数字信号处理

1、数字信号处理主讲人：潘伟西华师范大学计算机学院通信专业系列课程时域离散信号和时域离散系统第一章 时域离散信号的表示 时域离散信号的运算 典型的时域离散信号（序列） 序列的周期性 线性时（移）不变系统 单位抽样响应和卷积和 线性常系数差分方程 模拟信号的数字化处理本章目标本章目标v x(n)代表第n个序列值，在数值上等于信号的采样值v x(n)只在n为整数时才有意义v x(n)可以用公式表示，也可以用图形表示( )(),(1.2.1)at nTax tx nTn 序列的运算序列的运算1）和同序列号n的序列值逐项对应相加x(n) = x1(n) + x2(n)2）积同序列号n的序列值逐项对应相乘x

2、(n) = x1(n) . x2(n)序列的运算序列的运算当m0时x(n-m)x(n-m)：延时/右移m位x(n+m)x(n+m)：超前/左移m位序列的运算序列的运算翻褶以n=0的纵轴为对称轴将序列x(n)加以翻褶序列的运算序列的运算x x(-(-n n) )尺度变换x(mn)q 抽取x(n) = xa(t) |t=nTx(mn) = xa(t) |t=mnTq 插值x( )mn序列的运算序列的运算设两序列x(n)、 h(n)，则其卷积和定义为n ( )( )( )( )()x nx mh nh mhm1）翻褶：()()hmh nm2）移位：( )()x mh nmm 3）相乘：( ) ()m

3、x m h nm4）相加：)()()()()(nhnxmnhmxnynm序列的运算序列的运算序列的运算序列的运算1) x(n) 1) x(n) * * h(n) = h(n) h(n) = h(n) * * x(n) x(n)2) x(n) 2) x(n) * * h(n) = y(n) h(n) = y(n)x(n-kx(n-k1 1) ) * * h(n-k h(n-k2 2) = y(n-k) = y(n-k1 1-k-k2 2) )性质常用的典型序列常用的典型序列1. 单位采样序列(n) 0001)(nnn比较：单位采样序列和单位冲激信号101231n (n) (t)t0( a )(

4、b )(a)单位采样序列； (b)单位冲激信号 常用的典型序列常用的典型序列0001)(nnnu2. 单位阶跃序列u(n) 5 4 3 2 1012345nu(n)16与(n)的关系) 1()()(nununnkknu)()(常用的典型序列常用的典型序列3. 矩形序列RN(n)nNnnRN其他0101)(nRN(n)110123NN1常用的典型序列常用的典型序列与(n)/ u(n)的关系)()()(NnununRN常用的典型序列常用的典型序列)1() 1()()()(10NnnnmnnRNmN4. 实指数序列x(n)=anu(n)a 为实数|a|1 x(n)发散012345 1nanu(n)|

5、a| 1anu(n)|a| 1012345 1nanu(n)0 1n12 34 5a |a|常用的典型序列常用的典型序列5. 正弦序列x(n)=A sin(n0+) A为幅度; 为起始相位; 0为数字域的频率sin(n0)11no常用的典型序列常用的典型序列6. 复指数序列njAenx0)(0是复正弦的数字域频率。njAnAnjnAnx0000sincos)sin(cos)(用实部、虚部表示:用极坐标表示： njnxjAeenxnx0)(arg| )(|)(因此有： nnxAnx0)(arg| )(|常用的典型序列常用的典型序列7）任意序列x(n)可以表示成单位取样序列的移位加权和，也可表示成

6、与单位取样序列的卷积和。mmnmxnx)()()(常用的典型序列常用的典型序列序列的周期性序列的周期性周期性序列：x(n)=x(n+N), -n (周期为N)( )sin(8)4x nn( )sin()4x nn例如：一般正弦序列的周期性一般正弦序列的周期性x(n)=Asin(0n+)x(n+N) =Asin(0(n+N)+)=Asin(0n+0N+)要使 x(n+N)=x(n)则 N=(2/0)kk与N均取整数，且k的取值要保证N是最小的正整数(1)当2/ 0为整数(2) 2/ 0是一个有理数(3) 2/ 0是无理数一般正弦序列的周期性一般正弦序列的周期性(1) 当2/ 0为整数时(2) 2

7、/ 0是一个有理数时设2/ 0 =P/Q，式中P、Q是互为素数的整数取k=Q, N=P，则x(n)是以P为周期的周期序列。(3)2/ 0是无理数此时的正弦序列不是周期序列一般正弦序列的周期性一般正弦序列的周期性k=1，正弦序列是以2/ 0为周期的周期序列。时域离散系统时域离散系统离散时间系统离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。是将输入序列变换成输出序列的一种运算。 记为：记为：T.T.离散时间系统离散时间系统T T x(n)x(n)y(n)y(n)y(n)=Tx(n)y(n)=Tx(n)线性系统线性系统y y1 1(n)=T(n)=Tx x1 1(n)(n)，y y2 2(n)=

8、T(n)=Tx x2 2(n)(n)可加性：T T x x1 1(n)+x2(n)(n)+x2(n)= y= y1 1(n)+y(n)+y2 2(n)(n) 齐次性：T Ta xa x1 1(n)(n)=a y=a y1 1(n) (n) 若系统T.满足叠加原理y(n)=Ty(n)=Taxax1 1(n)+bx(n)+bx2 2(n)(n)=ay=ay1 1(n)+by(n)+by2 2(n)(n)或同时满足称此系统为线性系统。例：例： 讨论讨论y(n)=ax(n)+b(ay(n)=ax(n)+b(a和和b b是常数是常数) )，所代表的系，所代表的系统是否线性系统。统是否线性系统。线性系统线

9、性系统解：解： y y1 1(n)=T(n)=Tx x1 1(n)(n)=ax=ax1 1(n)+b(n)+by y2 2(n)=T(n)=Tx x2 2(n)(n)=ax=ax2 2(n)+b(n)+by(n)=Ty(n)=Tx x1 1(n)+x(n)+x2 2(n)(n) =ax=ax1 1(n)+ax(n)+ax2 2(n)+b(n)+by(n)yy(n)y1 1(n)+y(n)+y2 2(n)(n)因此，该系统不是线性系统。2 23 31 1 线性系统线性系统x(n)x(n)y y0 0(n)(n)y(n)y(n)v 增量线性系统不是线性系统v 增量线性系统的变化部分是线性系统y(n

10、)=ax(n)+by(n)=ax(n)+b线性系统线性系统时不变系统时不变系统 若系统响应与激励加于系统的时刻无关，则称为时不变系统（或移不变系统）。若y(n)=Ty(n)=Tx(n)x(n) 同时具有线性和时不变性的离散时间系统称为线性时不变系统(LTI)(LTI)LTILTI：Linear Time InvariantLinear Time InvariantLSILSI：Linear Shift InvariantLinear Shift Invariant ?则y(n-ny(n-n0 0) = T) = Tx(n-nx(n-n0 0) )例：讨论y(n)=ax(n)+b代表的系统是否是

11、时不变系统，上式中a和b是常数。时不变系统时不变系统 解 y(n) = ax(n)+by(n) = ax(n)+by(n-ny(n-n0 0) = ax(n- n) = ax(n- n0 0)+b)+by(n- ny(n- n0 0)=T)=Tx(n- nx(n- n0 0) )因此，该系统是时不变系统。T Tx(n- nx(n- n0 0) )= ax(n- n= ax(n- n0 0)+b)+b1 12 23 3例：检查y(n)=nx(n)所代表的系统是否是时不变系统。时不变系统时不变系统 解 y(n)=nx(n)y(n)=nx(n)y(n-ny(n-n0 0)=(n- n)=(n- n0

12、 0)x(n- n)x(n- n0 0) )T Tx(n- nx(n- n0 0) )=nx(n- n=nx(n- n0 0) )y(n- ny(n- n0 0)T)Tx(n- nx(n- n0 0) )因此，该系统不是时不变系统。1 12 23 3T T h(n)h(n) (n)(n)LTILTI系统输入和输出之间的关系系统输入和输出之间的关系定义：h(n)是指输入为单位抽样序列(n)时的系统输出。h(n)=Th(n)=T (n)(n)n0n0 x(n)=x(n)= (n)(n)y(n)=0y(n)=0T T h(n)h(n) (n)(n)讨讨 论论任意时刻的输入：系统输出：对LTI系统(

13、)( ) ()( )( ) ()( )( ) ()( )( )mmmy nTx mnmy nx mnmy nTx m h nmx nh nT T ( (n-mn-m)线性性线性性时不变性时不变性x(n)( )( ) ()mx nx mnmv 一个LTI系统可以用单位抽样响应h(n)来表征v 任意输入的系统输出等于输入序列和该单位抽样响应h(n)的卷积和。LTIh(n)x(n)y(n)( )( )( )y nx nh n讨讨 论论LTILTI系统的性质系统的性质y(n) = x(n) y(n) = x(n) * * h(n) = h(n) h(n) = h(n) * * x(n) x(n)2)

14、结合律h1(n)x(n)h2(n)y(n)x(n)x(n)* *h h1 1(n)(n)* *h h2 2(n)(n)= (x(n)= (x(n)* *h h1 1(n)(n)* *h h2 2(n)(n)=(x(n)=(x(n)* *h h2 2(n)(n)* *h h1 1(n)(n)=x(n)=x(n)* *(h(h1 1(n)(n)* *h h2 2(n)(n)h(n)= hh(n)= h1 1(n)(n)* *h h2 2(n)(n)，y(n)= x(n)y(n)= x(n)* *h(n)h(n)h2(n)x(n)h1(n)y(n)h1(n)*h2(n)x(n)y(n)h(n)x(n

15、)y(n)x(n)h(n)y(n)3) 分配律h1(n)+h2(n)x(n)y(n)h1(n)x(n)y(n)h2(n)LTILTI系统的性质系统的性质因果系统和稳定系统因果系统和稳定系统1）因果系统因果系统因果系统：若系统n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而与n时刻以后的输入无关，则称该系统为因果系统。因果序列因果序列：满足条件x(n)=0 n0的序列x(n)为因果序列。v LTI系统是因果系统的充要条件充要条件：h(n)=0 n0h(n)=0 n0v 非因果数字系统利用存储器，可以实现或近似实现。WhyWhy( )( )* ( )y nx nh n解：+0= h(0)x

16、(n) + h(1)x(n-1) + h(2)x(n-2) + + h(-1)x(n+1) + h(-2)x(n+2) + ( ) ()( )( )kh k x nkh nx n( ) ()( )( )kh k x nkh nx n( ) ()( )( )kh k x nkh nx n+-10h(n) * x(n)该系统为因果系统 h(-1)0,h(-2) 0，2 2）稳定系统）稳定系统( )nh n 稳定系统稳定系统是有界输入产生有界输出的系统。若若|x(n)| M |x(n)| M 则则|y(n) |y(n) | P | P LTI系统稳定的充要条件充要条件: 单位取样响应绝对可和。2 2

17、）稳定系统）稳定系统证明证明 先证明充分性。( )( ) ()( )( )()kky nh k x nky ny kx nk因为输入序列x(n)有界，即 |x(n)|B,-n， B为任意常数( )( )kyn Bhk 如果系统的单位取样响应h(n)满足(1.3.14)式，那么输出y(n)一定也是有界的，即 |y(n)| 下面用反证法证明其必要性。如果h(n)不满足(1.3.14)式，即 ，那么总可以找到一个或若干个有界的输入引起无界的输出，例如：( )nh n (), ( )0()0,( )0hnh nhnh nx(n)= ( )( ) ()( )(0)( ) ()( )( )( )kkkky

18、 nh k x nkh kyh k x nkh kh kh k 令n=0 2 2）稳定系统）稳定系统例：设线性时不变系统的单位取样响应h(n)=anu(n)，式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。只有当|a|1时 1( )1nh na|a|1：系统稳定；|a|1：系统不稳定。因此解： 由于n0时，h(n)=0，所以系统是因果系统。2 2）稳定系统）稳定系统1001( )limlimnNnnNNnnnah naaa1N N例： 设系统的单位取样响应h(n)=u(n)，求对于任意输入序列x(n)的输出y(n)，并检验系统的因果性和稳定性 解 h(n)=u(n) y(n)=x(n)*h(n)=

19、因为当n-k0 x(n)=(n),y(n)=0,n0，求输出序列y(n)y(n)。线性常系数差分方程的求解 解 由 y(n)=ay(n-1)+x(n)，得 将n-1用n代替，得到 y(n)=-ay(n)=-an nu(-n-1)u(-n-1) y(n-1)=a-1(y(n)-(n) y(0)=a-1(y(1)-(1)=0 y(-1)=a-1(y(0)-(0)=-a-1 y(-2)=a-1(y(-1)-(-1)=-a-2 y(n-1)=-a n-1 例：设系统用一阶差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，初始条件y(-1)=1，试分析该系统是否是线性非时变系统。解解 下面通过设输入信号下

20、面通过设输入信号x1(n)=(n)x1(n)=(n)，x2(n)=(n-1)x2(n)=(n-1)和和x3(n)=(n)+(n-1)x3(n)=(n)+(n-1)来检验系统是否是线性非时变来检验系统是否是线性非时变系统。系统。 线性常系数差分方程的求解(1) x1(n)=(n)(1) x1(n)=(n)，y1(-1)=1y1(-1)=1 y1(n)=ay1(n-1)+(n) y1(n)=ay1(n-1)+(n) 输出如下式：输出如下式： y1(n)=(1+a)anu(n)y1(n)=(1+a)anu(n)线性常系数差分方程的求解线性常系数差分方程的求解线性常系数差分方程的求解 一个差分方程不能

21、唯一确定一个系统 不一定是因果的 不一定是稳定的 常系数线性差分方程描述的系统不一定是线性时不变的。 对于因果系统，如果x(n)=0(nn0)时，y(n)=0(nn0),系统是线性非时变系统。线性常系数差分方程的求解线性常系数差分方程的求解模拟信号数字处理方法模拟信号数字处理方法预滤A/DC数字信号处理D/AC平滑滤波ya(t)xa(t)模拟信号数字处理框图 对模拟信号进行采样对模拟信号进行采样讨论：讨论：采样前后信号频谱的变化什么条件下，可以从采样信号不失真地恢复出原信号 理想抽样输出求理想抽样的频谱理想抽样 T对模拟信号进行采样对模拟信号进行采样冲激函数0t而对模拟信号进行采样对模拟信号进

22、行采样对模拟信号进行采样对模拟信号进行采样结论结论抽样信号的频谱是模拟信号频谱以抽样频率为周期进行周期延拓而成抽样信号的频谱幅度是原信号频谱幅度的1/T倍对模拟信号进行采样对模拟信号进行采样0 c cXa(j )P (j ) s s0Xa(j )0Xa(j ) c s（ a ）（ b ）（ c ）（ d ）2s0 s s s2s2s对模拟信号进行采样对模拟信号进行采样则延拓分量产生频谱混叠hs/2h 为折叠频率若信号的最高频率要想抽样后能够不失真地还原出原信号，则抽样频率必须大于或等于两倍信号谱的最高频率s s 2 2h h ，即f fs s 2f 2fh hA/DC原理框图 例：模拟信号xa

23、(t)=sin(2ft+/8)，式中f=50Hz，选采样频率fs=200Hz，求数字信号x(n)。解：将t=nT代入Xa(t)中，得到采样数据： 当n=0，1，2，3，时，得到序列x(n)如下： x(n)=0.382683,0.923879,-0.382683,-0.923879如果A/DC按照M=6进行量化编码，其中第一位为符号位，则数字信号x(n)为： x(n)= 0.01100,0.11101,1.01100,1.11101用十进制表示，x(n)如下： x(n)=0.37500,0.90625,-0.37500,-0.90625量化误差，量化效应0Xa(j )G(j )xa(t)ya(t)0G(j )/ T/ T0Xa(j )（ a ）（ b ）（ c ）（ d ）()G j 1,210,2ssT 1()( )()()( )()1( )( ),21( )( ),2aaaaaaacsaacsYjFT Y tXjG jY tF T YjY tx tY tx t 数数/ /模转换器模转换器(D/AC)(D/AC)零阶保持解码平滑滤波x(