4年级-4-还原问题-难版

1、知识梳理12还原问题是逆解应用题，还原问题先提出一个未知量，经过一系列的运算，最后给出另一个已知量，要求求出原来的未知数量。解题时，从最后一个已知量出发，逐步进行逆推性运算，即原来是加的，运算时就减；原来是减的，运算时就加；原来是乘的，运算时就除；原来是除的，运算时就乘。列综合算式时，要特别注意运算顺序，为此要正确使用括号。如小莉要把一个包装精美的盒子打开。她先拆开最外层的彩纸； 接着打开纸盒，纸盒里有一个绒布盒；再打开绒布盒一看， 里面是两支“派克”金笔。妈妈说，这礼物是送给大学老师的，要小莉把它重新包装起来。小莉是按这样的顺序做的：先把两支笔放入绒布盒一盖上绒布盒，并把它放进纸盒一盖上纸盒

2、，并用彩纸封好。小莉重新包装的步骤（顺序）恰好与她打开这盒礼物的顺序相反。这是生活中常会遇到的“还原问题”。在数学中，还原问题也很多。> 典型例题【例1】小刚的奶奶今年年龄减去 7后，缩小9倍，再加上2之后，扩大10倍，恰好是 100岁。小刚的奶奶今年多少岁？【解析】从最后一个条件恰好是 100岁向前推算，扩大10倍后是100岁，没有扩大10倍之 前应是100+10=10岁；加上2之后是10岁，没有加2之前应是102=8岁；没有缩小9 倍之前应是8X9=72岁；减去7之后是72岁，没有减去7前应是72+7=79岁。所以，小刚 的奶奶今年是79岁。【小试牛刀】某商场出售洗衣机，上午售出总数

3、的一半多 10台，下午售出剩下的一半多 20 台，还剩95台。这个商场原来有洗衣机多少台？【解析】从“下午售出剩下的一半还多 20台”和“还剩95台”向前倒推，从图中可以看出， 剩下的95台和下午多卖的 20台合起来，即95 + 20=115台正好是上午售后剩下的一半，那 么115X 2=230台就是上午售出后剩下的台数。而230台和10台合起来，即230+ 10=240台又正好是总数的一半。那么，240X2=480台就是原有洗衣机的台数。【例2】小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。如果小强向小明借 3本后，又借给小勇5本，结果三个人有的故事书的本数正好相等。这三个人原来各有故事书多少本？

4、【解析】不管这三个人如何借来借去，故事书的总本数是60本，根据结果三个人故事书本数相同，可以求最后三个人每人都有故事书60+ 3=20本。如果小强不借给小勇5本，那么小强有20+5=25本，小勇有20 5=15本；如果小强不向小明借 3本，那么小强有253=22 本，小明有20+ 3=23本。【小试牛刀】甲乙两桶油各有若干千克，如果要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶，再从乙桶倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，这时两桶油恰好都是36千克。问两桶油原来各有多少千克？【解析】如果后来乙桶不倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，甲桶内应有油36+2=18千克，乙桶应有油36+ 18=54千克；如果开始不从甲桶

5、倒出和乙桶同样多的油倒入乙桶，乙桶原有油应为54+2=27千克，甲桶原有油 18+ 27=45千克。【例3】两只猴子拿26个桃，甲猴眼急手快，抢先得到，乙看甲猴拿得太多，就抢去一半；甲猴不服，又从乙猴那儿抢走一半；乙猴不服，甲猴就还给乙猴5个，这时乙猴比甲猴多5个。问甲猴最初准备拿几个？【解析】先求出两个猴现在各拿多少，根据“有 26个桃”和“这时乙猴比甲猴多 2个”，可 知乙猴现在拿（26 + 2） +2=14个，甲猴现在拿26-14=12个。甲猴从乙猴那儿抢走一半， 又还给乙猴5个后有12个，如果甲猴不还给乙猴， 那么甲猴有12 + 5=17个；如果甲猴不抢 乙猴一半，那么乙猴现在有（26

6、17） X 2=18个。乙猴看甲猴拿得太多，抢去甲猴的一半 后有18个，如果不抢，那么甲猴最初准备拿（2618） X 2=16个。【例4】小马虎在做一道加法题时，把一个加数个位上的9看作6,十位上的6看作9,结果和是174,那么正确的结果应该是多少呢？【解析】我们可以这样理解这道题的意思：一个数（正确答案），由于小马虎两次错误的计算，变成了另一个数(错误结果)，我们知道引起这种变化的原因是：把个位上的9看作6,这就相当于把正确答案减少了9 6 3把十位上的6看作9 ,这就相当于把正确答案增加了：10 (9 6) 30这样原题就变成了 “一个数减去3,再加上30,所得结果是174,求这个数. &

7、quot;我们只要把少加的加上，多加的减去，就可以求出正确的结果174 (9 6) 10 (9 6) 174 3 30 147【小试牛刀】淘气在做一道减法时，把减数个位上的9看成了 3,把十位上的4看成了 7,得到的结果是164,请你帮淘气算算正确的答案应该是多少呢？【解析】164 (73 49)188 或 164 6 30 188.【例5】学学看到太上老君正在用一根绳子拴宝葫芦，第一次用去全长的一半还多2米,第二次用去余下的一半少 10米，第三次用去15米，最后还剩9米，那么这根绳子原来有多少米呢？【解析】根据题意，画图倒推分析：用去15米还期米第三次r '卜15 9 24（米）用去

8、二，下加米_第二次 rr（24 10） 2 28（米）FT 年第一次广（28 2） 2 60 （米）所以，这根绳子全长 60米.【小试牛刀】一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米,第三次用去15米，最后还剩7米。这捆电线原来有多少米?【解析】为了帮助同学们分析数量关系，可依照题意画出右图。从线段图上可以看出：全长的一半全长？米图2（1）7 15 10 12 （米），就是第一次用去后余下的一半。（2） 12 2 24 （米），就是余下的电线长度。（3） 24 3 27 （米），就是全长的一半。（4） 27 2 54 （米），就是原来电线的长度。综合列式计算：7 15

9、10 2 3 2（12 2 3） 227 254 （米）【例6】桃园里来了第一群猴子，吃去桃子总数的一半又半个；第二群猴子又来吃掉剩下桃子的一半又半个；第三群猴子又来吃掉剩下桃子数的一半又半个.这时桃园里还只有100个桃了 .那么园中原有多少桃？【解析】第三群猴没吃，相应有桃（100 0.5） 2 201 （个）第二群猴没吃，相应有桃（201 0.5） 2 403（个）第一群猴没吃，相应有桃（即桃园中原有桃）（403 0.5） 2 807 （个）【小试牛刀】山顶上有棵桃数，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了总数的一半多2个，第二天又偷吃了剩下的一半多2个，这时还剩1个，问：树上原来有多少个桃子？【

10、解析】2 （1 2） 2 2 16（个）.【例7】袋里有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，这样共操作了 5次,袋中还有3个球。问：袋中原有多少个球？【解析】利用逆推法从第5次操作后向前逆推。第5次操作后有3个，第4次操作后有（3-1）X2=4 （个），第3次为了简洁清楚，可以列表逆推如下:建数/个初始状惠(181 3 X 2=34123第1次原作(101 ) X2= 10第£次操作(6 -L ) A2= 10航次操作第4次镰作C 3-1 ) X£= 4第5次操作3所以原来袋中有34个球。【小试牛刀】三堆苹果共 48个。先从第一堆中拿出与第二堆个数相等的苹果并入第

11、二堆;再从第二堆中拿出与第三堆个数相等的苹果并入第三堆；最后又从第三堆中拿出与这时第 一堆个数相等的苹果并入第一堆。这时，三堆苹果数恰好相等。问：三堆苹果原来各有多 少个？【解析】由题意知，最后每堆苹果都是48+3=16 （个），由此向前逆推如下表：第一埴第二堆第三埴r初始状态日/ 14=2228+2=1412第一次变化后e16* 12=232 4+2=12第二次变化后16+2=31S16+6=24第三次费化后161616原来第一、二、三堆依次有22, 14, 12个苹果。【例8 甲、乙两班各要种若干棵树，如果甲班拿出与乙班同样多的树给乙班，乙班再从现有的树中也拿出与甲班同样多的树给甲班，这时

12、两班恰好都有28棵树，问甲、乙两班原来各有树多少棵？28 2 14 （棵），乙班有乙班原有树42 2 21 （棵），【解析】如果后来乙班不给与甲班同样多的树，甲班应有树28 14 42 （棵），如果开始不从甲班拿出与乙班同样多的树,甲班原有树14 21 35 （棵）.列表倒推如下：2828【小试牛刀】一班、二班、三班各有不同数目的图书.如果一班拿出本班的一部分图书分 给二班、三班，使这两个班的图书各增加一倍；然后二班也拿出一部分图书分给一班、三 班，使这两个班的图书各增加一倍；接着三班也拿出一部分图书分给一班、二班，使这两个班的图书各增加一倍.这时，三个班的图书数目都是48本.求三个班原来各有

13、图书多少本？【解析】我们可采用倒推法，再结合列举法进行分析推理.在每一次重新变化后，三个班的图书总数目是一个不变的数，由此，可从最后三个班的图书数目都是48本出发进行倒推，求每一次重新变化以前三个班各自的图书数目，逐步倒推出原有的图书数目. 依据题意可知，一班、二班的图书数目各增加一倍才是48本，因此增加前各应有 24本，所以一班、二班的图书数目各应减半，还给三班.其余各次，以此类推，把倒推解答的过程用下表表示：一班二班三班结果484848第三次242496第二次128448%L、次784224【例9】 3个笼子里共养了 78只鹦鹉，如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼 子里，再从第2个笼子

14、里取出6只放到第3个笼子里，那么3个笼子里的鹦鹉一样多. 求3 个笼子里原来各养了多少只鹦鹉 ？【解析】3个笼子里的鹦鹉不管怎样取，78只的总数始终不变.变化后“ 3个笼子里的鹦鹉一样多”，可以求出现在每个笼里的是78 3 26 （只）.根据“从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里”，可以知道第1个笼子里原来养了 26 8 34 （只）；再根据“从第2个笼 子里取出6只放到第3个笼子里”，得出第2个笼子里有：26 6 8 24 （只），第3个笼 子里原有26 6 20 （只）.【小试牛刀】甲、乙、丙 3人共有192张邮票.从甲的邮票中取出乙那么多给乙后，再从 乙的邮票中取出丙那么多给丙，最后从

15、丙的邮票中取出甲那么多给甲，这时甲、乙、丙3人邮票数相同，甲、乙、丙原来各有多少张？【解析】甲、乙、丙原共有 192张邮票，经过三次交换后，甲乙丙三人仍有邮票192张，而且三人邮票数相同，即 3人各有邮票：192 3 64 （张）.第三次交换从丙的邮票中取出甲那么多给甲，说明这次交换前甲有邮票64 2 32 （张），丙有邮票：64 32 96 （张），依此类推，就可以推出答案了.最后相等时各有 192 3 64 （张），列表倒推如下：甲（张）乙（张）丙（张）最后646464前次326496再前次3211248原来885648【例10】一群小神仙玩扔沙袋游戏，他们分为甲、乙两个组，共有 140只

16、沙袋.如果甲组先给乙组5只，乙组又给甲组 8只，这时两组沙袋数相等.两个组原来各有沙袋多少只？【解析】甲乙两组的沙袋经历了两次交换.第二次交换后两组沙袋相等，又知沙袋总数为140只，所以这时两组各有沙袋70只.解答时可以从 70开始倒推.列表倒推如下：甲组乙组最后结果140 2 70140 2 70第二次交换前70 8 6270 8 78次交换前（原来）62 5 6778 5 73解决此类问题的关键是找到从哪里开始倒推.因为甲乙两组的沙袋经历了两次交换后数量相等，所以应从两组各有沙袋70只开始倒推.【小试牛刀】科学课上，老师说：“土星直径比地球直径的9倍多4800千米，土星直径除以24等于水星

17、直径，水星直径加上2000千米是火星直径，火星直径除以2减去500千米等于月亮的直径，月亮直径是 3000千米.”请你算一算，地球的直径是多少？【解析】先求土星直径：（3000 500） 2 2000 24 120000（千米）再求地球直径：（120000 4800） 9 12800 （千米），即：地球的直径是12800千米.【例11】有甲、乙两堆棋子，其中甲堆棋子多于乙堆.现在按如下方法移动棋子：第一次从甲堆中拿出和乙堆一样多的棋子放到乙堆；第二次从乙堆中拿出和甲堆剩下的同样多的棋子放到甲堆；第三次又从甲堆中拿出和乙堆同样多的棋子放到乙堆.照此移法，移动三次后，甲、乙两堆棋子数恰好都是32个

18、.问甲、乙两堆棋子原来各有多少个？【解析】我们从最后一步倒着分析.因为第三次是从甲堆拿出棋子放到乙堆，这样做的结果是两堆棋子都是32个，因此，在未进行第三次移动之前，乙堆只有32 2 16（个）棋子，而甲堆的棋子数是 32 16 48（个），这样再逆推下去，逆推的过程可以用下表来表示，表 中的箭头表示逆推的方向.所以，甲堆原有 44个棋子；乙堆原有 20个棋子.乙堆棋子甲堆棋子第三次移动后第二次移动后第一次移动后原有棋子3232卜16 +32-48卜40 <+16242V+2420a44采用列表法非常清楚.甲乙结果3232第三次交换前4816第二次交换前2440第一次交换前4420上课后

19、作业1 .某人去银行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二次取了余下的一半多100元。这时他的存折上还剩 1250元。他原有存款多少元？【解析】从上面那个“重新包装”的事例中，我们应受到启发：要想还原，就得反过来做（倒推）。由“第二次取余下的一半多100元”可知，“余下的一半少100元”是1250元，从而“余下的一半”是 1250+100=1350 （元）余下的钱（余下一半钱的2倍）是： 1350X 2=2700 （元）用同样道理可算出“存款的一半”和“原有存款”。综合算式是：（1250+100） X 2+50 X 2=5500 （元）2 .食堂买进一批大米，第一天吃了全部的一半少 28千克，第二天吃了余下的一半少 8千克,最后剩下122千克.这批大米共有多少千克？【解析】列式为：（122 8） 2 28 2 200 2 400（千克）2个，第二天又偷吃3 .山顶上有棵桃数，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了总数的一半多了剩下的一半多 2个，这时还剩1个，问：树上原来有多少个桃子?【解析】2 （1 2） 2 2 16（个）.4 .某水果店进一批水果，运进的是原来的水果的一半，原有的蔬菜卖出去一半以后，恰好与现在的水