2最值系列之辅助圆

1、最值系列之辅助圆最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值.在将军饮马问题中，折点 P就是那个必须存在的动点.并且它的运动轨迹是一条直线，解题策略就 是作端点关于折点所在直线的对称即可.当然，动点的运动轨迹是可以变的，比如P点轨迹也可以是一个圆，就有了第二类最值问题辅助圆.在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来， 因此,结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题.若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的问题就会变得简单了，比如：如下图， A为圆外一点，在圆上找一点 P使得PA最小.当然，也存在耿直的题目直接告诉动点

2、轨迹是个圆的，比如:【2020四川德阳】如图，已知圆 C的半径为3,圆外一定点。满足OC=5,点P为圆C上一动点，经过点 O 的直线l上有两点A、B,且OA=OB, / APB=90° , l不经过点 C,则AB的最小值为 .【分析】连接OP,根据那PB为直角三角形且O是斜边AB中点，可得 OP是AB的一半,若AB最小，则OP最小即可.连接OC,与圆C交点即为所求点 P,此时OP最小，AB也取到最小值.、从圆的定义构造圆圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合.构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧.【2014成都中考】如图，在边长为 2的菱

3、形ABCD中，/ A=60° , M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，WAAMN沿MN所在直线翻折得到 那'MN,连接A'C,则A'C长度的最小值是 D【分析】考虑 AAMN沿MN所在直线翻折得到 A'MN,可得MA' MA=1 ,所以A'轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧.C连接CM,与圆的交点即为所求的 A',此时A'C的值最小.C构造直角AMHC,勾股定理求 CM,再减去A'M即可.C【2020淮安中考】如图，在 RtAABC中，/ C=90°, AC=6, BC=8,点F在边AC上，并且

4、CF=2 ,点E为边 BC上的动点，将 ACEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值 是.【分析】考虑到将 AFCE沿EF翻折得到AFPE,可得P点轨迹是以F点为圆心，FC为半径 的圆弧.过F点作FHXAB,与圆的交点即为所求 P点，此时点P至ij AB的距离最小.由相似先求FH,再减去 FP,即可得到 PH.ACE【2020扬州中考】如图，已知等边那BC的边长为8,点P是AB边上的一个动点（与点 A、B不重合）.直线 l是经过点P的一条直线，把 那BC沿直线l折叠，点B的对应点是点 B'.当PB=6时，在 直线l变化过程中，求 AACB'面积的最大值.【

5、分析】考虑l是经过点P的直线，且 以BC沿直线l折叠，所以B'轨迹是以点P为圆心, PB为半径的圆弧.考虑评CB'面积最大，因为AC是定值，只需B'到AC距离最大即可.过P作彳PH，AC交AC于H点，与圆的交点即为所求 B'点，先求HB',再求面积.【2020相城区一模】如图，矩形ABCD中，AB=4, BC=8, P、Q分别是直线 BC、AB上的两个动点，AE=2 ,9EQ 沿EQ翻折形成AFEQ,连接PF、PD ,则PF+PD的最小值是 .【分析】F点轨迹是以E点为圆心，EA为半径的圆，作点D关于BC对称点D',连接PD',PF +

6、PD 化为 PF+PD'.连接ED',与圆的交点为所求 F点，与BC交点为所求P点，勾股定理先求 ED再减去EF 即可.DCD'二、定边对直角知识回顾：直径所对的圆周角是直角.构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.图形释义：若AB是一条定线段，且/PAPB=90°,则P点轨迹是以AB为直径的圆.【例题】已知正方形 ABCD边长为2, E、F分别是BC、CD上的动点，且满足 BE=CF,连 接AE、BF,交点为P点，则PD的最小值为.【分析】由于E、F是动点，故P点也是动点，因而存在 PD最小值这样的问题，那 P点轨 迹如

7、何确定？考虑BE=CF,易证AEXBF,即在运动过程中，/ APB=90° ,故P点轨迹是以AB为直径的 圆.连接OC,与圆的交点即为 P点，再通过勾股定理即可求出PC长度.思路概述：分析动点形成原理，通常 非直即圆”（不是直线就是圆），接下来可以寻找与动 点相关有无定直线与定角.【2013武汉中考】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足 AE=DF,连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H ,若正方形边长为 2,则线段DH长度的最小值是【分析】根据条件可知：/ DAG=Z DCG = Z ABE,易证AGXBE,即/ AHB=90°,所以H点轨迹是以AB

8、为直径的圆弧当D、H、。共线时，DH取到最小值，勾股定理可求.【2020安徽中考】 如图，RtAABC中，ABXBC, AB=6, BC=4 , P是那BC内部的一个动点, 且满足/ PAB=/PBC,则线段CP长的最小值是 .【分析】/ PBC+/PBA=90° , /PBC=/PAB, ./ PAB+Z PBA=90° , ./ APB=90° ,.P点轨迹是以AB为直径的圆弧.ABC当O、P、C共线时，CP取到最小值，勾股定理先求 OC,再减去OP即可.AB【寻找定边】如图， 的一个动点，连接 最小值为.【分析】E是动点，E点由点C向AD作垂线得来,AEC=

9、90°,且AC是一条定线段，所AB是半圆O的直径，点 C在半圆。上，AB=5, AC=4. D是弧BC上AD,过点C作CEXAD于E,连接BE.在点D移动的过程中，BE的以E点轨迹是以AC为直径的圆弧.当B、E、M共线时，BE取到最小值.连接 BC,勾股定理求 BM ,再减去EM即可.【寻找定边与直角】如图，在RtAABC中，/ ACB=90°, BC=4, AC=10,点 D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O,连接BD交圆。于点E,则AE的最小值为.AOC【分析】连接CE,由于CD为直径，故/ CED=90。，考虑到CD是动线段，故可以将此题 看成定线段CB对直角/

10、CEB.EOACD取CB中点M ,所以E点轨迹是以M为圆心、CB为直径的圆弧.OMAD连接AM,与圆弧交点即为所求 E点，此时AE值最小,AE AM EM j102 222 2&6 2 .C M ，B（2020苏州园区一模）如图，正方形 ABCD的边长为4,动点E、F分别从点A、C同时出 发，以相同的速度分别沿 AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过 点B作直线EF的垂线BG,垂足为点G,连接AG,则AG长的最小值为 .【分析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有 不确定的.重点放在AE=CF,可得EF必过正方形中心AE=CF, BGXEF,但/ BGE所对的BE边是。

11、点，连接BD,与EF交点即为。点./ BGO为直角且BO边为定直线，故 G点轨迹是以BO为直径的圆.A, DBC记BO中点为M点，当A、G、M共线时，AG取到最小值，利用 RtAAOM勾股定理先求 AM,再减去GM即可.【辅助圆+将军饮马】如图，正方形 ABCD的边长是4,点E是AD边上一动点，连接 BE, 过点A作AFLBE于点F,点P是AD边上另一动点，则 PC+PF的最小值为 .【分析】/ AFB=90°且AB是定线段，故F点轨迹是以AB中点。为圆心、AB为直径的圆.考虑PC+PF是折线段，作点 C关于AD的对称点C',化PC+PF为PC' PF,当C'

12、、P、F、 。共线时，取到最小值.【辅助圆+相切】如图，在 RtAABC中，/ ACB=90°, / B=30° , AB=4, D是BC上一动点, CEAD于E, EFAB交BC于点F,则CF的最大值是 .【分析】/ AEC=900且AC为定值，故E点轨迹是以AC为直径的圆弧.考虑EFXAB,且E点在圆上，故当 EF与圆相切的时候，CF取到最大值.连接 OF,易证OCFA OEF, / COF=30° ,故 CF 可求.ACF三、定边对定角在 定边对直角”问题中，依据 直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而 根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等

13、弧所对的圆周角都相.定边必不可少，而直角则可一般为定角.例如， AB为定值，/ P为定角，则A点轨迹是一个圆.当然，/ P度数也是特殊角，比如 30°、45°、60°、120°,下分别作对应的轨迹圆.若/ P=30° ,以AB为边，同侧构造等边三角形AOB,。即为圆心.若/ P=45° ,以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB, O即为圆心.若/ P=60° ,以AB为底，同侧构造顶角为 120°的等腰三角形 AOB,。即为圆心.AB若/P=120°,以AB为底，异侧为边构造顶角为120°的

14、等腰三角形 AOB,。即为圆心.【例题】如图，等边 那BC边长为2, E、F分别是BC、CA上两个动点，且 BE=CF,连接 AE、BF,交点为P点，则CP的最小值为 .【分析】由BE=CF可推得ABEA BCF ,所以/ APF=60°,但/ APF所对的边 AF是变化 的.所以考虑/ APB=120° ,其对边AB是定值.E所以如图所示，P点轨迹是以点 O为圆心的圆弧.（构造OA=OB且/ AOB=120°）当O、P、C共线时，可得CP的最小值，利用RtAOBC勾股定理求得 OC,再减去OP即可.【2020山东威海】如图，AABC为等边三角形，AB=2,若P为

15、AABC内一动点，且满足/PAB=/ACP,则线段PB长度的最小值为 .【分析】由/ PAB=/ACP,可得/ APC=120° ,后同上例题.B【2020南京中考】在AABC中，AB=4,/C=60° ,/A>/B,则BC的长的取值范围是 【分析】先作图，如下60AB4AB为圆心的圆弧C60120ABC的轨迹如下图C60120ABCCOOABABC的轨迹是以点条件不多，但已经很明显BC>AB=4.无最小值.C=60° ,即定边对定角BC为直径时，BC取到最大值，意/ A为AABC中最大角，故 BC为最长边AO=BO 且/ AOB=120° )CO【2020武汉中考】如图， AB是圆O的直径，M、N是弧AB （异于A、B）上两点，C是弧 MN上一动点，/ ACB的角平分线交圆 。于点D, / BAC的平分线交 CD于点E,当点C 从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是 .D【分析】分别考虑 C、E两点的轨迹，C点轨迹上是