大学物理角动量守恒

1、 冲量冲量 是矢量，其大小和方向由微分冲量是矢量，其大小和方向由微分冲量 的的矢量决定，是矢量决定，是过程量过程量，而，而 是是状态量之差状态量之差；IpdtF12ppI PtFI d外外 NiipP1 NiiFF1外外外外质点系在运动过程中所受合外力的冲量，等质点系在运动过程中所受合外力的冲量，等于该质点系所有质点总动量的增量于该质点系所有质点总动量的增量。质点系所受合外力为零，总动量不随时间改变质点系所受合外力为零，总动量不随时间改变1. 合外力为零，或外力与内力相比小很多；合外力为零，或外力与内力相比小很多；2. 合外力沿某一方向合外力沿某一方向(x)为零；为零；.constpiix 开

2、普勒第二定律开普勒第二定律行星对太阳的径矢在相行星对太阳的径矢在相等的时间内扫过相等的等的时间内扫过相等的面积面积.Kepler laws 除了动量，机械能守恒量以外一除了动量，机械能守恒量以外一定还有另外一个守恒量存在！定还有另外一个守恒量存在！FrM FrM 力力 对对o点的力矩表达式：点的力矩表达式：F sinrFM 方向由右手螺旋法则确定。方向由右手螺旋法则确定。说明：说明：1.1. 力矩是改变质点系转动状态的原因；力是改力矩是改变质点系转动状态的原因；力是改 变质点系平动状态的原因变质点系平动状态的原因 2.2. 同一力对空间不同点的力矩是不同的；同一力对空间不同点的力矩是不同的；

3、ZXYrF 中学的表达式：对中学的表达式：对O点力矩点力矩MsinFrFdMMrF od矢量式表达式：矢量式表达式：FrM 点积的微商点积的微商点积点积叉积叉积abba abba )()()(cabcbabac bdtaddtbdabadtd )(2aaa 0aa )()()(acbcbabac 叉积的微商叉积的微商bdtaddtbdabadtd )(1 1 质点的圆周运动质点的圆周运动动量：动量：vmp （对圆心的对圆心的）角动量角动量：vrmvmrprL )(大小：大小：vmrL mrvLO力是物体平动运动状态（用动量来描述）发生改力是物体平动运动状态（用动量来描述）发生改变的原因。变的原

4、因。力矩是引起物体转动状态（用角动量力矩是引起物体转动状态（用角动量来描述）改变的原因。来描述）改变的原因。)(vr 方向：满足右手关系，向上方向：满足右手关系，向上Sunrrvv)(vrmprL 大小：大小：;sin mvrL 方向：满足右手关系，向上方向：满足右手关系，向上vrmprL 大小：大小：方向：方向： 思考：如何使思考：如何使L=0？mvdmvrL sinOmrdv对定点对定点（太阳）的角动量：（太阳）的角动量：仿照平动：仿照平动：tpFdd 122121ddLLLtMLLtt 点点的的冲冲量量矩矩内内对对为为质质点点在在OttMtt 21d ptrtprtprFrMddd)(d

5、dd0 vvvmvtpr d)(dtLtprddd)(d 质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率试求试求: :该质点对原点的角动量矢量该质点对原点的角动量矢量. .解：解：: :一质量为一质量为m m的质点沿一条二维曲线运动的质点沿一条二维曲线运动j tbi tar sincos 其中其中a,b, 为常数为常数trvdd vrmL )cossin(j tbi ta )sincos(j tbi tam )sincos(22ktabktabm kmab (恒矢量恒矢量) tLMdd! 0j tbi ta cossin 说明说明：1 角动量是矢量

6、（角动量是矢量（kgm2s-1）3 角动量的方向：角动量的方向： 2)(mrrrmvrmL 与与 同方向同方向L vrmprL 定义：定义：对对O点的角动量：点的角动量：2 角动量角动量对不同点是不同对不同点是不同的。的。OXYZrvL)()()(rrrrrr当当 =恒矢量恒矢量)(,0vmrLM 当质点所受对参考点当质点所受对参考点O的合力矩为零时，质点的合力矩为零时，质点对该参考点对该参考点O的角动量为一恒矢量的角动量为一恒矢量。二二 角角&质点角动量守恒质点角动量守恒&质点角动量守恒质点角动量守恒开普勒第二定律开普勒第二定律：行星对太阳的径矢在相等的时间内扫过相等的面积行

7、星对太阳的径矢在相等的时间内扫过相等的面积.Kepler lawsmLvr sinrtrm开普勒第二定律开普勒第二定律行星受力方向与矢径在一条直线（中心力），行星受力方向与矢径在一条直线（中心力），永远与矢径是反平行的。故角动量守恒。永远与矢径是反平行的。故角动量守恒。行星的动量时刻在变行星的动量时刻在变, ,但其但其角动量角动量可维持不变可维持不变. .在研究质点受有心力作用的运动时在研究质点受有心力作用的运动时,角动量将代角动量将代替动量起着重要的作用替动量起着重要的作用.质点在质点在有心力场有心力场中中, ,它对力心的角它对力心的角动量守恒。动量守恒。m Lvrr sinmvrLtSmt

8、rrm 2sin212注意注意m Lvrr sinrrS21 sinsinrtrmmvrL-/2行星对太阳的径矢扫过的面积：行星对太阳的径矢扫过的面积：返回返回1 1 一对作用力、反作用力对定点（定轴）的合一对作用力、反作用力对定点（定轴）的合力矩等于零。力矩等于零。111frM 222frM 221121frfrMM 21ff因222121frfrMM则2fr2212)(frfrr0 o2r1rr2f1f质点系角动量质点系角动量iiiPrL ddddiiiPrttL F Fi iP Pi iojrjfifirji )(内内外外ijijiiifFr iiiPtrdd iiiFrtL外外 dd合

9、外力矩为零，质点系总角动量守恒合外力矩为零，质点系总角动量守恒 一对作用力、反作用力对定点（定轴）的合力矩一对作用力、反作用力对定点（定轴）的合力矩等于零。等于零。M 3 3 角动量守恒定律是独立于牛顿定律的自然角动量守恒定律是独立于牛顿定律的自然 界中界中更普适更普适的定律之一的定律之一. .4 4 角动量守恒定律角动量守恒定律只适用于惯性系只适用于惯性系。2 2 守恒指过程中守恒指过程中任意时刻任意时刻。1 角动量守恒条件：角动量守恒条件：合外力矩为零合外力矩为零.合外力为零；合外力为零；MtL dd合外力不为零合外力不为零, ,但此刻外力总是与质点对于但此刻外力总是与质点对于固定点的固定

10、点的径矢平行或反平行径矢平行或反平行即：即：虽然虽然 ,但对某轴外力矩为零但对某轴外力矩为零,则总角则总角动量不守恒动量不守恒,但对这轴的角动量是守恒的但对这轴的角动量是守恒的.0 iM3 3 分量式：分量式：1 1 孤立系孤立系. .2 2 有心力场有心力场, ,对对力心力心角动量守恒角动量守恒. . xixLM;0常量常量 FrMtLdd为什么星系是扁状，盘型结构？1 1 孤立系孤立系1818世纪哲学家提出星云说，认为太阳系是由气云组成世纪哲学家提出星云说，认为太阳系是由气云组成的。气云原来很大，由自身引力而收缩，最后聚集成的。气云原来很大，由自身引力而收缩，最后聚集成一个个行星、卫星及太

11、阳本身。但是万有引力为什么一个个行星、卫星及太阳本身。但是万有引力为什么不能把所有的天体吸引在一起而是形成一个扁平的盘不能把所有的天体吸引在一起而是形成一个扁平的盘状？状？康德认为除了引力还有斥力，把向心加速的天体散康德认为除了引力还有斥力，把向心加速的天体散射到一个方向。射到一个方向。19世纪数学家拉普拉斯完善了康德世纪数学家拉普拉斯完善了康德的星云说，的星云说，指出旋转盘状结构的成因是角动量守恒。指出旋转盘状结构的成因是角动量守恒。我们可以把天体系统看成是不受外力的孤立系统。我们可以把天体系统看成是不受外力的孤立系统。原始气云弥漫在很大的范围内具有一定的初始角动原始气云弥漫在很大的范围内具

12、有一定的初始角动量量L， (万有引力作用下万有引力作用下)当当r变小的时候，变小的时候，在垂直在垂直L的的横向速度要增大，横向速度要增大，惯性离心力必随之增大，从而阻惯性离心力必随之增大，从而阻止了气云在该方向的进一步收缩。止了气云在该方向的进一步收缩。而平行而平行L方向不方向不存在惯性离心力来阻止气云收缩存在惯性离心力来阻止气云收缩，所以天体就形成，所以天体就形成了朝同一个方向旋转的盘状结构。了朝同一个方向旋转的盘状结构。vrmprL 例例: 质量为质量为m的小球系在绳的一端，另一端通过圆孔向的小球系在绳的一端，另一端通过圆孔向下，水平面光滑，开始小球作圆周运动（下，水平面光滑，开始小球作圆

13、周运动（r1 ,v1)然然后向下拉绳，使小球的运动轨迹为后向下拉绳，使小球的运动轨迹为r2的圆周的圆周求：求：v2=？ v1r1r2FOv2解：解： 作用在小球的力始作用在小球的力始终通过终通过O点（有点（有心力）由质点角心力）由质点角动量守恒：动量守恒：2211rmvrmv )()(12112vrrvv 2 2 有心力场有心力场, ,对力心角动量守恒对力心角动量守恒. .3 3 虽然虽然 , ,但对某轴外力矩为零但对某轴外力矩为零, ,则总则总角动量不守恒角动量不守恒, ,但对这轴的角动量是守恒的但对这轴的角动量是守恒的. .0iM在刚体中经常用到在刚体中经常用到例题例题 半径为半径为R 的

14、轻滑轮的中的轻滑轮的中心轴心轴O水平地固定在高处水平地固定在高处,其上其上穿过一条轻绳穿过一条轻绳,质量相同质量相同的两的两人人A、B以不同的爬绳速率以不同的爬绳速率vA、vB从同一高度同时向上爬从同一高度同时向上爬,试问试问谁先到达谁先到达O处处.mmABRO O由角动量守恒得他们的由角动量守恒得他们的对对O O点速度点速度相等，所以相等，所以同时同时到达。到达。若若mA=2mB, ,谁先到？谁先到？角动量定理或牛顿定理角动量定理或牛顿定理小结小结vrmprL 质点角动量质点角动量质点角动量定理质点角动量定理3 分量式：分量式：角动量守恒的几种可能情况：角动量守恒的几种可能情况：1 孤立系孤

15、立系.2 有心力场有心力场,对力心角动量守恒对力心角动量守恒.FrMtL dd xixLM;0常量常量合外力矩为零合外力矩为零，质点系总角动量守恒，质点系总角动量守恒力是物体平动运动状态（用动量来描述）发生改力是物体平动运动状态（用动量来描述）发生改变的原因。变的原因。力矩是引起物体转动状态（用角动量力矩是引起物体转动状态（用角动量来描述）改变的原因。来描述）改变的原因。重点！例例：半径为半径为R的光滑圆环铅直放置，质量为的光滑圆环铅直放置，质量为m的小球穿的小球穿在圆环上，开始小球静止于在圆环上，开始小球静止于A点并下滑点并下滑求求：小球滑至小球滑至B点时对点时对O点的角动量和角速度点的角动

16、量和角速度OABRvNGr解：解：分析力： ,GN, 对O点力矩为零N重力矩: 方向:GrMcossinmgRmgRM由:dtLdM) 1 (cos;cosdtmgRdLdtdLmgR2;mRmRvLvrmprLdtd可得可得:)2(2dLmRdt (2)代入代入(1)得得:2123)sin2(gmRL 由由212)sin2(;RgmRLdgRmLdLcos320320cos dgRmLdLL 劲度劲度系数为系数为k的弹簧，一端固定在一光的弹簧，一端固定在一光滑水平面上的滑水平面上的o点，另一端系一质量为点，另一端系一质量为M的小球。开始的小球。开始时，弹簧被拉长时，弹簧被拉长a,并给予小球一与弹簧垂直的初速度并给予小球一与弹簧垂直的初速度 求：求：当弹簧恢复原长时小球速度当弹簧恢复原长时小球速度 的大小和方向（即的大小和方向（即夹角夹角 ）0v例：例：原长为原长为0lv解解: 分析受力分析受力:重力，支持力重力，支持力定点定点弹性力。弹性力。设：恢复原长时，设：恢复原长时，球速为球速为V及图示角及图示角 显然，在水平方显然，在水平方向。向。0v2MvO Mal 0