方程的根与函数的零点课件

1、一种科学只有在成功地运用数学时一种科学只有在成功地运用数学时, ,才算达到完善的地步才算达到完善的地步切莫忘，几何代数统一体，永远联系，莫分离切莫忘，几何代数统一体，永远联系，莫分离数形结合百般好，隔离分家万事休，数形结合百般好，隔离分家万事休，数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？3.1.1方程的根方程的根与与 函数的零点函数的零点数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？数形结合百般好，隔离分家万事休，数形结合百般好，隔离分家万事休，切莫忘，几何代数统一体，永

2、远联系，莫分离切莫忘，几何代数统一体，永远联系，莫分离一种科学只有在成功地运用数学时一种科学只有在成功地运用数学时,才算达到完善的地步才算达到完善的地步数缺形时少直观，形少数时难入微，数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休，数形结合百般好，隔离分家万事休，数缺形时少直观，形少数时难入微，数缺形时少直观，形少数时难入微，数缺形时少直观，形少数时难入微，数缺形时少直观，形少数时难入微，学习目标学习目标1.通过二次函数的图像，了解二次函数与一元二通过二次函数的图像，了解二次函数与一元二次方程的关系，能判断一元二次方程根的存在性次方程的关系，能判断一元二次方程根的存在性及根的个

3、数；及根的个数；2.了解函数的零点与方程根的联系，能利用函数了解函数的零点与方程根的联系，能利用函数零点与方程根的关系确定方程根的个数。零点与方程根的关系确定方程根的个数。0624053306513 xxxxx：ln)()(x(2)061)3x(2求求下下列列方方程程的的根根问问题题问题问题探究探究 今天我们可以从教科书中了解各今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但在数学发展史式各样方程的解法，但在数学发展史上，方程的求解却经历了相当漫长的上，方程的求解却经历了相当漫长的岁月岁月. 我国古代数学家在约公元我国古代数学家在约公元50年年100年编成的年编成的九章算术九章算术，给出了求，

4、给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法具体方法 花拉子米(约780约850)给出了一次方程和二次方程的一般解法。 阿贝尔(18021829)挪威数学家.证明了五次以上一般方程没有求根公式。 卡尔达诺，意大利数学家，他第一个发卡尔达诺，意大利数学家，他第一个发表了三次代数方程一般解法的卡尔达诺表了三次代数方程一般解法的卡尔达诺公式，也称卡当公式（解法的思路来自公式，也称卡当公式（解法的思路来自塔塔利亚，两人因此结怨，争论多年）。塔塔利亚，两人因此结怨，争论多年）。他的学生费拉里他的学生费拉里第一个求出四次方程的第一个求出四次方程的代数解。代数解。 韦达是

5、韦达是法国法国十六世纪最有影响的十六世纪最有影响的数学家数学家之之一。第一个引进系统的一。第一个引进系统的代数代数符号，并对方符号，并对方程论做了改进。程论做了改进。韦达讨论了方程根的各种韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关有理变换，发现了方程根与系数之间的关系即系即“韦达定理韦达定理” 。 方程方程x22x+1=0 x22x+3=0y= x22x3y= x22x+1函数函数函函数数的的图图象象方程的实数根方程的实数根x1=1,x2=3x1=x2=1无实数根无实数根函数的图象函数的图象与与x轴的交点轴的交点(1,0)、(3,0)(1,0)无交点无交点x22x3=0 xy0

6、1321121234.xy0132112543.yx012112y= x22x+3问题问题探究探究问题问题2 2 求出表中一元二次方程的实数根，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图像的简图，并写出画出相应的二次函数图像的简图，并写出函数的图象与函数的图象与x x轴的交点坐标轴的交点坐标方程方程ax2 +bx+c=0(a0)的根的根函数函数y= ax2 +bx+c(a0)的图象的图象判别式判别式 =b24ac0=00函数的图象函数的图象与与 x 轴的交点轴的交点有两个相等的有两个相等的实数根实数根x1 = x2没有实数根没有实数根xyx1x20 xy0 x1xy0(x1,0) ,

7、(x2,0)(x1,0)没有交点没有交点两个不相等两个不相等的实数根的实数根x1 、x2问题问题3 3 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与一元二次方程及相应的二次函数的图象与x x轴交点的轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？关系，上述结论是否仍然成立？1.1.方程根的个数就是函数图象与方程根的个数就是函数图象与x x轴交点的个数。轴交点的个数。2.2.方程的实数根就是函数图象与方程的实数根就是函数图象与x x轴交点的横坐标。轴交点的横坐标。 结论 对于函数对于函数y=f(x), 叫做函数叫做函数y=f(x)的零点。的

8、零点。方程方程f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)有零点有零点使使f(x)=0的的实数实数x辨析辨析 : 函数的零点是不是交点？函数的零点是不是交点？概念概念形成形成 2-2和和71 示例示例练习练习代数法代数法 1lg3122145122 xxfxxxfxxxf求下列函数的零点求下列函数的零点问题问题4 4 如图是某地从如图是某地从0 0点到点到1212点的气温变化图，点的气温变化图，假设气温是连续变化的，请将图形补充成完假设气温是连续变化的，请将图形补充成完整的函数图象。这段时间内，是否一定有某整的函数图象。这段时间内，是否

9、一定有某时刻的气温为时刻的气温为0 0度？为什么？度？为什么？问题探究问题探究 （有有或或无无）零零点点内内在在区区间间或或（有有或或无无）零零点点内内在在区区间间或或（有有或或无无）零零点点内内在在区区间间或或？图图像像是是连连续续还还是是间间断断的的观观察察函函数数的的图图像像 dcdfcfcbcfbfbabfaf,)(03,)(02,)(01结论结论abxy0ab0yxab0yxab0yx如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是上的图象是连续不断连续不断的一条曲线的一条曲线，并且有，并且有f(a)f(b)0,那么，函数那么，函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内有零点，

10、即存在内有零点，即存在 使得使得f(c)=0,这个这个c也就是方程也就是方程f(c)=0 的根。的根。 ,ca babb bbb bbbbbb bbbbbbxy0思考思考1 1：函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上的图上的图象是一条连续不断的曲线，若函数象是一条连续不断的曲线，若函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a, b)(a, b)内有零点，一定能得出内有零点，一定能得出f f( (a a) )f f( (b b)0)0的结论吗？的结论吗？ 结论结论：函数：函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上的图象是连续不断的一条上的图象是连续不断的一条曲线：

11、曲线：（1 1）f(a)f(a)f(b)0 f(b)0 函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内有零点；内有零点；（2 2）函数）函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内有零点内有零点 f(a)f(a)f(b)0f(b)0。 思考思考2 2：如果函数如果函数 y=f(x) y=f(x) 在在a,ba,b上是连续的上是连续的单调单调函数函数, , 并且在闭区间的两个端点上的函数并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即值互异即f(a)f(b)f(a)f(b)0,0, 那么这个函数在那么这个函数在(a,b)(a,b)内的零点个数能确定吗？内的零点个数能确

12、定吗？由表由表3-13-1和图和图3.13.13 3可知可知f(2)0f(2)0， 即即f(2)f(2)f(3)0f(3)0,f(1.5)=f(1)=10,f(1.5)=2.8750,2.8750,所以所以f(x)=f(x)=x x3 33x+53x+5在区间在区间(1, 1.5)(1, 1.5)上有零点。又因为上有零点。又因为f(x)f(x)是是( (, ,）上的减函数，所以在区间上的减函数，所以在区间(1, 1.5)(1, 1.5)上有上有且只有一个零点。且只有一个零点。xy0132112543图像法图像法问题问题6 6. . 的零点所在的大致区间的零点所在的大致区间函数函数利用函数的图像

13、，指出利用函数的图像，指出533 xxxf练习练习2：1 的的零零点点个个数数请请判判断断出出函函数数xxxf23 问题问题7 7. .已知关于已知关于x x的二次方程的二次方程x x2 2+2mx+2m+1=0.+2mx+2m+1=0.(1)(1)若方程有两根，其中一根在区间若方程有两根，其中一根在区间( (1,0)1,0)内，内， 另一根在区间另一根在区间(1(1，2)2)内，求内，求m m的范围的范围. .(2)(2)若方程有一个根在若方程有一个根在(0,2)(0,2)内内, ,求求m m的范围的范围. .(3)(3)若方程有一个根比若方程有一个根比2 2大大, ,另一个根比另一个根比2

14、 2小小, ,求求m m范围范围. .(4)(4)若方程两根均在区间若方程两根均在区间(0(0，1)1)内，求内，求m m的范围的范围. .【变式引申变式引申】 65,21,21056)2(, 024)1(, 02)1(, 012)0(mmRmmmfmffmf2165 m解：解：(1)(1)条件说明抛物线条件说明抛物线f(x)=xf(x)=x2 2+2mx+2m+1+2mx+2m+1与与x x轴的交点分别在区间轴的交点分别在区间( (1 1，0)0)和和(1(1，2)2)内，内，画出示意图，得画出示意图，得.问题问题7 7：已知关于已知关于x x的二次方程的二次方程x x2 2+2mx+2m+

15、1=0.+2mx+2m+1=0.(2)(2)若方程有一个根在若方程有一个根在(0,2)(0,2)内内, ,求求m m的范围的范围. .(3)(3)若方程有一个根比若方程有一个根比2 2大大, ,另一个根比另一个根比2 2小小, ,求求m m范围范围. .(4)(4)若方程两根均在区间若方程两根均在区间(0(0，1)1)内，求内，求m m的范围的范围. .解解: :由题意得由题意得:f(0)f(2)0:f(0)f(2)0即即(2m+1)(6m+5)0(2m+1)(6m+5)0解得解得: :2165 m问题问题7 7：已知关于已知关于x x的二次方程的二次方程x x2 2+2mx+2m+1=0.+

16、2mx+2m+1=0.(3)(3)若方程有一个根比若方程有一个根比2 2大大, ,另一个根比另一个根比2 2小小, ,求求m m范围范围. .(4)(4)若方程两根均在区间若方程两根均在区间(0(0，1)1)内，求内，求m m的范围的范围. .解解: :由题意得由题意得:f(2)0:f(2)0即即6m+506m+50解得解得: :65 m问题问题7 7：已知关于已知关于x x的二次方程的二次方程x x2 2+2mx+2m+1=0.+2mx+2m+1=0.(4)(4)若方程两根均在区间若方程两根均在区间(0(0，1)1)内，求内，求m m的范围的范围. .解解: :由题意得由题意得: :解得解得

17、: : 10, 0, 0)1(, 0)0(mff . 01,2121,21,21mmmmm或或2121 m 对于函数对于函数y=f(x), 叫做函数叫做函数y=f(x)的零点。的零点。方程方程f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)有零点有零点使使f(x)=0的实数的实数x如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是连续不断上的图象是连续不断的一条曲线，并且有的一条曲线，并且有f(a)f(b)0,那么，函数那么，函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内有零点，即存在内有零点，即存在 使得使得f(c)=0,这个这个c也就是

18、方程也就是方程f(c)=0 的根。的根。 ,ca b零点存在定理零点存在定理函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上的图象是连续不断的一条曲线：上的图象是连续不断的一条曲线：（1 1）f(a)f(a)f(b)0 f(b)0 函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内有零点；内有零点；（2 2）函数）函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内有零点内有零点 f(a)f(a)f(b)0f(b)0。三个结论三个结论：（3）如果函数）如果函数 y=f(x) 在在a,b上是连续的上是连续的单调单调函数函数, 且且f(a)f(b)0, 那么这个函数在那么这个函数在(a,b)内的零点个数内的零点个数是唯一的。是唯一的。零点的求法零点的求法代数法和图象法代数法和图象法函数函数零点零点方程根，方程根，图象图象连续连续总有痕。总有痕。数形本是同根生，数形本是同根生，端值端值计算是根本。计算是根本。借问借问零点零点何处有，何处有，端值端值互异互异零点生。零点生。温温馨馨提提示示作业：作业本作业：作业本设计思路 基于数形结合思想 基于数学文化谢 谢， 再 见！人有了知识，就会具备各种分析能力，人有了知识，就会具备各种分析能力