期中综合练习卷B

1、 高等数学（工）高等数学（工）2 2 期中复习卷期中复习卷(B) (B) ( (多元微分多元微分, ,空间解几空间解几, ,级数级数) )1.2.3.4.5.6.7.8.9.BDAACDBCB一,选择题二、填空题：12sin241431.2xyzy ffxee 2. 3. 4. 22104253134(1), 13.26nnnxtytztxypxx 5. 7. 8. 23( 1,1)( 1,1)( 1,1)( 1,1) ( 1,1)( ) A. 23 B. 23 C. 32 D. 32zx ydzdxdydzdxdydzdxdydzdxdy 1 1. .函函数数在在 处处的的全全微微分分为为

2、xydzz dxz dy223,yzx y32,xzxy( 1,1)3yz( 1,1)2,xz ( 1,1)23dzdxdy B(0,0) ( ). A. B. C. D. zxy 2 2. . 点点是是函函数数 的的 极极大大值值点点极极小小值值点点非非驻驻点点驻驻点点(0,0)0,(0,0)0 xyzzyzx,xzy(0,0).是驻点D(0,0)0 ,yyCz(0,0)0 ,xxAz(0,0)1,xyBz210 ,ACB (0,0).不是极值点1xyz0,xxz0,yyz txtytfff zyxts( , , ), ( , ),( , ) ,( ) A. B. C. D. txtytxt

3、yttttttzf t x yxs tys tztffffffffff 3. 3. 已已知知函函数数 均均有有一一阶阶偏偏导导数数 则则 zt 79,zfPtt注意记号的不同含义.Atf tytf y xtf x 111(),( ) A. B. C. D. nnnnnnnuvuv 4 4. . 当当收收敛敛时时 级级数数与与 可可能能都都发发散散必必定定都都收收敛敛必必定定都都发发散散必必定定都都绝绝对对收收敛敛A收收敛敛+ +收收敛敛收收敛敛收收敛敛+ +发发散散发发散散发发散散+ +发发散散可可能能收收敛敛可可能能发发散散00(1)2,(1)3( ) A. B. C. D. nnnnnna

4、xxaxx 5 5. . 若若在在处处收收敛敛 则则在在处处 一一定定发发散散可可能能收收敛敛可可能能发发散散一一定定绝绝对对收收敛敛一一定定条条件件收收敛敛C1xt 令令1nnna t 在在t t = -3 = -3 处收敛，处收敛，由由Abel定理定理 ，该幂级数在，该幂级数在4t 时绝对收敛，时绝对收敛，故在故在3x 处绝对收敛。处绝对收敛。2,t 1(3)( )3118 10 A. (,) B. (,) C. (3 , 3) D. (0,6)3333nnnnx 6 6. . 级级数数的的收收敛敛区区间间是是 Dlimn1nnaa11 33nnnn131 13nnlimnlimn13.R

5、(0,6).收敛区间333x 06x(2,1,1)(0,1,1)_.1111( )(0,)( )(0,)2222111111 ( )(,)()(,)333333abABCD 7.7.同同时时垂垂直直于于向向量量和和的的单单位位向向量量是是ab2 1 10 1 1( , , )02 2ijk|=ab2 2|abeab11(0,)22B 0,2（ -2，） 320220,21030 _. A. B. C. D. , xyzxyzxyz 8 8. .设设 直直线线L L: :, , 平平面面 : :4 4则则直直线线L L平平行行于于平平面面直直线线L L在在平平面面 上上直直线线L L垂垂直直于于

6、平平面面直直线线L L与与平平面面 相相交交 但但不不垂垂直直2(2, 1, 10)n 1(1,3,2),n s方向向量(4, 2,1) n 法向量 12nn1 3 22 1 10( , , )28( 14)7ijk7(4, 2 ,1 ) / / ns / /sn由L直线平面C90,0( )( )( )()AxCzDA C DAxByCxDy、设设平平面面方方程程为为：，其其中中均均不不为为 ， 则则平平面面 平平行行于于 轴轴平平行行于于 轴轴经经过过 轴轴经经过过 轴轴( )BB0,yDy平行于 轴,所以不经过 轴1. ( sin ,2 ), , .zf xy xyfzx 设设其其中中 具

7、具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数 则则2. 20 ( . ) .xyzezezzf x yy 方方程程所所确确定定的的函函数数 的的偏偏导导数数二填空题二填空题12sin y ff ( , , )F x y z zyyzFF2xyzxee .2xyzxee2xyzxee (1,1,1)3. (1,1,1)2, 1,3 .uxyzPlul 函函数数在在点点处处沿沿方方向向的的方方向向导导数数4142cos,14 (1,1,1)ul 414 1cos,14 3cos14 21 1 114( , , )yz 1(1,1,1)14xz3(1,1,1)14xy 解解: 向量 l 的方向余弦为, ,0,

8、 .a b cabca bb cc a 4 4. . 设设为为单单位位向向量量 且且满满足足则则| | | 1abc2()3a bb cc a 322abc() ()abcabc2() a ab bc ca bb cc a222|abc2() a bb cc a035. 428 .xyz 过过原原点点且且与与平平面面垂垂直直的的直直线线的的参参数数式式方方程程为为 (4, 1,2)n 平面法向量即直线方向向量 :L直线,412xyz2ztyt 4xt:L的参数方程42xtytzt 222222416. .xyzxyz 准准线线为为, ,母母线线平平行行于于z z轴轴的的柱柱面面方方程程为为22

9、222241xyzxyz22224()1xyxy消去z22531xy22531xy 13117. , .npnpn 已已知知条条件件收收敛敛则则 的的取取值值范范围围为为1311npnn收敛131lim0npnn30p311pnn发散31p34p 34p 18. ( )1,3 .f xxx 展展开开成成的的幂幂级级数数展展开开式式为为1132(1)xx10(1)2nnnx11 12x 01122nnx13x 10(1)2nnnx 13x 121121x21. ln(), (0,0), ,.yzzzxxyxyxx y 设求三计算题三计算题lnlnxy1yxzyx解解:1yxy1x1lnyxxxy

10、z解解:222. , ( ), ( )0,.()yzzzf uf uxyf xy设其中可导且求2yff 22xyff zx2x21()yf zyf ( 2 )y2212yfff1f或或zy2f1 f y f 2()y 2212yfff解解:22(1)(2) ln(1) tan, (1,2).xyzx yyxyxz3.设求( ,2),z xx( ,2)( )1xzxx (1,2)1xz解解:,( , ) sin()10, ,.uxyyzzxzz x yuuxzyzxy4. 设其中由方程确定 求xyzuxu ()yz()xyzxcos()zxyyz zxxzGG ( , , )G x y z其中其

11、中yu ()xz()yyzxcos()cos()yzzxyzy zyyzGG 其中其中解解:1! 25. (1) nnnnn判别级数的敛散性 用比值法.11(1)! 2lim(1)nnnnn1limnnnuu! 2nnnn 112lim1nnn2lim1nnnn2e正项级数1! 2 .nnnnn收敛121(sin ) (2)4nnn解解:2(sin )1 44nnn11 4nn收敛1( . )4q 的几何级数21(sin ) .4nnn收敛正项级数26( )ln(56)f xxxx、设，展开成 的幂级数.解：( )ln(3)(2)f xxxln(3)ln(2)xxln3ln(1)ln2ln(1

12、)32xx110011ln6( )( )1 31 2nnnnxxnn-1110111ln6()1 32nnnnxn( 2,2)x 3x 3x 3 3, ) 当当时，时，时，时，解：解：1 1）当当收敛域为收敛域为11()nnn 收敛11nn 发散1nnaa limn 3 =nn 11(1)3nn limn 113nn 13 limn 13R ( )s x1( )3nnnxs xn ( )s x 1113()3nnx 11313x 13x （2 2）设和函数为）设和函数为，则，则逐项求导：逐项求导： 113nnnnn x ( 3, 3)x 001( )3xxs x dxdxx ( )(0)s x

13、s 0ln(3)xx (0)0s 3( )ln3s xx ( 3, 3)x 两端积分：两端积分： 3ln3x 13( )ln33nnnxs xnx 2x 11 2( )3nnn (2)s 令令，得，得ln3 3,2,2,2, 2,1,: (1) ,; (2) , ; (3) ; (4) .aba b aba bAbaabe8.已知求以为邻边的平行四边形面积向量 在上的投影同时垂直于与的单位向量(1) 3 22 ( 2)2 14a b 解解:( , , ),2 2 16( 1)10 ijk3 2 2ab( 6, 1, 10),(2) A 22261( 10) 137|ab(3) Prjab |a

14、 ba2224322417 e 1137 1|abab(4) e, eab/eab( 6, 1, 10),6110( , , ).137137137 (3,1, 1)3200.Axyz 9.求点在平面 : 上的投影 ,AL过点 作直线平面解解: .LP直线 与平面 的交点 即为所求:(3,1,1)n平面 的法向量分析分析: :AL过点 且垂直于平面 的直线311,311xyz .L直线 的方向向量1zt 1yt 33xt:L的参数方程代入平面方程:3(33)(1)(1)200ttt1t 11110t3(33)(1)(1)200ttt: (6,2,0).AP点 在平面 上的投影点1 10z 1

15、12y 336x 1211:121212 .xxyzllyz10.求过直线 且与直线平行的平面方程解一解一:12nss(0,0,1).A点平面用平面点法式方程:( , , ),0 1 2042 ijk2 1 2平面点法式方程:4( 2)(1)0yz 210yz 1211:121212 .xxyzllyz10.求过直线 且与直线平行的平面方程解二解二:n 平面法向量:设平面 方程用平面束方程1:l直线 一般方程( )( )0(1)20 xyz(1,2,)22 ls 直线 方向向量2/l平面直线2ns20n s 022210yz 10 xz 20 xy所求平面:2xy1xz(0, 1,2).2n s 1. 0解解:222 235721 :.22xyzPPxzLyz11.求曲面上点 ,使曲面在点 的切平面 垂直于直线222( , , )2357F x y zxyz令000(,).P xyz设所求点Ls