理论力学11动能定理及其应用汇总

1、第三篇第三篇 动力学动力学Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology第第11章章 动能定理及其应用动能定理及其应用 第三篇第三篇 动力学动力学 11.1 11.1 力的功力的功 11.3 11.3 动能定理及其应用动能定理及其应用 11.2 11.2 质点与质点系的质点与质点系的动能动能 11.4 11.4 势能的概念势能的概念 机械能守恒定律及其应用机械能守恒定律及其应用 11.5 11.5 动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用第第11章章 动能定理及其应用动能定理及其应用 第第11章章 动能定

2、理及其应用动能定理及其应用 11.1 11.1 力的功力的功FMM1M2SsFWcos力的功的定义力的功的定义212112MMiiMMdWWrFdd cosiFrFriiiiWF s，dzFyFxFzyxdddM1M221MMzyxdzFdyFdxF+ 各种力做功的计算各种力做功的计算mgxzyoz1z2MM1M2对于质点：对于质点： 0yxFFmgPFz=mgdzW=212112MMzyxMMdzFdyFdxFWW+ 重力的功仅与重心的始末位置有关，而与重力的功仅与重心的始末位置有关，而与重心走过的路径无关。重心走过的路径无关。)(2112zzmgW)(2112CCzzMgW2112iiiz

3、zgmW21iiiizmgzmg2CMz1CMz 重力的功重力的功0lFxxdx12 弹性力作的功只弹性力作的功只与弹簧在初始和终止与弹簧在初始和终止位置的变形量有关。位置的变形量有关。）（2221122kW 1 、 2 弹簧在初始位弹簧在初始位置和最终位置的变形量置和最终位置的变形量 。各种力做功的计算各种力做功的计算 弹性力的功弹性力的功cosFF ddRs ()zF RMFWdFrF ds= F RdZ= M d力偶做功力偶做功srdd d )(2112FzMW各种力做功的计算各种力做功的计算 力偶做功力偶做功FAdrFAdr 约束力做功为零！约束力做功为零！各种力做功的计算各种力做功的

4、计算 约束力的功约束力的功FdrOABF1dr1dr2F2F120 rFrFddW0coscos2221112211drFdrFddWrFrF约束力做功总和为零！约束力做功总和为零！各种力做功的计算各种力做功的计算 约束力的功约束力的功OFNFCF滑动摩擦力做负功！滑动摩擦力做负功！各种力做功的计算各种力做功的计算 约束力的功约束力的功0各种力做功的计算各种力做功的计算 约束力的功约束力的功FFNCFWrF dtCdvF各种力做功的计算各种力做功的计算 约束力的功约束力的功)d(-dBABrrF)-d(ABBrrF ABBrFdO刚体内质点间的内力做功？刚体内质点间的内力做功？各种力做功的计算

5、各种力做功的计算 内力的功内力的功BBAArrWdddFFBAFF 刚体的内力不作功刚体的内力不作功 内力不能改变质点系的动量和动量矩！内力不能改变质点系的动量和动量矩！)(eiOdtdFMLOeReiFFpdtd内力可能改变质点系的能量！内力可能改变质点系的能量！第第11章章 动能定理及其应用动能定理及其应用 11.2 11.2 质点与质点系的质点与质点系的动能动能 动能是度量质点系整体运动的另一物理量，动能是动能是度量质点系整体运动的另一物理量，动能是正正标量标量。 质点系的动能质点系的动能 212Tmv212iiiTm v 平移刚体平移刚体 刚体平移时的动能，相当于将刚体的质量集中于刚体

6、平移时的动能，相当于将刚体的质量集中于质心时的动能。质心时的动能。 平移平移刚体的动能刚体的动能221iiivmT221Ciivm221Cmv刚体的动能刚体的动能 xyzoimirivCrCv221CmvT 定轴转动刚体的动能定轴转动刚体的动能 221iiivmT221iiirm221zJ 定轴转动定轴转动刚体的动能刚体的动能刚体的动能刚体的动能 rimiiivriiirm2221221zJT 22)(2121dmJCdvC222121CCJmvT 平面运动刚体的动能平面运动刚体的动能 2*mdJJCC2*21CJT 平面运动平面运动刚体的动能刚体的动能刚体的动能刚体的动能 C*Cd2*21C

7、JT 222121CCJmvTCvC243CmvT 均质圆盘在地面上作纯滚动时的动能。均质圆盘在地面上作纯滚动时的动能。222121CCJmvTRvmRJCC,2122*21CJT 222*2321mRmRmRJC 刚体的动能刚体的动能 思考思考法一：法一：法二：法二：C*243CmvT 刚体的动能刚体的动能 11.3 11.3 动能定理及其应用动能定理及其应用第第11章章 动能定理及其应用动能定理及其应用 质点运动微分方程的矢量形式质点运动微分方程的矢量形式ddmtvFddddmtvrFrdrv dtddm vvFr动能定理动能定理 1221222121Wmvmv21d()2mvW2112T

8、TW21dd()2iiiTmvWm1m2mn2221121122iiiiiiimvmvW2112TTW动能定理动能定理 动能定理中应考虑所有力的功！动能定理中应考虑所有力的功！2112TTW动能定理动能定理 已知：已知： m ，R, f ， 。圆盘初始静止。圆盘初始静止。求：求：纯滚动时盘心的加速度。纯滚动时盘心的加速度。CFNmgvCF解：解：对象：对象：圆盘圆盘受力：受力：如图如图运动：运动：平面运动平面运动方程：方程：假设圆盘中心向下产生位移假设圆盘中心向下产生位移 s时速度时速度达到达到vc。s10T 力的功：力的功：sin12mgsW由动能定理得：由动能定理得：sin0432mgsm

9、vC2243CmvT 解得：解得： 例题例题1 1 sin342gsvCsin342CCCgvav#sin32gaC例题例题1 1 动能定理的应用举例动能定理的应用举例 等式两边同时对时间求一阶导数等式两边同时对时间求一阶导数2222121CCJmvTRvmRJCC,212 均质圆轮半径为均质圆轮半径为R、质量为质量为m。圆轮在重物圆轮在重物P带动下绕固定轴带动下绕固定轴O转转动，已知重物重量为动，已知重物重量为W。求：求：重物下落的加速度。重物下落的加速度。P例题例题2 2 例题例题2 2 动能定理的应用举例动能定理的应用举例 解：解：对象：对象：整体整体受力：如图所示受力：如图所示方程：方

10、程：假设重物向下产生位移假设重物向下产生位移 s时速度达到时速度达到v。P运动：运动：圆轮定轴转动，物块平移圆轮定轴转动，物块平移FOxFOyWmg 例题例题2 2 动能定理的应用举例动能定理的应用举例 s10T 力的功：力的功：WsW12由动能定理得：由动能定理得：vWRvaRgWJO22222221122OWTvJg等式两边同时对时间求一阶导数等式两边同时对时间求一阶导数gWmWRgWmRWRRgWJWRaO22122222sWRvRgWJO2222Rv 22221vRgWJTO分别选轮和物体为研究对象？分别选轮和物体为研究对象？圆轮：圆轮：物体：物体：2112TTW10T 2212OTJ

11、2112TTW10T 2212WTvgsRPFTFT 例题例题2 2 动能定理的应用举例动能定理的应用举例 RFTsFWsT 链条总长度为链条总长度为l，线质量密度，线质量密度为为r r ，下垂部分长度为，下垂部分长度为b，链条，链条从静止开始，在自重作用下运从静止开始，在自重作用下运动。不考虑链条与台面之间的动。不考虑链条与台面之间的磨擦。磨擦。求：求：链条完全离开台面时的速度。链条完全离开台面时的速度。 例题例题3 3 动能定理的应用举例动能定理的应用举例 例题例题3 3 l-bCCb解：解：链条在初始及终止两状态的动能分别为链条在初始及终止两状态的动能分别为01T22221lvTrCC链

12、条重力所作之功链条重力所作之功)(12blgbWr)(21)(blblgr)(2122blgr应用动能定理应用动能定理1212WTT 求得链条完全离开台面时的速度求得链条完全离开台面时的速度lblgv)(222 例题例题3 3 动能定理的应用举例动能定理的应用举例 均质圆轮均质圆轮A、B的质量均为的质量均为m，半，半径均为径均为R，轮，轮A沿斜面作纯滚动，轮沿斜面作纯滚动，轮B作定轴转动，作定轴转动，B处摩擦不计。物块处摩擦不计。物块C的质量也为的质量也为m。A、B、C用无质量用无质量的绳相联，绳相对的绳相联，绳相对B轮无滑动。系统轮无滑动。系统初始为静止状态。初始为静止状态。试求：试求：1当

13、物块当物块C下降高度为下降高度为h时，轮时，轮A质质心的速度以及轮心的速度以及轮B的角速度。的角速度。2系统运动时，物块系统运动时，物块C的加速度。的加速度。 例题例题4 4 例题例题4 4 动能定理的应用举例动能定理的应用举例 解：解：对象：对象：整个系统整个系统受力：受力：如图所示如图所示 运动：运动：轮轮A作平面运动；轮作平面运动；轮B作定轴作定轴转动；物块转动；物块C作平移。作平移。222212111102222,AAABBCTTmvJJmv根据运动学补充关系根据运动学补充关系 AARvBCRvCAvv212302,ATTmv方程：方程： 例题例题4 4 动能定理的应用举例动能定理的应

14、用举例 FFNFOxFOy1. 轮轮A质心的速度以及轮质心的速度以及轮B的角速度。的角速度。212302,ATTmv应用动能定理应用动能定理1212WTT231022Amvmgh解得解得32ghvA3ghvA23RghRvAABmghmghmghW2130sin12 例题例题4 4 动能定理的应用举例动能定理的应用举例 FFNFOxFOy2确定系统运动时物块确定系统运动时物块C的加速度：的加速度： CCCvgav326gaaAC物块的加速度为物块的加速度为 322ghvvAC第第10章章 动能定理及其应用动能定理及其应用 10.4 10.4 势能的概念势能的概念 机械能守恒定律及其应用机械能守

15、恒定律及其应用有势力有势力（或保守力）（或保守力）：该种力所作之功仅与力作用点的该种力所作之功仅与力作用点的初始初始位置和位置和终止终止位置有关，而与其作用点所经过的位置有关，而与其作用点所经过的路径路径无关。无关。有势力和势能有势力和势能 势能势能：质点系（质点）从某位置：质点系（质点）从某位置M（点）运动到任选的零势位置（点）运动到任选的零势位置M0（零势点）时，有势力所作的功。零势点）时，有势力所作的功。 mgxzyoz1z2MM1M2)(2112zzmgW0lFxxdx12）（2221122kW00d(ddd )FrMMxyzMMVF xF yF z2）物理学中的）物理学中的零势点零势

16、点是针对是针对质点质点的；的；零势位置零势位置其实是组成质点系的每一个质点的其实是组成质点系的每一个质点的零势点的集合零势点的集合。注意：注意：1）因零势位置（零势点）的不同，各个位置的势能而不同。）因零势位置（零势点）的不同，各个位置的势能而不同。机械能机械能：质点系在某瞬时动能和势能的代数和。质点系在某瞬时动能和势能的代数和。机械能守恒定律：机械能守恒定律：当作用在系统上的力均为有势力时，当作用在系统上的力均为有势力时，其机械能保持不变。其机械能保持不变。机械能守恒定律机械能守恒定律 2211VTVT第第11章章 动能定理及其应用动能定理及其应用 11.5 11.5 动力学普遍定理的综合应

17、用动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用R1d)d(FFavniimtm质点系动力学的基础质点系动力学的基础质点动力学质点动力学 动量定理、动量矩定理和动能定理都是描述质点系动量定理、动量矩定理和动能定理都是描述质点系整体运动的变化与质点系所受的作用力之间的关系。整体运动的变化与质点系所受的作用力之间的关系。动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用整体运动的变化整体运动的变化所受的作用力所受的作用力动量定理动量定理动能定理动能定理动量矩定理动量矩定理动动 量量力（冲量）力（冲量）动量矩动量矩力力 矩矩动动 能能力的功力的功 动量定理、动量矩定理和动能定

18、理都可以用于求解动动量定理、动量矩定理和动能定理都可以用于求解动力学的两类基本问题。力学的两类基本问题。eoodtdML =1212=WTT 矢量方程矢量方程（外力）（外力）标量方程标量方程（内外力）内外力）矢量方程矢量方程（外力）（外力）eRdtdFp表达式表达式强调强调例题例题5 5 如图如图a所示，均质细杆长为所示，均质细杆长为l，质量为质量为m，静止直立于光滑的水平，静止直立于光滑的水平面上，当有微小的干扰时而倒下。面上，当有微小的干扰时而倒下。 试求：试求：杆刚与地面接触时质心杆刚与地面接触时质心的加速度和地面的约束力。的加速度和地面的约束力。 例题例题5 5 动力学普遍定理的综合应

19、用动力学普遍定理的综合应用ACB 例题例题5 5 动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用ACB解：法一解：法一对象：均质杆对象：均质杆AB受力：如图受力：如图运动：平面运动运动：平面运动方程：方程：01TCvAmgFNAvC当杆与地面夹角为当杆与地面夹角为 时时 2222121ccJmvTI由速度瞬心法，由速度瞬心法，I为速度瞬心为速度瞬心 cos2lvC2121mlJc222cos3112cvmT 例题例题5 5 动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用01T222cos3112cvmTACBCvAmgFNAvC I应用质点系动能定理应用质点系动能定理sin12cos311

20、222lmgvmc两边对时间求导，并注意两边对时间求导，并注意 0得质心的加速度为得质心的加速度为 #43gacCCav 求杆的角加速度求杆的角加速度cos2lvC#23lgaC2laC#41NmgFAcos2NNlFJFmgmaACAC？法二：法二：平面运动刚体微分方程平面运动刚体微分方程？地面对杆的约束力：地面对杆的约束力：以以A点为基点点为基点nCACAACaaaa得质心的加速度为得质心的加速度为 #43gac得杆的加速度为得杆的加速度为 #23lg 例题例题5 5动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用ACBCvAmgFNAvC IaC 0 均质圆轮均质圆轮A、B的质量均为的质

21、量均为m，半，半径均为径均为R，轮，轮A沿斜面作纯滚动，轮沿斜面作纯滚动，轮B作定轴转动，作定轴转动，B处摩擦不计。物块处摩擦不计。物块C的质量也为的质量也为m。A、B、C用无质量用无质量的绳相联，绳相对的绳相联，绳相对B轮无滑动。系统轮无滑动。系统初始为静止状态。初始为静止状态。试求：试求：1当物块当物块C下降高度为下降高度为h时，轮时，轮A质质心的速度以及轮心的速度以及轮B的角速度。的角速度。2系统运动时，物块系统运动时，物块C的加速度。的加速度。 例题例题6 6 例题例题6 6动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用3轮轮A、轮、轮B之间的绳子拉力和之间的绳子拉力和B处的约束力；

22、处的约束力；4轮轮A与地面的接触点处的摩擦力。与地面的接触点处的摩擦力。 解：解：对象：对象：整个系统整个系统受力：受力：如图所示如图所示 运动：运动：轮轮A作平面运动；轮作平面运动；轮B作定轴作定轴转动；物块转动；物块C作平移。作平移。222212111102222,AAABBCTTmvJJmv根据运动学补充关系根据运动学补充关系 AARvBCRvCAvv212302,ATTmv方程：方程：1.系统的动能为：系统的动能为： FFNFOxFOy 例题例题6 6 动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用212302,ATTmv应用动能定理应用动能定理1212WTT231022Amvmgh

23、解得解得32ghvA3ghvA23RghRvAABmghmghmghW2130sin12FFNFOxFOy2确定系统运动时物块确定系统运动时物块C的加速度：的加速度： CCCvgav326gaaAC物块的加速度为物块的加速度为 322ghvvACcaAa 例题例题6 6 动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用对象：对象：取轮取轮B和物块和物块C受力：受力：如图所示如图所示运动：运动：轮轮B定轴转动，物块定轴转动，物块C平移平移方程：方程：对点对点B应用动量矩定理应用动量矩定理 3轮轮A、轮、轮B之间的绳子拉力和之间的绳子拉力和B处的约束力处的约束力BBddtLMFFNFOxFOyca

24、AaBBRvmJtCCBBddRFgRmCTBCRa6gaaACmgF43T 例题例题6 6动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用ca确定确定B处的约束力处的约束力应用质心运动定理应用质心运动定理TTcos30cos60BBxCCxBxBByCCyByBCm am aFFm am aFFm gm gTT302122BxCByFFmaFFmg由此解得由此解得B处的约束力处的约束力mgmgmgmgFmgmgFBxBx245324321618334323 例题例题6 6动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用Bca4轮轮A与地面的接触点处的摩擦力。与地面的接触点处的摩擦力。对象：对

25、象：轮轮A受力：受力：如图所示如图所示运动：运动：平面运动平面运动方程：方程：应用相对质心的动量矩定理，得到应用相对质心的动量矩定理，得到AAJFRACARaa211122612AAAamRJgRFmmgRR 例题例题6 6动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用AFFNFOxFOycaAaB1. 动能定理动能定理适合求解适合求解运动量运动量。2. 动量定理动量定理或或动量矩定理动量矩定理适合求解适合求解约束力约束力。4. 对于复杂质点系：对于复杂质点系：动量定理、动量矩定理和动能定理的应用选择动量定理、动量矩定理和动能定理的应用选择3. 对于简单质点系：对于简单质点系：动量定理动量定

26、理和和动量矩定理动量矩定理，与应用，与应用动能定动能定理理解决问题的难易程度差不多。解决问题的难易程度差不多。先避开未知约束力，求解运动量；先避开未知约束力，求解运动量；动能定理动能定理动量定理动量定理动量矩定理动量矩定理 均质圆柱体均质圆柱体A和和B质量均为质量均为m，半径均为，半径均为r。圆柱。圆柱A可绕固定轴可绕固定轴O转转动。一绳绕在圆柱动。一绳绕在圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱上，绳的另一端绕在圆柱B上。上。 求：求：B下落时，质心下落时，质心C点的加速度。摩擦不计。点的加速度。摩擦不计。解：法一解：法一对象：对象：圆柱体圆柱体A受力：如图受力：如图运动：定轴转动运动：定轴转动方程：根

27、据方程：根据定轴转动的微分方程定轴转动的微分方程，得到，得到AATJF rOABCAFTOA例题例题7 7 FOymgFOx 例题例题7 7动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用CTmamgFCBTJF r其中其中22ACJJmrOABCFTBCDB对象：圆柱体对象：圆柱体B受力：如图受力：如图运动运动：B作平面运动作平面运动方程：根据方程：根据平面运动的微分方程平面运动的微分方程有有由由运动学关系运动学关系aDrA,()CDBABaarrgaC54AATJF rAFTOAFOymgFOxmgaC以以D点为基点点为基点nCDCDDCaaaa？ 例题例题7 7 动力学普遍定理的综合应用

28、动力学普遍定理的综合应用法二：法二：对象：对象：圆柱体圆柱体A和和B组成的质点系组成的质点系受力：受力：如图如图 运动：运动：A定轴转动，定轴转动，B平面运动平面运动方程：方程：01T圆柱体圆柱体B下落下落h时，系统的动能为时，系统的动能为mghghmWB212222212121BBBAAJmvJT 例题例题7 7 动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用OABCFOymgFOxmg A BvB重力做功为重力做功为？由基点法，可知由基点法，可知 rrrvBAB2222222222222852521212212121212121BBBBAAmvmrmrrmmrJmvJT对对O、C轮分别用

29、动量矩定理和相对质心动量矩定理：轮分别用动量矩定理和相对质心动量矩定理：RFJOOTRFJBBTBOJJTTFFBABA 例题例题7 7动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用OABCFOymgFOxmg A BvB01T2222212121BBBAAJmvJTAFTOAFOymgFOxFTBCDBmgaCmghW21？应用动能定理应用动能定理2112=WTT 得得mghmvB285上两式两边分别对时间求导，又因为上两式两边分别对时间求导，又因为Bvh 从而得圆柱体从而得圆柱体B轮心轮心C的加速度的加速度#54gaaBC 例题例题7 7 动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用

30、OABCFOymgFOxmg A BvBaC例题例题8 8 均质杆长为均质杆长为l，质量为，质量为m1，B端靠在光滑墙上，端靠在光滑墙上，A端用铰端用铰链与均质圆盘的质心相连。链与均质圆盘的质心相连。圆盘的质量为圆盘的质量为m2 ，半径为，半径为R，放在粗糙的地面上，自图，放在粗糙的地面上，自图示示=45时由静止开始纯滚时由静止开始纯滚动。动。 试求：试求：A点在初瞬时的加点在初瞬时的加速度。速度。 例题例题8 8 动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用解：解：（分析：此题解法仍不唯一。（分析：此题解法仍不唯一。本例中只本例中只有保守力作功，故机械能守恒有保守力作功，故机械能守恒，用

31、机械能守，用机械能守恒定律求解。恒定律求解。 ）对象：对象：杆杆AB和圆盘和圆盘A受力：受力：两个物体所受重力如图两个物体所受重力如图运动：运动：两者均作平面运动两者均作平面运动01T22222211211221212121JvmJvmTAm2gm1g方程：方程：考察初始位置和任意位置时的动考察初始位置和任意位置时的动能和势能能和势能 例题例题8 8 动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用FNAFNBvB2sin12lRvAsin2sin2211AAvlvllv2221243sin6AvmmT 例题例题8 8 动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用22212*2*12121

32、CCJJTm2gm1gFNAFNBvB22222223*2RmRmJJC21211312*1lmlmJJCsin12lRvA2221243sin6AvmmT 例题例题8 8 取经过轮心取经过轮心A的水平线为零势位置，系统的势的水平线为零势位置，系统的势能为能为 01T45sin211lgmVsin212lgmV 2221243sin6AvmmT 例题例题8 8 动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用m2gm1gFNAFNBvB2零势点零势点01T根据机械能守恒定律，有根据机械能守恒定律，有 2211+=+TVTVsin243sin645sin20122211lgmvmmlgmA将上式

33、对时间求一次导数将上式对时间求一次导数 cos2sin3cos23sin301231221lgmvmvvmmAAA于是，点于是，点A在初瞬时的加速度为在初瞬时的加速度为 注意到注意到 初瞬时初瞬时 sin1lvAAAav45, 0AvgmammA121212332211943mmgmaA 例题例题8 8 动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用cos2sin3cos23sin301231221lgmvmvvmmAAA01Tm2gm1gFNAFNBvB2零势点零势点P215：112P215217 ：11 4，11 5，11 13，1110Nanjing University of Tec

34、hnology附录：附录： 习题解答习题解答作业中存在的问题作业中存在的问题1、标注运动量。、标注运动量。2、使用的理论要交待。、使用的理论要交待。BA112 图示图示滑块滑块A重力为重力为W1，可在滑道内滑动，与滑块可在滑道内滑动，与滑块A用铰链连接的是重力为用铰链连接的是重力为W2、长为长为l 的匀质杆的匀质杆AB。现已知道滑块沿滑道的速度为。现已知道滑块沿滑道的速度为v1 ，杆，杆AB的角速度为的角速度为 1 。当杆。当杆与铅垂线的夹角为与铅垂线的夹角为 时，时，试求系统试求系统的动能。的动能。解：解：AB杆作平面运动，以杆作平面运动，以A点为基点，质心点为基点，质心C的速度为的速度为由

35、余弦定理由余弦定理则系统的动能则系统的动能v1vCAvCv1v11BAl 11112 2附录：附录： 习题解答习题解答CACAACvvvvv1)2121(212122211CCBAJvgWvgWTTTcos41cos222180cos2112122111212112212vllvlvlvvvvvvCACAC#cos31)(211212cos412211221222121212211212212211vlWlWvWWglgWlvllvgWvgW114 图示一重物图示一重物A质量为质量为m1，当其下降时，借一无重且不可伸长的绳索使滚子，当其下降时，借一无重且不可伸长的绳索使滚子C沿水平轨道滚动而不

36、滑动。绳索跨过一不计质量的定滑轮沿水平轨道滚动而不滑动。绳索跨过一不计质量的定滑轮D并绕在滑轮并绕在滑轮B上。上。滑轮滑轮B的半径为的半径为R，与半径为，与半径为r的滚子的滚子C固结，两者总质量为固结，两者总质量为m2，其对，其对O轴的回转轴的回转半径为半径为r r。试求重物。试求重物A的加速度。的加速度。 11114 4附录：附录： 习题解答习题解答解：解：对象：滚子对象：滚子C、滑轮、滑轮D、物块、物块A所组成的刚体系统；所组成的刚体系统；受力：做功的物块受力：做功的物块A重力如图所示；重力如图所示；运动：如图；运动：如图；方程：方程：设系统在物块下降任意距离设系统在物块下降任意距离h时的

37、动能时的动能222212212121CCCAJvmvmT由运动学知识由运动学知识 rRvACrRrvrvACC22rmJC2222212)(21AvrRrmmTr力作的功力作的功 ghmW112应用动能定理应用动能定理 ghmvrRrmmA1222221)(21r将上式对时间求导数将上式对时间求导数 hgmavrRrmmAA122221)(r求得物块的加速度为求得物块的加速度为 #)()()(2222121rrmrRmrRgmaA01TvACvCm1g化简，得化简，得 11115 5附录：附录： 习题解答习题解答115 图示机构中，均质杆图示机构中，均质杆AB长为长为l，质量为，质量为2m，两

38、端分别与质量均为，两端分别与质量均为m的滑块铰的滑块铰接，两光滑直槽相互垂直。设弹簧刚度为接，两光滑直槽相互垂直。设弹簧刚度为k，且当，且当 = 0时，弹簧为原长。若机构时，弹簧为原长。若机构在在 = 60时无初速开始运动，试求当杆时无初速开始运动，试求当杆AB处于水平位置时的角速度和角加速度。处于水平位置时的角速度和角加速度。0,601T2222*212121,ABCBAJmvmvT其中：ABAlvsinABBlvcos2231*mlJC22265ABmlT解解：对象：系统；对象：系统；受力：略；受力：略；运动：略；运动：略；方程：方程：vBvAC*2212cos1412sin232lkmg

39、lWABmg化简，得化简，得 应用动能定理应用动能定理 1)cos1 (412)sin23(2652222lkmglmlAB)cos()60cos(2)sin60(sin22)sin60(sin22llllklmgmglW12 11115 5附录：附录： 习题解答习题解答08365222klmglmlAB#203324203536mlklmgmkglAB对（对（1）式求导：）式求导：sin)cos1 (22cos23522lkmglmlABAB#56lgABvBvAC*ABmg当杆处于水平位置时当杆处于水平位置时 AB, 0 1)cos1 (412)sin23(2652222lkmglmlAB

40、 11111010附录：附录： 习题解答习题解答1110 在图示机构中，鼓轮在图示机构中，鼓轮B质量为质量为m，内、外半径分别为，内、外半径分别为r和和R，对转轴，对转轴O的的回转半径为回转半径为r r，其上绕有细绳，一端吊一质量为，其上绕有细绳，一端吊一质量为m的物块的物块A，另一端与质量为，另一端与质量为M、半径为半径为r的均质圆轮的均质圆轮C相连，斜面倾角为相连，斜面倾角为 ，绳的倾斜段与斜面平行。，绳的倾斜段与斜面平行。系统由静系统由静止开始随圆轮止开始随圆轮C的纯滚动向右滑落。的纯滚动向右滑落。试求：（试求：（1）鼓轮的角加速度）鼓轮的角加速度 ；（；（2）斜）斜面的摩擦力及连接物块

41、面的摩擦力及连接物块A的绳子的张力（表示为的绳子的张力（表示为a的函数）。的函数）。解：解： （1）鼓轮的角加速度）鼓轮的角加速度 。对象：对象：系统；系统；受力：受力：如图；如图；运动：运动：如图；如图；方程：方程： 2222221212121CCCBBAJMvJmvT其中其中 BARvCBCrrv2rmJB221MrJC222222321BMrRmTr设物块设物块A上升距离上升距离SA时，物块时，物块C沿斜面移动距离沿斜面移动距离SC ACmgsMgsWsin12由动能定理，得由动能定理，得ACBmgvMgvMrRmrsin23)(222#3)(2)sin(2222MrRmmRMrgr01TvABCACBmgsMgsMrRmrsin23212222MgmgmgFOyFOxFNFCFCAFrJC#21MrF 由质点运动微