第5章机械波湘潭大学大学物理期末复习

1、第五章第五章 机械波机械波孟利军波动：空间某处发生的振动以有限的速度向四周传播波动：空间某处发生的振动以有限的速度向四周传播.机械波机械波(mechanical wave)：机械振动在：机械振动在连续介质中的传播，如水波、声波。连续介质中的传播，如水波、声波。1 1、什么是波动、什么是波动波动有机械波，电磁波，物质波波动有机械波，电磁波，物质波波动也是一种运动形式，波动是振动的传播过程。波动也是一种运动形式，波动是振动的传播过程。2 2、波动和其他运动形式相比、波动和其他运动形式相比具时间和空间上的某种重复性具时间和空间上的某种重复性3 3、各类波在传播途中具有共性：、各类波在传播途中具有共性

2、：类似的波动方程类似的波动方程反射、折射现象：反射、折射现象：在两种介质的界面上的反射，折射在两种介质的界面上的反射，折射干涉现象：干涉现象： 同一介质中，几列波的叠加同一介质中，几列波的叠加 衍射现象：衍射现象： 在介质中绕过障碍物在介质中绕过障碍物 5-1 5-1 机械波的形成和传播机械波的形成和传播一、机械波产生的条件一、机械波产生的条件1 1、作机械振动的物体，即波源；连续介质、作机械振动的物体，即波源；连续介质2 2、弹性波：波动中使介质部分振动的回复力为弹性力，如：声波。、弹性波：波动中使介质部分振动的回复力为弹性力，如：声波。2）水面波不是弹性波，因为质元所受的力为重力和表面张）

3、水面波不是弹性波，因为质元所受的力为重力和表面张力的合力，表明张力不是弹性力。力的合力，表明张力不是弹性力。二、横波和纵波二、横波和纵波振动方向和传播方向垂直，振动方向和传播方向垂直，只能在固体中传播只能在固体中传播,如：绳的抖动；如：绳的抖动；振动方向和传播方向平行，振动方向和传播方向平行，能在所有介质中传播，能在所有介质中传播，如：伸缩的弹簧。如：伸缩的弹簧。1)1)弹性力有正弹性力（压、张弹性力）和切弹性力，液体和弹性力有正弹性力（压、张弹性力）和切弹性力，液体和气体弹性介质中只有正弹性力而没有切弹性力。气体弹性介质中只有正弹性力而没有切弹性力。注注意意横波横波（transverse w

4、ave ）纵波纵波（longitudinal wave ）1 1、沿着波的传播方、沿着波的传播方向向向前向前看去，前面各看去，前面各质点的振动位相都依质点的振动位相都依次落后于波源的振动次落后于波源的振动位相；位相；2 2、机械波向外传播、机械波向外传播的是波源的振动状态的是波源的振动状态（位相）和能量。（位相）和能量。注意：水面波是横波和注意：水面波是横波和纵波的合成，深水中，纵波的合成，深水中，质元作圆周运动，浅水质元作圆周运动，浅水中作椭圆运动。中作椭圆运动。特点：特点：三、波线和波面三、波线和波面波场：波传播到的空间。波场：波传播到的空间。波线波线（wave line） ：在波场中，代

5、表波的传播方向的射线：在波场中，代表波的传播方向的射线波面波面（wave surface） ：波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹：波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹波前波前（wave front） ：某一时刻波源最初的振动状态传播到的波面：某一时刻波源最初的振动状态传播到的波面 即最前方的波面。即最前方的波面。按波面的形状，波可分为：平面波、球面波和柱面波等。按波面的形状，波可分为：平面波、球面波和柱面波等。各向同性介质，各向同性介质，波线恒与波面垂直。波线恒与波面垂直。任意时刻只有一个波前，而波面可有任意多个。任意时刻只有一个波前，而波面可有任意多个。四、简谐波四、简谐波一般说来，波动中

6、各质点的振动是复杂的。最简单而又最基本的一般说来，波动中各质点的振动是复杂的。最简单而又最基本的波动是波动是简谐波，此时波源及介质中各质点的振动都是谐振动简谐波，此时波源及介质中各质点的振动都是谐振动。这种情况只能发生在各向同性、均匀、这种情况只能发生在各向同性、均匀、无限大、无吸收的连续弹性介质中。无限大、无吸收的连续弹性介质中。由于任何复杂的波都可以看成由若干个简谐波叠加由于任何复杂的波都可以看成由若干个简谐波叠加而成，因此，研究简谐波具有特别重要的意义。而成，因此，研究简谐波具有特别重要的意义。以下我们所提到的介质都是这种理想化的介质。以下我们所提到的介质都是这种理想化的介质。五、物体的

7、弹性形变五、物体的弹性形变1 1、长变、长变 应变：应变： 应力：应力： 弹性模量：弹性模量： 3 3、容变、容变 应变：应变： 应力：应力： 容变弹性模量：容变弹性模量： VVpVVBpllSF2 2、切变、切变 应变：应变： 应力：应力： 切变模量：切变模量： bd arctanSFGSFllESF六、描述波动的几个物理量六、描述波动的几个物理量u1 1）波速）波速：振动状态在单位时间内传播的距离（相速）振动状态在单位时间内传播的距离（相速）对于机械波，波速通常由介质的性质决定。对于机械波，波速通常由介质的性质决定。对于简谐波：对于简谐波：固体（细棒）：固体（细棒）： GuEu/通常通常

8、/EGuu弦：弦： TuT-弦中张力弦中张力 -线密度线密度 液体、气体：液体、气体： Bu/B-容变弹性模量容变弹性模量对理想气体绝热过程：对理想气体绝热过程：pVdVdpdVVpdpVCpV01molmolMRTpRTMMpVmolMRTpBu/故：故： 3 3）波长）波长：反映空间的周期性。：反映空间的周期性。 同一波线上相邻的位相差为同一波线上相邻的位相差为22的两质点之间的距离：的两质点之间的距离： uTu 注：波速决定于介质，频率决定于波源。注：波速决定于介质，频率决定于波源。2 2）周期和频率：）周期和频率：反映时间的周期性。反映时间的周期性。周期：一个完整波形通过介质中某固定点

9、所需的时间；周期：一个完整波形通过介质中某固定点所需的时间； 由于波源每完成一次全振动，就有一个完整的波形发送由于波源每完成一次全振动，就有一个完整的波形发送出去，因此当波源相对于介质静止时，周期即为波源的出去，因此当波源相对于介质静止时，周期即为波源的振动周期，波动频率即为波源的振动频率。振动周期，波动频率即为波源的振动频率。T频率：周期的倒数频率：周期的倒数，即为单位时间内通即为单位时间内通过介质中某固定点完整波的数目。过介质中某固定点完整波的数目。12T5-2 5-2 平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程平面简谐波：波阵面为平面，介质中各个质点都作简谐振动。平面简谐波：波阵面为平面，

10、介质中各个质点都作简谐振动。 一、平面简谐波的波动方程一、平面简谐波的波动方程平面简谐波在理想介质中沿平面简谐波在理想介质中沿x轴正方向轴正方向传播。取任意波线为传播。取任意波线为x轴，轴， 轴上任一轴上任一点为原点点为原点O, ,其振动方程：其振动方程： )cos(00tAyOO点的振动经点的振动经 ux的时间传到的时间传到P P, , P P点的振动为点的振动为O点在点在 uxt 振动，故振动，故P点的振动方程为：点的振动方程为： 时刻的时刻的)(cos0uxtAy介质中各个质点的位移是怎样随时间变化介质中各个质点的位移是怎样随时间变化的的任意波线上所有质点的振动情况任意波线上所有质点的振

11、动情况波动方程波动方程由于由于P P点代表波线上任意一点，故上式即为沿点代表波线上任意一点，故上式即为沿+x方向传播的平面方向传播的平面简谐波的波动方程简谐波的波动方程. . 沿沿-x方向传播的平面方向传播的平面简谐波的波动方程简谐波的波动方程: : )(cos0uxtAyT222Tu000cos2 ()2cos2cos()txyATxAtAutx令：令： 2k)(cos0 xutkAy表示表示2长度内所具有的完整波的长度内所具有的完整波的数目，称为波矢，数目，称为波矢，为矢量，其方为矢量，其方向为波的传播方向，则：向为波的传播方向，则： 二、波动方程的物理意义二、波动方程的物理意义1 1、当

12、、当x=x0, ,t变化时变化时 0000cos()2cos( )xyAtuxAty t表示表示x=x0处质点任意时刻偏离自己平衡处质点任意时刻偏离自己平衡位置的位移，即位置的位移，即x=x0处质点的振动方程。处质点的振动方程。 则同一波线上两质点的位相差为：则同一波线上两质点的位相差为： )(212xx 若若x0= ， 则则 x0处质点落后于原点的位相为处质点落后于原点的位相为2 x0 0处质点的振动初相为：处质点的振动初相为：002 x 02 x为为x0处质点落后于原点的位相处质点落后于原点的位相表示表示t=t0时刻各个质点偏离时刻各个质点偏离自己平衡位置的位移称为自己平衡位置的位移称为t

13、=t0时刻的波形方程。时刻的波形方程。)(2)(1212tttt2 2、当、当t=t0, , x变化时变化时，3 3、若、若x, t都变化都变化则同一质点在任意两个时则同一质点在任意两个时刻的位相差为：刻的位相差为： 0 )uxt (cosA)x( yt时刻的波形方程时刻的波形方程t+ t时刻的波形方程时刻的波形方程0 )uxtt (cosA)x( y00(,)cos ()cos ()( , )xu ty xu t ttAttuxAty x tu 给出了任意质点在任意时刻的位移，或者说它包括了任意时给出了任意质点在任意时刻的位移，或者说它包括了任意时刻的波形，反映了波形不断向前推进的波动传播的

14、全过程。刻的波形，反映了波形不断向前推进的波动传播的全过程。在时间在时间 t内整个波形沿波的传播方向平移了一段距离内整个波形沿波的传播方向平移了一段距离 x三、质点的振动速度和加速度三、质点的振动速度和加速度 振动速度：振动速度： )()(0 x , tvuxtsinAtyv振动加速度：振动加速度： )()(02x , tauxtcosAtva可见，各质点的振动速度也是随坐标可见，各质点的振动速度也是随坐标x和时间和时间t作简谐规律变化的，作简谐规律变化的，它与波速是两个完全不同的概念，应严格区别开来。它与波速是两个完全不同的概念，应严格区别开来。四、平面简谐行波的微分方程四、平面简谐行波的微

15、分方程将波动方程分别对将波动方程分别对x, t求二解导数得：求二解导数得：)(cos0222uxtAty)(cos02222uxtuAxy则有：则有： 0122222tyuxy平面波波动微分方程平面波波动微分方程 既适用于简谐波、非简谐波，也适用于机械波、电磁波。既适用于简谐波、非简谐波，也适用于机械波、电磁波。)(cos0uxtAy00cos02yA00sin0vA 例例1 1：一平面简谐波沿：一平面简谐波沿x x轴正向传播，其振轴正向传播，其振幅和圆频率幅和圆频率A和和，波速为，波速为u u，设，设t=0时的波时的波形曲线如图所示。形曲线如图所示。1 1）写出此波的波动方程；）写出此波的波

16、动方程；2 2）求距）求距O点分别为点分别为/8和和3/8两处质点的振两处质点的振动方程及在动方程及在t=0t=0时刻的振动速度。时刻的振动速度。（1 1）cos ()2xyAtu8x)4cos()24cos(28/2costAtAtAy83x)4cos()243cos(tAtAy2)(sinuxtAtyv8xAAv22)24sin(83xAAv22)243sin(（2 2）例例2:2:设有一平面简谐波频率为设有一平面简谐波频率为 ，振幅为，振幅为A，以波速以波速u沿沿x轴正向传轴正向传播，已知波线上距原点为播，已知波线上距原点为d的的B点的振动方程为点的振动方程为: :)2cos(tAyB试

17、写出其波动方程。试写出其波动方程。由图易知由图易知O点的振动超前于点的振动超前于B点点udt O点的振动方程为：点的振动方程为：00)(2cosudtAy而这列波沿而这列波沿x轴正向传播轴正向传播, ,故波动方程：故波动方程：0)(2cosuxudtAy若若B点在原点右边点在原点右边若若B点在原点左边点在原点左边O点的振动方程为点的振动方程为: :)(2cos0udtAy波动方程为波动方程为: :)(2cosuxudtAy-x轴轴, ,右方右方B B点点-x轴轴, ,左方左方B B点点)(2cosuxudtAy)(2cosuxudtAy5-3 5-3 波的能量波的能量 声强声强一、波的能量和能

18、量密度一、波的能量和能量密度 机械波向外传播的是波源的振动状态和能量，而载波的介质机械波向外传播的是波源的振动状态和能量，而载波的介质并不随波向前移动，波源的振动能量是通过介质的相互作用而传并不随波向前移动，波源的振动能量是通过介质的相互作用而传播出去的，播出去的，各介质质点都在各自的平衡位置附近振动，因而具有各介质质点都在各自的平衡位置附近振动，因而具有动能，同时介质因形变而具有弹性势能。动能，同时介质因形变而具有弹性势能。以一平面简谐波在密度为以一平面简谐波在密度为的弹性介质中沿的弹性介质中沿+x轴方向传播为例：轴方向传播为例： 波动方程：波动方程： )(cos0uxtAy在坐标为在坐标为

19、x处取一体积元处取一体积元dV, ,质量质量dm=dV, ,视为质视为质点。当波传播到该体积元点。当波传播到该体积元时，其振动速度：时，其振动速度：0sin()yxvAttu 弹性力：弹性力： kdydxdySEFdxdyESF2uEEu22222222220021111()()()22211sin ()sin ()22pdydEk dySEdyESdxdxdxxxu dVAtAdVtuuu总能量：总能量： 2220sin ()kpxdEdEdEAdVtu则该体积元动能：则该体积元动能： )(sin21)(2102222uxtdVAvdmdEk等效倔强系数：等效倔强系数：1kSEdx该体积元弹

20、性势能：该体积元弹性势能：（2 2）体积元的总能量）体积元的总能量不守恒，随时间做周期不守恒，随时间做周期性变化。性变化。能量增加时，从相邻质点吸收能量，能量增加时，从相邻质点吸收能量，能量减少时，向相邻质点释放能量，能量减少时，向相邻质点释放能量，这样能量不断地从介质的一部分传递这样能量不断地从介质的一部分传递到另外一部分，实现能量的传递。区到另外一部分，实现能量的传递。区别：波动能量与谐振子能量。别：波动能量与谐振子能量。讨论：讨论： （1)1)dEk=dEp表明两者作同周期、表明两者作同周期、同步变化。同步变化。同时达到最大值，同同时达到最大值，同时等于零。时等于零。22201sin (

21、)2kxdEAdVtu22201sin ()2pxdEAdVtu2220sin ()xdEAdVtuP点势能和动能极小，点势能和动能极小， Q点势能和动能极大点势能和动能极大说明该体积元与周围质点间说明该体积元与周围质点间的弹性力要做功，引起它与的弹性力要做功，引起它与周围质点间交换能量。周围质点间交换能量。)(sin210222uxtAdVdEw实际应用中，通常取一个周期内的平均值，即平均能量密度：实际应用中，通常取一个周期内的平均值，即平均能量密度：2200222021)(sin11AdtuxtATwdtTwTT为恒量，且为恒量，且 22,Aw 此关系适用于各种弹性波。此关系适用于各种弹性

22、波。 3 3）能量密度：单位体积内所具有的波的能量。）能量密度：单位体积内所具有的波的能量。随时间做周期性变化随时间做周期性变化能流密度（波强）：能流密度（波强）： uwIuwSPI各向同性介质弹性简谐波波强大小：弹性简谐波波强大小： uAI2221例：理想介质中，平面简谐波的振幅不变，球面波振幅随距波源例：理想介质中，平面简谐波的振幅不变，球面波振幅随距波源的距离增加而成反比的减小，即证：的距离增加而成反比的减小，即证： 21AA 1212ARRA 二、波的能流和能流密度二、波的能流和能流密度平均能流：单位时间内通过某一截面的能量平均能流：单位时间内通过某一截面的能量 SuwP 能量随波一起

23、传播，其传播方向就是波动的传播方向，其速度就等能量随波一起传播，其传播方向就是波动的传播方向，其速度就等于波速。为定量的描述能量的传播，引入能流和能流密度的概念。于波速。为定量的描述能量的传播，引入能流和能流密度的概念。1122I SI S三、波的吸收三、波的吸收波在实际介质中传播时，介质总要吸收波的一部分能量因而波的强度、波在实际介质中传播时，介质总要吸收波的一部分能量因而波的强度、振幅要逐渐减小，这种现象称为波的吸收。振幅要逐渐减小，这种现象称为波的吸收。实验指出：若波通过厚度为实验指出：若波通过厚度为dx的的介质后，其振幅减量介质后，其振幅减量-dA与与dx的满足关系：的满足关系： xe

24、AAAdxdA0-介质吸收系数介质吸收系数 由于波强与振幅的平方成正由于波强与振幅的平方成正比，故波强衰减规律为：比，故波强衰减规律为： xeII20机械能机械能热运动能（不可逆）；热运动能（不可逆）；非弹性碰撞使分子规则振动能非弹性碰撞使分子规则振动能分子内部分子内部无规则的转、振能（不可逆）无规则的转、振能（不可逆）内摩擦：内摩擦：热传导：热传导：分子碰撞：分子碰撞：疏部、密部有温差，发生热交换疏部、密部有温差，发生热交换, ,机械机械能能热运动能热运动能 （不可逆）；（不可逆）；造成吸收造成吸收的因素：的因素：四、声压、声强和声强级四、声压、声强和声强级声压：介质中有声波传播时的压力与无

25、声波时的声压：介质中有声波传播时的压力与无声波时的 静压力之间的压差。静压力之间的压差。对于平面简谐波，可证明声压振幅为对于平面简谐波，可证明声压振幅为: uApm 2222121 uAupIm 声强：声波的能流密度。声强：声波的能流密度。频率越高越容易获得较大的声压和声强频率越高越容易获得较大的声压和声强Hz 200002021221010 mWmW引起人听觉的声波有引起人听觉的声波有频率范围频率范围和和声强范围声强范围测测定定声声强强的的标标准准212010 mWI由于声波是疏密波，在稀疏处实际压力小于静压力，声压为负，在由于声波是疏密波，在稀疏处实际压力小于静压力，声压为负，在稠密处，实

26、际压力大于静压力，声压为正，因介质中各点振动是周稠密处，实际压力大于静压力，声压为正，因介质中各点振动是周期性变化的，所以声压也做周期性变化。期性变化的，所以声压也做周期性变化。010IIlogIL )Bel(单单位位：贝贝尔尔声强级声强级01010IIlogIL )dB(单单位位：分分贝贝人耳对响度的主观感觉由声强级和频率共同决定人耳对响度的主观感觉由声强级和频率共同决定声源声源声强声强(W(Wm m-2-2) )声强级声强级(dB)(dB)响度响度听觉阈听觉阈1010-12-120 0风吹树叶风吹树叶1010-10-102020轻轻通常谈话通常谈话1010-6-66060正常正常闹市车声闹

27、市车声1010-5-57070响响摇滚乐摇滚乐1 1120120震耳震耳喷气机起飞喷气机起飞10103 3150150地震地震( (里氏里氏7 7级，级，距震中距震中5 km)5 km)4 410104 4166166聚焦超声波聚焦超声波10109 9210210 5-4 5-4 惠更斯原理惠更斯原理 波的叠加和干涉波的叠加和干涉一、惠更斯原理一、惠更斯原理 当波在弹性介质中传播时，由于介质质点间的弹性作用，介质中任当波在弹性介质中传播时，由于介质质点间的弹性作用，介质中任何一点的振动都会引起邻近各质点的振动。因此，波动到达的任何一点何一点的振动都会引起邻近各质点的振动。因此，波动到达的任何一

28、点都可以看作新的波源，其发出的波称为都可以看作新的波源，其发出的波称为子波子波（次波）。（次波）。 16901690年，荷兰物理学家惠更斯在观察和研究了年，荷兰物理学家惠更斯在观察和研究了大量波的传播现象之后，提出了一条描述波动大量波的传播现象之后，提出了一条描述波动传播特性的重要原理，即惠更斯原理：传播特性的重要原理，即惠更斯原理： 介质中波阵面介质中波阵面( (波前波前) )上的各点，都可以上的各点，都可以看作是发射子波的波源，其后任一时刻看作是发射子波的波源，其后任一时刻这些子波的包迹就是新的波阵面。这些子波的包迹就是新的波阵面。1 1）适用性：不仅适用于机械波也适用于电磁波，不仅适用于

29、均）适用性：不仅适用于机械波也适用于电磁波，不仅适用于均匀介质也适用于非均匀介质，不仅适用于各向同性介质也适用于匀介质也适用于非均匀介质，不仅适用于各向同性介质也适用于各向异性介质。各向异性介质。2 2）根据此原理作波阵面：如各项同性介质中的平面波、球面波）根据此原理作波阵面：如各项同性介质中的平面波、球面波可见可见: :在各向同性均匀介质中，波在各向同性均匀介质中，波阵面形状、波线方向不变。而在阵面形状、波线方向不变。而在各向异性介质或不均匀介质中两各向异性介质或不均匀介质中两者都会改变。者都会改变。3 3）应用此原理可说明波的衍射、散射、反射和折射等现象。）应用此原理可说明波的衍射、散射、

30、反射和折射等现象。以衍射为例：以衍射为例： 越小，衍射现象越显著；越小，衍射现象越显著； 越大，衍射现象越不明显。越大，衍射现象越不明显。 a声波波长声波波长0.10.110m10m，大于可见光波长，故声波衍射现象明显。，大于可见光波长，故声波衍射现象明显。 如如: :隔墙有耳隔墙有耳tu两波阵面相距：两波阵面相距：t时刻：时刻：S1T+t 时刻时刻: : S2a二、波的叠加原理二、波的叠加原理1 1）波的叠加原理（独立性原理）：）波的叠加原理（独立性原理）：各列波在相遇前和相遇后都保持原各列波在相遇前和相遇后都保持原来特性（频率、波长、振动方向、传播方向）不变，与各波单独传播时来特性（频率、

31、波长、振动方向、传播方向）不变，与各波单独传播时一样，而相遇处各质点的振动则为各列波在该处激起的振动的合成。一样，而相遇处各质点的振动则为各列波在该处激起的振动的合成。如：两列水波相遇互不干扰、多种声音混如：两列水波相遇互不干扰、多种声音混杂仍能辨其音、无线电波彼此不干扰等。杂仍能辨其音、无线电波彼此不干扰等。（1 1）波的叠加与振动合成：波的叠加是振动）波的叠加与振动合成：波的叠加是振动合成的直接结果，但合成仅发生在单一质点合成的直接结果，但合成仅发生在单一质点上，而叠加发生在相遇区域所有质点上。上，而叠加发生在相遇区域所有质点上。（2 2）任何复杂的波都可以分解为频率或波长不同的许多平面简

32、谐波的）任何复杂的波都可以分解为频率或波长不同的许多平面简谐波的叠加，多个平面间歇波在重叠区域构成合成波。叠加，多个平面间歇波在重叠区域构成合成波。说明：说明：2 2）一般说来，振动方向、频率、位相等都不相同的几列波在介质中相）一般说来，振动方向、频率、位相等都不相同的几列波在介质中相遇时，相遇处质点的合振动很复杂，所形成的合成波不稳定也没有实遇时，相遇处质点的合振动很复杂，所形成的合成波不稳定也没有实际意义。所以只讨论一种最简单而又最重要的情形。际意义。所以只讨论一种最简单而又最重要的情形。相干条件：频率相同、振动方向相同、位相差恒定。相干条件：频率相同、振动方向相同、位相差恒定。 满足相干

33、条件的波源称为相干波源，所发出的波称为相干波。满足相干条件的波源称为相干波源，所发出的波称为相干波。在同一介质中传播的两相干波：在同一介质中传播的两相干波： )cos(101010tAy)cos(202020tAy到达到达P P点点)2cos(10111rtAy)2cos(20222rtAy3 3）适用于波的强度（或振幅）较小的情况，否则介质表现出非线性特）适用于波的强度（或振幅）较小的情况，否则介质表现出非线性特征，线性方程不再正确，叠加原理不再满足。征，线性方程不再正确，叠加原理不再满足。本节只讨论叠加原理适用的线性波。本节只讨论叠加原理适用的线性波。cos2cos221212122212

34、IIIIIAAAAA位相差对任意一点恒定，故任一点振幅恒定，即合成振幅随各点位相差对任意一点恒定，故任一点振幅恒定，即合成振幅随各点空间位置而改变空间位置而改变: : )(2121020rr 合成振幅随各点到波源的距离差不同而不同，距离差：合成振幅随各点到波源的距离差不同而不同，距离差：12rr 称为称为波程差波程差( (几何路程之差几何路程之差) ) 相遇合成后：相遇合成后： )cos(021tAyyy)2cos()2cos()2sin()2sin(tan22021101220211010rArArArA1 1）波强重新分布了，有些地方加强）波强重新分布了，有些地方加强II1+I2 ，有些地

35、方减弱，有些地方减弱I0）？）？2222242 ( )22xhkhxkxk201,2,3hxk到达到达P点时两列波点时两列波的位相分别为：的位相分别为：位相之差：位相之差：则振幅为：则振幅为：例例2 2：如图所示，两列平面简谐波，在两种不：如图所示，两列平面简谐波，在两种不同的媒质中传播，在分界面上的同的媒质中传播，在分界面上的P点相遇。频点相遇。频率率=100Hz，振幅，振幅AA=AB=1.010-2m，SA的位的位相比相比SB的位相超前的位相超前/2，在媒质，在媒质1 1中波速中波速uA=400m/s，在媒质，在媒质2 2中的速度中的速度uB=500m/s，SAP=rA=4.00m，SBP

36、=rB=3.75m，求，求P点的合振点的合振幅。幅。2222cos2 10ABABABAAAA AAAm00(2)(2)4.03.752100()02400500BABABABArruu 02BBBBru02AAAAru例例4 4：s1 、s2是两相干波源，相距为是两相干波源，相距为，s比比s2的周相超前的周相超前，设，设两波源两波源s、s2在它们在它们连线上的强度都为连线上的强度都为I0且不随距离而变化，问且不随距离而变化，问s1 s2的连线上，的连线上，s1外侧各点处的合成强度如何？外侧各点处的合成强度如何？s2外侧各点的强度又外侧各点的强度又如何？如何？4x1s2sP1r2r解：解：1

37、1、设设P P为为s s1 1外侧的一点，且有外侧的一点，且有：221421 rr12122224rr 则：则：干涉相消，干涉相消，所以所以P点的合点的合振幅为零，振幅为零，0PI4x1s2sQr2 21r2 2、设、设Q为为S2外侧的一点，外侧的一点，则：则：124rr121222024rr 04QII干涉相长，则：干涉相长，则：5-5 5-5 驻波（驻波（Standing wave）两列振幅相同，相向传播的相干波的叠加称为两列振幅相同，相向传播的相干波的叠加称为驻波驻波。驻波实际上是一种特殊的干涉现象。驻波实际上是一种特殊的干涉现象。如：一列平面简谐波入射到两种介质的界面如：一列平面简谐波

38、入射到两种介质的界面上，入射波和反射波进行叠加即可形成驻波。上，入射波和反射波进行叠加即可形成驻波。 一、驻波方程一、驻波方程两相干波：两相干波： )2cos(1xtAy)2cos(2xtAy合成后：合成后： txAxtAxtAyyycos2cos2)2cos()2cos(21此即此即驻波方程驻波方程，为两个因子，为两个因子 xA2cos2tcos的乘积的乘积00设设 x=0, t=0 时，时，yA合合 2x 2 x AA二、驻波的特点二、驻波的特点1 1）当）当x 给定，则驻波方程变成坐标给定，则驻波方程变成坐标x处质点的振动方程处质点的振动方程xA2cos2不同点振幅不同不同点振幅不同 振

39、幅振幅: :2 2）波节和波幅）波节和波幅-振幅分布特点振幅分布特点02cos2xA即即x 处质点振幅为零，始终不动处质点振幅为零，始终不动波节波节 若若 4) 12(2) 12(202coskxkxxk , 2, 1, 0k相邻波节距离：相邻波节距离： 21kkxx等于半个波长。等于半个波长。 22coscosyAxt若若 12cos2xA即即x 处质点振幅最大，振动最强处质点振幅最大，振动最强波腹波腹 此时：此时： 22cos02kxxkxk , 2, 1, 0k相邻波腹距离：相邻波腹距离： 21kkxx 等于半个波长等于半个波长故只需测定两相邻波节和波腹之间的距离即可确定原波长。故只需测

40、定两相邻波节和波腹之间的距离即可确定原波长。2At = 0y0 x0t = T/ 8xx0t = T/20 xt = T/4波节波节波腹波腹 /4- /4x02A-2A振动范围振动范围 /2xt = 3T/803 3）相位分布特点）相位分布特点-驻波实际上是一种分段振动现象驻波实际上是一种分段振动现象t t 时刻，设时刻，设 cos0t344x2cos0 x22 coscos0 xyAt44x2cos0 x22coscos0 xyAt位相位相 平衡位置上方；平衡位置上方； t若若则：则：若若则：则：位相位相 平衡位置下方；平衡位置下方； t相邻波节间质点，位移同号、位相相同、同步一齐相邻波节间

41、质点，位移同号、位相相同、同步一齐振动；一波节两边质点，位移异号、位相相反、反振动；一波节两边质点，位移异号、位相相反、反方向振动。故驻波振动是一种分段振动现象。方向振动。故驻波振动是一种分段振动现象。0y 0y 由驻波位相分布特点知，同一波节两侧各点的位相相反。由驻波位相分布特点知，同一波节两侧各点的位相相反。 所以选（）所以选（）例例1 1： 某时刻驻波波形曲线如图所示，则某时刻驻波波形曲线如图所示，则a, b两点位相差是：两点位相差是：AAab289o()0D5( )4C( )2B( )A4 4）能量特点）能量特点-波腹动能和波节势能的不断转换波腹动能和波节势能的不断转换),(),(tt

42、tuxytxy由：由：则波形不向前传播故称为则波形不向前传播故称为驻波（驻波（Standing wave），），动能（波腹）动能（波腹） 势能（波节）势能（波节）合能流密度为合能流密度为:()0w uwu 平均说来没有能量的定向传播，平均说来没有能量的定向传播，而是动能和势能的不断转换，即：而是动能和势能的不断转换，即：瞬时位移为瞬时位移为0 0，势能为，势能为0 0，动能最大，动能最大主要为势能，主要为势能，波节势能波节势能波腹动能波腹动能主要为势能，波腹动能主要为势能，波腹动能波节势能波节势能半波损失出现与否取决于半波损失出现与否取决于波的种类、界面两边介质的相对波阻及入射角波的种类、界面

43、两边介质的相对波阻及入射角。三、驻波演示及半波损失三、驻波演示及半波损失1 1、驻波：入射波和反射波满足驻波形成条件在弦线上形成驻波。、驻波：入射波和反射波满足驻波形成条件在弦线上形成驻波。2 2、半波损失：、半波损失： B点固定，形成波节，反射波与入射波在点固定，形成波节，反射波与入射波在B B点反相位，说明反射波和入射点反相位，说明反射波和入射波有位相突变，因距离半波长的两点位相差为波有位相突变，因距离半波长的两点位相差为，故称为半波损失。，故称为半波损失。如果反射点是自由的，则形成波腹，无半波损失。如果反射点是自由的，则形成波腹，无半波损失。 zu波阻：介质密度与波速乘积波阻：介质密度与

44、波速乘积u较大较大-波密介质，波密介质， u较小较小-波疏介质。波疏介质。 弹性波正入射：弹性波正入射：波密介质波密介质 无有波疏介质波疏介质 光波正入射或掠射：光波正入射或掠射： n较大较大-光密介质，光密介质， n较小较小-光疏介质光疏介质 无有波密介质波密介质波疏介质波疏介质 波节波节驻波驻波相位突变相位突变波疏媒质波疏媒质波密媒质波密媒质x2 波腹波腹相位不变相位不变波疏媒质波疏媒质波密媒质波密媒质x x驻波驻波反射波的传播方向与入射波方向相反，反射点为波节，说明有反射波的传播方向与入射波方向相反，反射点为波节，说明有半波损失。半波损失。例例2 2：设入射波的波动方程为：设入射波的波动

45、方程为：xTtAy2cos1 02cos2xTtAyA xTtAyB2cos2 02cos2xTtAyC xTtAyD2cos2故应选故应选 (D)(D)在在x0处发生反射，反射点为一节点，则反射波的波动方程为：处发生反射，反射点为一节点，则反射波的波动方程为：四、简正模式（或称本征振动）四、简正模式（或称本征振动）一根两端固定的张紧的弦一根两端固定的张紧的弦( (弦的长度为弦的长度为l，质量为质量为m, ,张力为张力为T) ) 产生驻波振动，由产生驻波振动，由于弦的两端固定于弦的两端固定, ,可知弦两端均为波节可知弦两端均为波节, ,因而在弦上形成的驻波波长与弦长之间因而在弦上形成的驻波波长

46、与弦长之间必然满足：必然满足：22nnllnnmTlTu又弦中传播速度为又弦中传播速度为则所有可能的频率为则所有可能的频率为12nlununn1nn基频基频1122uTlml谐频谐频在物理学中，我们将各种允许频率对应的驻在物理学中，我们将各种允许频率对应的驻波振动称为简正模式，或直接简称为波振动称为简正模式，或直接简称为“模模”。对两端固定的弦这一驻波振动系统，对两端固定的弦这一驻波振动系统，有许多个有许多个“模模”式，即有许多个振式，即有许多个振动自由度。动自由度。上述讨论方法，也适用于两端开放，或一端固定、一端上述讨论方法，也适用于两端开放，或一端固定、一端开放的管或弦驻，乃至于膜（即二维

47、驻波振动）。开放的管或弦驻，乃至于膜（即二维驻波振动）。L二次二次谐频谐频n =222 三次三次谐频谐频n =323 基频基频n =121 112uul2222uul3332uul波在波在x0处反射处反射, ,反射点为一固定端，则反射波的表达式为反射点为一固定端，则反射波的表达式为，驻波的表达式为驻波的表达式为，入射波和反射波合成的驻波的波腹所，入射波和反射波合成的驻波的波腹所在处的坐标为在处的坐标为。( (考虑半波损失）考虑半波损失）xtAy2cos1驻波的表达式为：驻波的表达式为：22cos22cos2txAy波腹所在处的坐标为波腹所在处的坐标为221412kk或在波腹处应有：在波腹处应有

48、：kx22成立成立反射波的表达式为：反射波的表达式为：xtAy2cos2例例3 3： 设入射波的表达式为：设入射波的表达式为：解：（）与标准波动方程比较解：（）与标准波动方程比较: :21224.00 10cos424344.00 10cos(8)34.00 10cos2 (4)3 2yxtxtxt例例5 5：两波在一很长的弦线上传播，其波动方程式分别为：两波在一很长的弦线上传播，其波动方程式分别为: : 14.0010-2cos()（ 4 24） （）（） 24.0010-2cos()（ 4 24） （）（） 求：（）两波的频率、波长、波速；（）两波叠加后的节求：（）两波的频率、波长、波速；

49、（）两波叠加后的节点位置；（）叠加后振幅最大的那些点的位置点位置；（）叠加后振幅最大的那些点的位置cos2 ()xyAt 4Hz1.5m6.0um s（）波腹位置（）波腹位置 （）节点位置（）节点位置 驻波方程为：驻波方程为：348cos1000. 421xty348cos1000. 422xty根据根据txy8cos34cos1000. 422节点位置满足：节点位置满足：431()()()0,1, 23242xnxnmn 43( )0,1,234xnnxmn 6-6 6-6 多普勒效应多普勒效应 冲击波冲击波一、多普勒效应（一、多普勒效应（Doppler effect）1 1、机械波的多普勒

50、效应、机械波的多普勒效应波源和观察者都相对介质静止，观察者接受频率与波源频率及介质中的波源和观察者都相对介质静止，观察者接受频率与波源频率及介质中的波动频率都相等。波动频率都相等。若波源或观察者，或两者相对介质运动时，接受频率若波源或观察者，或两者相对介质运动时，接受频率与波源频率是否仍然相等呢？回答是否定的。与波源频率是否仍然相等呢？回答是否定的。如：火车进站和出站时音调的高昂和低沉。如：火车进站和出站时音调的高昂和低沉。18421842年，奥地利物理学家及数学家多年，奥地利物理学家及数学家多普勒（普勒（J.C.Doppler，18031853年）首年）首先发现这一现象，故称为多普勒效应。先

51、发现这一现象，故称为多普勒效应。多普勒效应：多普勒效应：当波源或观察者，或两者同时当波源或观察者，或两者同时相对于介质有相对运动时，观察者接收到的相对于介质有相对运动时，观察者接收到的波的频率与波源的振动频率不同的现象波的频率与波源的振动频率不同的现象。Doppler分析：选介质作参考系，运动发生在两者连线上分析：选介质作参考系，运动发生在两者连线上 u-波速波速 vs-波源速度波源速度 vB-观察者速度观察者速度 s-波源频率波源频率 -介质波动频率介质波动频率 -观察者接收频率观察者接收频率, ,即单位时间接收的完整波的个数即单位时间接收的完整波的个数 分三种情况讨论：分三种情况讨论：1

52、1、 0, 0BSvv观察者靠近波源，此时波相对于观察者的速度观察者靠近波源，此时波相对于观察者的速度: : Bvuu忽略相对论效应忽略相对论效应 则：则： )1 (uvuTvuvuuBBB波源不动，观察者靠近波源，接受频率大于波动频率波源不动，观察者靠近波源，接受频率大于波动频率 同样，观察着远离波源：同样，观察着远离波源： )1 (uvB波源不动，观察者远离波源，接受频率小于波动频率波源不动，观察者远离波源，接受频率小于波动频率 特殊情况：特殊情况： uvB0观察者接收不到波观察者接收不到波2 2、 0, 0BSvv波源靠近观察着：波源靠近观察着： SSvuuTvuTuu远离观察者：远离观

53、察者： Svuu特殊情况：如：特殊情况：如： uvS则：则： 0如果波长小于介质分子间距，介质如果波长小于介质分子间距，介质对波不再连续，此波不能传播。对波不再连续，此波不能传播。观察者不动，波源靠近观察者，接受频率大于波动频率观察者不动，波源靠近观察者，接受频率大于波动频率 观察者不动，波源远离观察者，接受频率小于波动频率观察者不动，波源远离观察者，接受频率小于波动频率 例例1 1：汽车驶过车站前后，车站上的观察者测得声音频率由：汽车驶过车站前后，车站上的观察者测得声音频率由12001200Hz变到变到10001000Hz。已知空气中声速已知空气中声速330330m/s, ,则汽车速度：则汽

54、车速度： 选选 A)A)3 3、 0, 0BSvv综合以上两种情况有：综合以上两种情况有： SBSBvuvuTvuTvuu相互接近时，相互接近时， BSvv ,取正，相互远离时，取正，相互远离时， BSvv ,取负。取负。 结论：多普勒效应中，不论波源还是观察者运动，或者两者都运动，结论：多普勒效应中，不论波源还是观察者运动，或者两者都运动，总有总有 两者远离时两者远离时 A) 30m/s; B)55m/s; C)66m/s; D)90m/s两者接近时两者接近时例例2 2：设声波在媒质中的传播速度为：设声波在媒质中的传播速度为u，声源的频率为，声源的频率为vs若声源若声源S S不动，而接收器不

55、动，而接收器R相对于媒质以速度相对于媒质以速度vB 沿着沿着S S、R R连线向着声源连线向着声源S运运动，则位于动，则位于S、R连线中点的质点连线中点的质点P的振动频率为：的振动频率为：( )BsuvBvu( )sBuCvuv()sBuDvuv( )sAv 选选 A)A)例例1: 1: 设机车以设机车以3030m/s的速度行驶，其汽笛声的频率为的速度行驶，其汽笛声的频率为500500Hz，计，计算下列情况算下列情况, ,观察者听到的声音的频率。观察者听到的声音的频率。（1 1）机车向观察者靠近；（）机车向观察者靠近；（2 2）机车离开观察者；（）机车离开观察者；（3 3）机车行）机车行驶方向

56、与机车和观察者的连线垂直（已知空气的声速驶方向与机车和观察者的连线垂直（已知空气的声速3030m/s）。）。解：根据多普勒效应中的有关公式解：根据多普勒效应中的有关公式10330(1)50055033030suHzuV2330(2)50045833030Hz（3 3）机械波无纵向多普勒效应，故）机械波无纵向多普勒效应，故: : 3500Hz2 2、电磁波的多普勒效应、电磁波的多普勒效应多普勒效应是一切波动的共同特征，不仅机械波有多普勒效应，电磁多普勒效应是一切波动的共同特征，不仅机械波有多普勒效应，电磁波也有多普勒效应。波也有多普勒效应。在电磁波多普勒效应中，因为电磁波传播不需要在电磁波多普勒

57、效应中，因为电磁波传播不需要介质，因此接收频率由光源与观察者相对运动速度介质，因此接收频率由光源与观察者相对运动速度v决定。决定。 当光源与观察者在同一直线上运动时，可以证明：当光源与观察者在同一直线上运动时，可以证明： 接近时：接近时： /1/1/11=v cv c近/ 近紫移紫移远离时：远离时： /1/1/11=v cv c 离/离红移红移 此外电磁波还有横向多普勒效应：此外电磁波还有横向多普勒效应： 22211vc 一般情况下：一般情况下：21cos1 为接收器与波源的连为接收器与波源的连线到速度方向的夹角。线到速度方向的夹角。 红移是大爆炸红移是大爆炸( (Big Bang theor

58、y) )宇宙学理论的宇宙学理论的重要证据：星球光谱与地球上相同元素光谱比重要证据：星球光谱与地球上相同元素光谱比较，发现星球光谱红移，说明星球远离地球。较，发现星球光谱红移，说明星球远离地球。 二、冲击波二、冲击波( (Shockwave，艏波），艏波） 马赫锥马赫锥 当波源在介质中的运动速度大于波在介质中的传播速度时，这时波源当波源在介质中的运动速度大于波在介质中的传播速度时，这时波源本身的运动会引起起介质的扰动，激起另一种波，此时运动物体充当了本身的运动会引起起介质的扰动，激起另一种波，此时运动物体充当了另一种波的波源，这种波是一种以运动物体的运动轨迹为中心的一系列另一种波的波源，这种波是

59、一种以运动物体的运动轨迹为中心的一系列球面波。球面波。由于球面波的波速由于球面波的波速u比物体的运动速度比物体的运动速度vs小，所以会形成如下小，所以会形成如下图的图的V V形锥面波，这种波就叫做击波。形锥面波，这种波就叫做击波。a.a.波源静止波源静止, ,波波面是同心面是同心的的b.b.波源速度小波源速度小于波速于波速, ,波面错波面错开开, ,产生多普勒产生多普勒效应效应. .C.C.波源速度趋于波波源速度趋于波速速, ,所有波面在一点所有波面在一点相切相切, ,接收频率趋于接收频率趋于无穷大无穷大. .d.d.波源速度大于波速波源速度大于波速, ,波面的包络面呈圆锥状波面的包络面呈圆锥

60、状, ,即为马赫锥即为马赫锥. .（2 2）由于波的传播速度不会超过运动物体本身，故马赫锥面就是波前，）由于波的传播速度不会超过运动物体本身，故马赫锥面就是波前，其外是没有扰动波及的。其外是没有扰动波及的。sinSuv SuMv 马赫角马赫角马赫数马赫数（1 1）在在u一定时，随着一定时，随着vS的增大，的增大，V形波愈加变得尖锐如果这个冲形波愈加变得尖锐如果这个冲击波是声波，那么必然是在运动物体通过之后我们才能听到声音击波是声波，那么必然是在运动物体通过之后我们才能听到声音由此可见由此可见如超音速飞机飞过我们头顶之后才听到强烈的响声。如超音速飞机飞过我们头顶之后才听到强烈的响声。Shockw