立叶变换的性质，若变换函数是连续的实的偶函数，则可用离 散余弦变换。为构成偶函数，首先将原始图象变换为图3-10所示的图象（原图象翻 折）：北京大学遥感所454.6 离散余弦变换将上述图象进行傅立叶变换可得到离散余弦变换：这里:考虑到偶函数的性质，上述表达式可写成：12 N2 22NN 1N 1 j 2 u ( x 1 )v( y 1 )F (u, v) f (x, y)ex N y Nu, v N , 1, 0,1, N 1.2北京大学