第06次地球重力场的基本原理2

1、上章回顾1、掌握二维平面坐标转换、掌握二维平面坐标转换（1）两点直接计算四个参数的方法；）两点直接计算四个参数的方法；（2）多于两点的平差模型；）多于两点的平差模型；（3）54和和80坐标的转换的例题；坐标的转换的例题；2、了解三维坐标转换的七参数的数学模型；、了解三维坐标转换的七参数的数学模型；3、了解三维坐标转换的参数直接计算（四个公、了解三维坐标转换的参数直接计算（四个公共点）公式。共点）公式。本节主要内容地球及其运动的基本概念地球及其运动的基本概念地球概说地球概说地球运动概说地球运动概说地球基本参数地球基本参数地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理引力和离心力引力和离心力引力位和离心

2、力位引力位和离心力位1.重力位重力位第第3章章 地球重力场及地球形状地球重力场及地球形状的基本理论的基本理论 3.1 地球及其运动的基本概念地球及其运动的基本概念一、地球概说一、地球概说 1、地球基本形状介绍、地球基本形状介绍 地球面积为地球面积为5.1亿亿km,体积为体积为10830亿亿km，海洋占，海洋占总面积的总面积的70.8%，约为，约为3.61 km，大陆占，大陆占1.49亿亿km。地表地貌的最大起伏为地表地貌的最大起伏为19.9km，陆地平均高程，陆地平均高程840m，其中多数占总面积其中多数占总面积75%在在1000m以下。以下。 2、地球大气简介、地球大气简介 根据大气的密度、

3、温度及运动特征等物理性质，按根据大气的密度、温度及运动特征等物理性质，按照不同标准和研究重点，将大气分为性质各异的若干照不同标准和研究重点，将大气分为性质各异的若干 大气层，从地面由低到高依次是：对流层、平流层、大气层，从地面由低到高依次是：对流层、平流层、中层、热层（电离层）、外层（散逸层）。中层、热层（电离层）、外层（散逸层）。二、地球运动概说二、地球运动概说 1、地球的自转、地球的自转 2、地球的公转、地球的公转 地球公转遵守开普勒行星运动的三定律地球公转遵守开普勒行星运动的三定律 开普勒行星运动第一定律：行星绕太阳运行的轨道开普勒行星运动第一定律：行星绕太阳运行的轨道是椭圆，而太阳是在

4、椭圆的一个焦点上。是椭圆，而太阳是在椭圆的一个焦点上。 开普勒行星运动第二定律：行星的向径在相等的时开普勒行星运动第二定律：行星的向径在相等的时间内，扫过的面积也相等。间内，扫过的面积也相等。 开普勒行星运动第三定律：行星绕太阳公转的恒星开普勒行星运动第三定律：行星绕太阳公转的恒星周期的平方和行星轨道长半径的立方成正比例。周期的平方和行星轨道长半径的立方成正比例。牛顿万有引力定律三、地球基本参数三、地球基本参数 1、基本几何参数、基本几何参数 旋转椭球赤道半径长旋转椭球赤道半径长a=6378.164km, 短半径短半径b=6356.779km, 扁率扁率=(a-b)/a=1/298.25=0.

5、003529=(a-b)/a=1/298.25=0.003529 2 2、地球正常引力位常数、地球正常引力位常数 式中：式中：r为地球表面至地心的距离；为地球表面至地心的距离； 为为n次勒让德次勒让德多项式，多项式， 为纬度为纬度21mnnnPraJraaGMU)(sin)( nP重力场：地球上不同位置的点的重力所形成的空间重力场：地球上不同位置的点的重力所形成的空间一、引力和离心力一、引力和离心力 1.引力引力 2.离心力离心力 离心力与平行圈半径离心力与平行圈半径成正比；离心力的最大值在赤道成正比；离心力的最大值在赤道 3.重力：地球上任一质点处重力是地球引力与地球重力：地球上任一质点处重

6、力是地球引力与地球 自转产生的离心力的合力自转产生的离心力的合力2rmMfF2mP PFg2001FP3.2 3.2 地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理yzxOFgp二、引力位和离心力位二、引力位和离心力位 1.引力位引力位 取取m=1为单位质点为单位质点 引力位：将单位质点的位能称为质体引力位：将单位质点的位能称为质体M的引力位或引力位函数的引力位或引力位函数。说明：说明：物理意义：单位质点从无穷远处移动到该点引力所做的功物理意义：单位质点从无穷远处移动到该点引力所做的功 标量标量(3)引力位与加速度的关系：引力位与加速度的关系：rmMfVdrrmMfdVdrrmMfdA22rMfVg

7、radVdrdVarMfamaF2功位能减少由于各物体间存在相互作用而具有的、由各物体间相对位置决定的能，称为位能位能 在在o-xyz坐标中坐标中 2.离心力位：离心力位：一阶导数一阶导数二阶导数二阶导数 zVaFyVaFxVaFzzyyxx;)(2222yxQcoscosrx sincosry sinrz sincosrx coscosry 0z xrx22coscos yry22sincos 0z yzxOFgp22 mP 022zQyyyQxxxQ 022222222zQyQxQ022222222zyxQ离心力位的二阶导数离心力位的二阶导数上式为布阿桑算子上式为布阿桑算子,表明在客体的全

8、部空间内，是一常数表明在客体的全部空间内，是一常数三、重力位三、重力位 与加速度的关系与加速度的关系 沿任意方向的重力加速度沿任意方向的重力加速度)(2222yxrdmfWQVW),cos()(),cos()(),cos()(zggzQzVzWgyggyQyVyWgxggxQxVxWgzyx),cos(lggglWl222zyxgggg当当g与与l相互垂直时相互垂直时 为常数为常数 重力等位面（水准面），大地水准面重力等位面（水准面），大地水准面当当 时时 当当 不变时，不变时，g不同，不同， 不同。说明水准面不平行不同。说明水准面不平行 不相交。不相交。 (3)重力加速度的单位：重力加速度的

9、单位： 伽（伽（Gal） 地面：地面： 赤道：赤道： 两极：两极：olg180, dldWggdWdl0dWGal980211scmGal Galsmg9808 . 92Gal978Gal983dWdl),cos(lggglWlW二阶算子二阶算子 外部点外部点 ： 可以证明：可以证明： 上式称为拉普拉斯方程，上式称为拉普拉斯方程， 称为拉普拉斯算子称为拉普拉斯算子 “引力位是调和函数引力位是调和函数” “离心位不是调和函数离心位不是调和函数”内部点内部点：QV ,QVW0222222zVyVxVVV022222222zQyQxQQ224fQVW22QVW“重力位不是调和函数重力位不是调和函数”

10、1、重力位、重力位=引力位离心力位；引力位离心力位；2、不可精确求得；（地球表面形状及内部、不可精确求得；（地球表面形状及内部物质密度无法知道）物质密度无法知道）3、重力位可确定地球形状、重力位可确定地球形状重力位的两重力位的两个理论简介个理论简介)(2222yxrdmfWQVW一、重力位的两个理论一、重力位的两个理论重力位分为两部分：正常重力位和扰动位，根据扰重力位分为两部分：正常重力位和扰动位，根据扰动位不同计算方法，重力位的产生了两个理论。动位不同计算方法，重力位的产生了两个理论。司托克斯（英国司托克斯（英国G.G.Stokes）理论）理论 莫洛金斯基（俄罗斯莫洛金斯基（俄罗斯M.C.M

11、M.C.M）理论）理论1、正常椭球：规则形状的、正常椭球：规则形状的椭球（旋转椭球（旋转椭球椭球）意义：计算重力位近似值意义：计算重力位近似值正常重力位。正常重力位。2、正常重力位就是正常重力位就是正常椭球上任意一点的重力位。可正常椭球上任意一点的重力位。可以由公式精确计算出。（以由公式精确计算出。（P68398）3、扰动位：、扰动位：正常重力位与地球正常重力位与地球重力位差异。所以重力位差异。所以地球重力位正常重力位扰动位地球重力位正常重力位扰动位任意一点的扰动位的确定是确定重力位之关键任意一点的扰动位的确定是确定重力位之关键4、司托克斯（英国、司托克斯（英国G.G.Stokes于于1849

12、年提出）理年提出）理论：通过对重力异常（重力正常重力重力异论：通过对重力异常（重力正常重力重力异常，即扰动重力）的积分，提出以大地水准面为常，即扰动重力）的积分，提出以大地水准面为边界面的扰动重力位计算公式和大地水准面起伏边界面的扰动重力位计算公式和大地水准面起伏公式。公式。 5、莫洛金斯基（俄罗斯、莫洛金斯基（俄罗斯M.C.MM.C.M）理论）理论莫洛金斯基于莫洛金斯基于1954年提出，通过地面上观测年提出，通过地面上观测的重力值精确求定地面点的扰动位，但其边界不的重力值精确求定地面点的扰动位，但其边界不是大地水位面而是地球表面，即直接利用地面上是大地水位面而是地球表面，即直接利用地面上的重

13、力观测值求定地球形状和外部重力场，而不的重力观测值求定地球形状和外部重力场，而不是通过大地水准面求解。是通过大地水准面求解。6、边值问题（边界面问题）：通过什么面求定地球、边值问题（边界面问题）：通过什么面求定地球形状和外部重力场的问题。形状和外部重力场的问题。3.3 3.3 高程系统高程系统一、一般说明一、一般说明 为了表达地球自然表面点相对地球椭球的空间位置为了表达地球自然表面点相对地球椭球的空间位置，除采用椭球坐标外，还要应用大地高，除采用椭球坐标外，还要应用大地高H。 大地高由两部分组成：地形高部分及大地水准面高大地高由两部分组成：地形高部分及大地水准面高部分。地形高基本上确定着地球自

14、然表面的地貌，大部分。地形高基本上确定着地球自然表面的地貌，大地水准面高度又称地水准面高度又称大地水准面差距大地水准面差距，似大地水准面高，似大地水准面高度又称度又称高程异常高程异常，他们基本上确定着大地水准面或似，他们基本上确定着大地水准面或似大地水准面的起伏，在这里我们主要研究用几何水准大地水准面的起伏，在这里我们主要研究用几何水准测量方法确定地形高的测量方法确定地形高的 基本内容。基本内容。在较短距离：在较短距离： 假定水准面平行假定水准面平行测量学测量学 在较长距离：在较长距离： 测量学中假定不成立测量学中假定不成立大地测量学大地测量学 水准面的不平行性水准面的不平行性 hHBBBAA

15、hghgWBAbAhhggB3h2h1hahbhww )(AgA)(BgBw大地水准面大地水准面大地水准面大地水准面理论闭合差理论闭合差 OAB ： ONB ： OABNO：高程闭合差不等于：高程闭合差不等于0 必须定义合理的高程系，必须定义合理的高程系， 对观测结果实施水准面不平行改正对观测结果实施水准面不平行改正二、正高系统二、正高系统1.正高定义：地面上任一点沿垂线方向到大地水准面的距离。正高定义：地面上任一点沿垂线方向到大地水准面的距离。2.表达：表达：式中式中CB为从为从C到到B的积分区间的积分区间hHhHBBCBCBBdHHH正ABC1h2h3h1H2H3H1h2h3hO大地水准面

16、N 当两水准面无限接近时，其位能差可以写为当两水准面无限接近时，其位能差可以写为 OABBmOABBCBBdhggdhggdHH1正dhggdHdHgdhgBB3.说明：不因水准路线而异，是惟一的；说明：不因水准路线而异，是惟一的； 不能精确测定，正高无法精确求得。不能精确测定，正高无法精确求得。三、近似正高三、近似正高1、正高不可能得到的原因是从大地水准面沿正高不可能得到的原因是从大地水准面沿重力方向到地面点的各占点重力无法测得。重力方向到地面点的各占点重力无法测得。2、正高改正：用正常重力值代替实际重力、正高改正：用正常重力值代替实际重力 得到的正高称为近似正高。其改正数为得到的正高称为近

17、似正高。其改正数为 1100 OBBBmBmBmBOdhrrrdhrrr 算。算。是正常重力，可直接计是正常重力，可直接计r 当两水准面无限接近时，其位能差可以写为当两水准面无限接近时，其位能差可以写为OABBmOABBCBBdhggdhggdHH1正dhggdHdHgdhgBB特点：不因水准路线而异，是惟一的；特点：不因水准路线而异，是惟一的； 不能精确测定，正高无法精确求得。不能精确测定，正高无法精确求得。 *如果把沿如果把沿BC的平均重力用正常重力代替，得到的的平均重力用正常重力代替，得到的高程是什么高呢？高程是什么高呢？ 正高沿正高沿OAB获取的表达公式：获取的表达公式： 3.3 3.

18、3 高程系统高程系统三、正常高系统三、正常高系统 推导正常高高差计算公式：推导正常高高差计算公式： OABBmdhgH1B常BmBmgg23086. 00BBBmHh3086. 00)2(3086. 0)()()3086. 0()23086. 0(0000hHgHHgBBBmBBBm重力异常：由于地球表面起伏及其内部质量密度分布不均匀重力异常：由于地球表面起伏及其内部质量密度分布不均匀，因此正常重力值，因此正常重力值 实测重力值实测重力值g并不相同，它们的并不相同，它们的 差数差数 ，称为重力异常。，称为重力异常。 正常高高差正常高高差dhgdhdhdhgHOABBmOABBBmOABOABBBmBmB)(1)(1)()(10000常)(1)(10000OBOAAAmBBmABABdhdhdhHH常常)(1)(1OBOAAmBmdhgdhg正常位水准面不平正常位水准面不平行改正数行改正数重力异常改正数重力异常改正数g其中：为正常位水准面不平行引起的高差改正其中：为正常位水准面不平行引起的高差改正 为重力异常引起的高差改正为重力异常引起的高差改正 ：A、B两点的高差两点的高差说明：似大地水准面：由地面点向下量取正常高所得的点形说明：似大地水准面：由地面点向下量取正常高所得的点形 成的连续曲面；成的连续曲面； 正高：大地水准面正高：大地水准面 正常高：似大地水准面正常高：似大地水