微积分课件第3节空间曲线及其在坐标面上的投影

1、第三节第三节 空间曲线及其在空间曲线及其在 坐标面上的投影坐标面上的投影第四节第四节 二次曲面二次曲面1.空间直角坐标系空间直角坐标系 2.空间两点间距离公式空间两点间距离公式（轴、面、卦限）轴、面、卦限） 21221221221zzyyxxMM 3.曲面方程的概念曲面方程的概念复习复习一一. .空间直角坐标系空间直角坐标系 0 0 ),(zyxF2202020)()()(Rzzyyxx (1)(1)球面方程球面方程(2)(2)平面的方程平面的方程三元一次方程三元一次方程Ax+By+Cz+D=0( (A、B、C，D不全为不全为0)0)柱面的概念柱面的概念复习复习二二. .柱面及旋转曲面柱面及旋

2、转曲面 平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线移动的直线L 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.准线准线母线母线5.n维空间维空间 niRxxxxRinn, 2 , 1,214.空间曲线方程的概念空间曲线方程的概念 0 00 0),(),(zyxGzyxF;222Ryx 几种常用的柱面方程及图形几种常用的柱面方程及图形（1 1）圆柱面）圆柱面（2 2）椭圆柱面）椭圆柱面; 12222 byax（4 4）抛物柱面）抛物柱面（3 3）双曲柱面）双曲柱面; 12222 byax.22pyx 统统称称为为二二次次柱柱面面 椭圆柱面椭圆柱面 圆柱面圆柱面 抛物柱面抛物柱面 复

3、习复习 一一平面曲线平面曲线 C 绕同一平面上的一条绕同一平面上的一条定直线定直线 L 旋转一周旋转一周所形成的曲面称为所形成的曲面称为定直线定直线 L 称为旋转曲面的称为旋转曲面的三、三、 旋转曲面旋转曲面旋转曲面旋转曲面.曲线曲线C 称为旋转曲面的称为旋转曲面的旋转轴旋转轴.1.1.圆锥面方程圆锥面方程).(2 22 22 2yxaz )(22yxaz 2.2. 旋转抛物面旋转抛物面xyzO第三节第三节 空间曲线及其在空间曲线及其在 坐标面上的投影坐标面上的投影第四节第四节 二次曲面二次曲面一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线在坐标面上的投影二、空间曲线在坐标面上的投影

4、三、小结三、小结 思考题思考题 第三节第三节 空间曲线及其在坐标空间曲线及其在坐标面上的投影面上的投影一、空间曲线的概念所表示的曲线方程称为所表示的曲线方程称为方程组方程组特殊地，特殊地，空间直线空间直线方程方程 00222111zCyBxAzCyBxA把把空间曲线空间曲线C看作是看作是两曲面的交线两曲面的交线.空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程.1、空间曲线、空间曲线第三节 空间曲线及其在坐标面上的投影xozy1S2SC 0),(0),(zyxGzyxF z = 3在平面在平面 z = 3 上的圆上的圆. .因为因为 x2 + y2 + z2 = 25表示什么曲线表示什么曲线? ?例例1

5、方程组方程组xyzO ;3,25222zzyx5 的球面的球面.半径为半径为 解解是球心在原点是球心在原点,坐标面的平面，坐标面的平面，是平行于是平行于 x y 因而它们的交线是因而它们的交线是z = 3 1 16 62 22 2 yx三、空间曲线及其在坐标面上的投影例例2 2 方程组方程组 表示怎样的曲表示怎样的曲线？线？ 6332122zyxyx解解122 yx表示圆柱面，表示圆柱面，6332 zyx表示平面，表示平面， 6332122zyxyx交线为椭圆交线为椭圆.第三节 空间曲线及其在坐标面上的投影例例3 3 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ 4)2(222222ayax

6、yxaz解解222yxaz 上半球面上半球面,4)2(222ayax 圆柱面圆柱面,交线如图交线如图.第三节 空间曲线及其在坐标面上的投影过曲线过曲线C上的每一点作上的每一点作xOy坐标面的垂线坐标面的垂线, ,),(),( 0 00 0zyxGzyxF投影柱面方程的确定：投影柱面方程的确定： 0 00 0),(),(zyxGzyxF由方程组由方程组消去变量消去变量z，所得方程，所得方程0 0 ),(yxH设空间曲线设空间曲线C的方程为的方程为xOy坐标面上的投影曲线方程坐标面上的投影曲线方程;),( 0 00 0zyxH简称简称投影投影.称为曲线在称为曲线在xOy面上的面上的投影曲线投影曲线

7、,这个柱面与这个柱面与xOy面面投影柱面投影柱面.线线C关于关于xOy坐标面的坐标面的称其为曲称其为曲成了一个母线平行于成了一个母线平行于z轴且过曲线轴且过曲线C的柱面的柱面,这些垂线形这些垂线形为为投影柱面方程投影柱面方程.2、投影曲线、投影曲线的交线的交线二、空间曲线在坐标面上的投影如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面二、空间曲线在坐标面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 00),(xzyR 00),(yzxT面上的面上的投影曲线投影曲线,yoz面上的面上的投影曲线投影曲线

8、,xoz 00),(zyxH空间曲线在空间曲线在 面上的面上的投影曲线投影曲线xoy第三节 空间曲线及其在坐标面上的投影 例例4 4 求曲线求曲线 在在 xoy坐标坐标面上的投影曲线的方程面上的投影曲线的方程. . yyxzyx8,64:22222yyx822 解解就是就是 关于关于xoy 坐标面的投影坐标面的投影柱面方程，柱面方程， .0,822zyyx方程方程坐标面上的投影曲线是圆坐标面上的投影曲线是圆.因而曲线因而曲线 在在 x y16)4(22 yx圆柱面圆柱面64222 zyx球面球面1 16 64 42 22 2 )(yx例例5 5 求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上的投影.

9、 211222zzyx解解（1）消去变量）消去变量z后得后得,4322 yx在在 面上的投影为面上的投影为xoy,04322 zyx二、空间曲线在坐标面上的投影所以在所以在 面上的投影为线段面上的投影为线段.xoz;23|,021 xyz（3）同理在）同理在 面上的投影也为线段面上的投影也为线段.yoz.23|,021 yxz（2）因为曲线在平面）因为曲线在平面 上，上，21 z二、空间曲线在坐标面上的投影,4322 yx截线方程为截线方程为 0222zyxxzy解解如图如图,二、空间曲线在坐标面上的投影（2）消去）消去y得投影得投影,0042522 yxxzzx（3）消消去去x得得投投影影.

10、00222 xzyzy（1）消消去去z得得投投影影,004522 zxxyyx二、空间曲线在坐标面上的投影 0222zyxxzy补充补充: : 空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影. .空间立体空间立体曲面曲面二、空间曲线在坐标面上的投影例例7.,)(,面上的投影区域面上的投影区域求它在求它在锥面所围成锥面所围成和和由上半球面由上半球面设一个立体设一个立体xoyyxzyxz2 22 22 22 23 34 4 解解半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为 , )(3,4:2222yxzyxzC, 122 yxz 得投影柱面得投影柱面消去消去二、空间曲线在坐标面上的投影在

11、在 面上的投影为面上的投影为xoy, 0 01 12 22 2zyx一个圆一个圆,面上的投影为面上的投影为在在则交线则交线xoyC . 0, 122zyx一个圆一个圆,面面上上的的投投影影区区域域为为所所求求立立体体在在xoy. 0 00 02 22 2zyx二、空间曲线在坐标面上的投影空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程:三、小结空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF 00),(zyxH 00),(xzyR 00),(yzxT第三节 空间曲线及其在坐标面上的投影练习：练习：P267:1(单单)，2(单单)，3，4(单单)思考题思考题 求求椭椭圆圆抛

12、抛物物面面zxy 222与与抛抛物物柱柱面面zx 22的的交交线线关关于于xoy面面的的投投影影柱柱面面和和在在xoy面面上上的的投投影影曲曲线线方方程程.第三节 空间曲线及其在坐标面上的投影思考题解答思考题解答,22222 zxzxy交线方程为交线方程为消消去去z得得投投影影柱柱面面, 122 yx在在 面上的投影为面上的投影为xoy.0122 zyx第三节 空间曲线及其在坐标面上的投影练练 习习 题题三三、 将将曲曲线线 xyzyx9222化化为为参参数数方方程程练练 习习 题题四四、 求求螺螺旋旋线线 bzayaxsincos在在三三个个坐坐标标面面上上的的投投影影曲曲线线的的直直角角坐坐标标方方程程 . .五五、 求求由由上上半半球球面面222yxaz , , 柱柱面面022 axyx及及