第1章场量复习

1、电 磁 场场场 论论 复复 习习 1.1 标量场和矢量场 场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中任一个点都有一个确定的标量值或矢量. .例如,在直角坐标下, 标量场)()( ),(222z2y1x45zyx 如温度场,电位场,高度场等;矢量场zy2x2xyzzxxy2)z,y,x(eeeA如流速场,电场,涡流场等.形象描绘场分布的工具-场线矢量场-矢量线标量场-等值线(面). .constzyxh),( 其方程为0d lA其方程为dzAdyAdxAzyx三维场在直角坐标下:二维场dyAdxAyx图0.1.2 矢量线图0.1.1 等值线1.2 标量场的梯度一. 梯度)cos,cos,(cos)

2、z,y,x(l),z,y,x(g)cos,cos,(cosle设当 ,即 与 方向一致时, 为最大.0),(leglegl 设一个标量函数(x,y,z),若函数 在点P可微,则 在点P沿任意方向 的方方向导数向导数为: lgradzyxzyxeeeg梯度(gradient)哈密顿算子)z,y,x(式中),cos(|lleggegl则有: 式中 ， ， ，分别是与x,y,z轴的夹角 证明说明例1 三维高度场的梯度例2 电位场的梯度高度场的梯度 与过该点的等高面垂直； 数值等于该点位移的最大变化率； 指向地势升高的方向。电位场的梯度 与过该点的等位面垂直； 指向电位增加的方向。 数值等于该点的最大

3、方向导数；二. 梯度的物理意义 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数; 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值面相垂直的方向，它指向函数的增加方向. 梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最大方向导数;图0.2.2 电位场的梯度图0.2.1 三维高度场的梯度1.3 矢量场的通量与散度一、通量 矢量 E E 沿有向曲面S S 的面积分SE dS 0 (有正源) 0 (有负源) = 0 (无源)图0.3.1 矢量场的通量 图0.3.2 矢量场的通量 若S 为闭合曲面 ，可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质:sdsE说明dS组成的闭合曲面。是由，其中的值求：若矢量场例hzzr

4、yxSdxs, 0,1222SAeAx321321SSSSddddSSSSASASASA及侧面，则有：分别表示上下顶面、解：以3SSddSASA则：代入得：将dydxdxdzdydzdzyxeeeS32SShrxdydzdSAxyzohrS1S3S2所围封闭曲面的通量。与平面园锥面求有内向外穿过：若矢量场例Hzzyxzyx222,2zyxeeer2121SSSdddSSSrSrSr则有：、分别表示侧面与底面、解：以022SddSSrSr处处垂直，则与上其中代入得：将dydxdxdzdydzdzyxeeeS11321111SSSSSSSHHHdxdyHHdxdyzdxdyydxdzxdydzdd

5、SrSrxyzoHS2S1二、散度 如果包围点P的闭合面S S所围区域V V以任意方式缩小为点P时, 通量与体积之比的极限存在，即Sv10vdSAAlimdiv散度(divergence)计算公式zAyAxAzyxAAdiv三、散度的物理意义 散度代表矢量场的通量源的分布特性 A A= 0 (无源） A A= 0 (负源) A A= 0 (正源) 在矢量场中，若 A= 0，称之为有源场， 称为(通量)源密度；若矢量场中处处 A=0，称之为无源场。 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；说明四、高斯公式(散度定理)V1nn0VnSdVVlimdnAASA高斯公式 该公式表明了区域V 中场A与

6、边界S上的场A之间的关系。VSdVdASA 矢量函数的面积分与体积分的互换。Sv10vdSAAlimdiv图0.3.3 散度定理 由于 是通量源密度，即穿过包围单位体积的闭合面的通量，对 体积分后，为穿出闭合面S S的通量AA参考奥高公式1.4 矢量场的环量与旋度一、环量该环量表示绕线旋转趋势的大小。水流沿平行于水管轴线方向流动=0，无涡旋运动流体做涡旋运动0，有产生涡旋的源 矢量A沿空间有向闭合曲线L的线积分环量LdlA例：流速场图0.4.2 流速场图0.4.1 环量的计算的环量。沿正向求平面中的正方形为：设矢量场例lRyxzlxyAeeAyx,|0,3llxdyydxd)(lA为正向，据此

7、有：向面闭曲线总曲逆时针方解：无特殊声明，对平积分值与此相同。上的积分，其他各段的依对称性，只需计算 1 l200001)()()(RdyyRdxRxxdyydxxdyydxRRRRl4321)()()()(, 4, 3, 2, 1llllxdyydxxdyydxxdyydxxdyydxllll则：部分分别标记为将积分曲线在各象限的xyRl1l2l3l424R则：转换二、旋度1. 环量密度 过点P作一微小曲面S S,它的边界曲线记为L,面的法线方与曲线绕向成右手螺旋法则。当S S点P时,存在极限LdS1dSdPSllim环量密度取不同的路径，其环量密度不同。2. 旋度 旋度是一个矢量，模值等于

8、环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。AArot 旋度(curl)它与环量密度的关系为ndSdeA rot 在直角坐标系下zyxzyxzyxAAAeeeA说明的环量密度。）处的旋度及沿方向，求点（：已知例yxyxeeleeA001,4yxyx0,zyxAyxyAyxxA解：zeA ）处，所以：在（001)(21zx0eel方向的单位矢量为：lzzyxyxyxAAAzyxeeeeAzyx2)(21(0lA)量密度为：因而：沿其方向的环流三、旋度的物理意义 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。 在矢量场中，若A=J0,称之为旋度场(或涡旋场)，J

9、 称为旋度源(或涡旋源)； 点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。四、斯托克斯(Stockes)定理 A 是环量密度，即围绕单位面积环路上的环量。因此，其面积分后，环量为iiiddilSAAl)(SAlAd)(dSlStockes定理在电磁场理论中，Gauss公式和 Stockes公式是两个非常重要的公式。 矢量函数的线积分与面积分的互换。 该公式表明了区域S中场A与边界L上的场A之间的关系 若矢量场处处A=0，称之为无旋场。图 0.4.3 斯托克斯定理。例：利用斯托克斯定理解例352422) 11 ()00()00(RdSdSSSSldSedSeeedSA)lAzzyx为正向，据此有：向

10、面闭曲线总选逆时针方解：无特殊声明，对平题目1.5 亥姆霍茨定理亥姆霍茨定理： 在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定。已知矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度场域边界条件在电磁场中电荷密度电流密度J场域边界条件（矢量A唯一地确定）例：判断矢量场的性质?FF?FF?FF=0=0=000=01.6 三种特殊形式的场 1.平行平面场：如果在经过某一轴线(设为 Z 轴)的一族平行平面上，场 F 的分布都相同，即 F=f(x,y)，则称这个场为平行平面场。 2.轴对称场：如果在经过某一轴线(设为 Z 轴)的一族子午面上，场 F 的分布都相同，即 F=f(r,)，则称这个场为轴对称场。

11、 3,球面对称场：如果在一族同心球面上(设球心在原点)，场 F 的分布都相同，即 F=f(r)，则称这个场为球面对称场。 作业.0013,ArrrrrrzzyyxxzyxzyxAAA)z , y, x(zyxzyxeeeAeeereeer2.3.式中：试证明下列各题1.M0Mlxyz方向导数：研究标量场，还需对对它的局部状态进行深入分析，即要考察标量在场中各点的邻域内沿某一方向的变化情况。为此引入方向导数的概念。返回设M0是标量场= (x)中的一个已知点，从 出发沿某一方向引一条射线l，在l上 的临近取一点M， 若当M趋近于 时。 的极限存在，则称此极限为函数(x)在 处沿l方向的方向导数，记

12、作：MM00M0MM 0lim00MMlMMM0M0M0M证明返回)cos,cos,(cos),(zyxl证明：证：M点坐标为 , 由于在 可微，故： ),(000zzyyxxM0MzzyyxxMM0 为比 高阶的无穷小。 两边同除以 zzyyxxcoscoscoszyx当 趋于0时对上式取极限，可得： coscoscoszyxl图！哈密顿算子！哈密顿算子 哈密顿算子是一个运算符，可将一个标量场转换成哈密顿算子是一个运算符，可将一个标量场转换成一个矢量场；而对于矢量来说，它又可以看作一个矢量，一个矢量场；而对于矢量来说，它又可以看作一个矢量，参与矢量的点积和叉积运算。参与矢量的点积和叉积运算。

13、返回dSdS为曲面的面元（矢量），其方向取面元的法线方向，其大小为ds,即： dS=nds n为法线方向的单位矢量 在直角坐标系中：n的方向由两种情况：1、对开曲面的面元，设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的，则选定l方向后，沿l绕行方向按右手螺旋的拇指方向就是n的方向；2、对封闭曲面上的面元，n取封闭曲面的外法向方向。则：dSdnS返回dxdydxdzdydzdzyxeeeS返回zzyyxxAAAeeeA设：证明散度计算式高阶的无穷小。为比内的某一点是包围体积，是其中：有积分中值定理）由奥高公式）上的通量为：点的小封闭面则在一个包含VVMSVVdVdSMMzAyAxAVzAyAxASzyxzy

14、x,.(.()(0SAzAyAxAMzAyAxAMVMVzyxzyxVdivlimlim00A由此：返回VSdVdASA高斯公式VSdVzRyQxPRdxdyQdxdzPdydz)(奥高公式即：zyxRQPeeeAAAAeeeReeeSSeeelAzyxzyxzyxrotRRRsMMdSxRRRdddlSMyAxAzxAzAyzAyAxxMzAyAxxSzAyAxzyxyAxAxAzAzAyASyAxAxAzAzAyAlxyzxyzyzyzxyzxyzxyzxyz所以：、，同理：则：有积分中值定理有：的相应投影点为方向的投影在的旋度，居上式可知：为设密度最大。方向相同时，环流与当且仅当由斯托克斯定理）上的环流量为：的边界曲线点的小封闭面则在一个包含0000| ;)()()()(.()()()(返回zzyyxxAAAeeeA设：说明旋度计算式返回SlddSAlA)(斯托克斯公式