北师大版高中数学选修（2-1）-2.4《用向量讨论垂直与平行》参考课件

1、第二章第二章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何2.4 用向量讨论垂直与平行用向量讨论垂直与平行一、复习1 1、用空间向量解决立体几何问题的、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲” （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为（化为向量问题）向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；以及它们之间距离和夹角等问题；（进

2、行向量运算）（进行向量运算）（3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意义。成相应的几何意义。（回到图形（回到图形问题）问题）2、平行与垂直关系的向量表示、平行与垂直关系的向量表示设直线设直线l，m的方向向量分别为的方向向量分别为 ， ，平面平面 ， 的法向量分别为的法向量分别为 ， abuv（1）平行关系）平行关系线线平行线线平行ml /baba /线面平行线面平行 /l0 uaua面面平行面面平行 /vuvu /设直线设直线l，m的方向向量分别为的方向向量分别为 ， ，平面平面 ， 的法向量分别为的法向量分别为 ， abuv （2）垂直关系）垂直关系线线垂直线线垂直

3、ml0 baba线面垂直线面垂直 luaua /面面垂直面面垂直 0 vuvu二、新课二、新课（一）（一）用向量处理平行问题用向量处理平行问题（二）（二）用向量处理垂直问题用向量处理垂直问题（一）用向量处理平行问题（一）用向量处理平行问题1:,./ABCDABEFMNBFFMANMNEBC例如图已知四边形、为两个正方形分别在其对角线上且求证：平面:,BEAB FMAN FBAC证明 在正方形ABCD与ABEF中,.FB ANAC 存在实数使FM()()()(1).MNMFFAANBFEBACBEBAABADEBBEADEBBEBCBEBEBC ADCBEFNM1:,./ABCDABEFMNBF

4、FMANMNEBC例如图已知四边形、为两个正方形分别在其对角线上且求证：平面.,/MN BE BCMEBCMNEBC 、 、共面平面平面评注：评注：向量向量p p与两个不共线的向量与两个不共线的向量a a、b b共面的充要条件是共面的充要条件是存在实数对存在实数对x,yx,y使使p=xa+yb.p=xa+yb.利用共面向量定理可以证明线面平行问题。利用共面向量定理可以证明线面平行问题。本题用的就是向量法。本题用的就是向量法。ADCBEFNM11111112.-,:/A B C DA B C DA B DC B D例在 正 方 形中求 证平 面平 面11111:, ,D ADCD Dx y z证

5、明 如图分别以、三边所在的直线为轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,111(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1),(0,0,1)( 1,0,1),( 1,0,1)ABCDDB C 1则则A1111111111111/./././.A DB CA DB CA DCB DA BCB DA BDCB D 即 直 线，则平 面同 理 右 证 ：平 面平 面平 面1CA1AB1BCD1DXZY11111112.-,:/ABC DA B C DA BDC B D例在 正 方 形中求 证平 面平 面评注：评注：由于三种平行关系可以相互转化，由于三种平行关系可以相互转化，所以本题可用逻辑推理来证

6、明。所以本题可用逻辑推理来证明。用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化，用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化，在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系，在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系，方能减少运算量。本题选用了坐标法。方能减少运算量。本题选用了坐标法。XYZA1ABCD1B1C1D（二）用向量处理垂直问题（二）用向量处理垂直问题:,.ABCDA B C DCC BDA FBDE例3在正方体中.E,F分别是的中点.求证：平面,DA DC DDxyzA 证明:如图取分别为 轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2.A(2,0,0),B(2,2,0), (2,0,2),E(0,2

7、,1),F(1,1,0)YXZFE:,.ABCDA B C DCC BDA FBDE例3在正方体中.E,F分别是的中点.求证：平面( 1,1, 2),(2,2,0),(0,2,1)( 1,1, 2) (2,2,0)0,( 1,1, 2) (0,2,1)0, ,.A FDBDEA F DBA F DEA FDB A FDEDBDEDA FBDE 又平面XYZEF:,.ABCDA B C DCC BDA FBDE例3在正方体中.E,F分别是的中点.求证：平面评注：评注：本题若用一般法证明，本题若用一般法证明，容易证容易证AF垂直于垂直于BD，而证而证AF垂直于垂直于DE，或证或证AF垂直于垂直于E

8、F则较难，则较难，用建立空间坐标系的方法用建立空间坐标系的方法能使问题化难为易。能使问题化难为易。EFXYZ,ABCA B CAAABCA CABBCAB练习：在三棱柱中，底面是正三角形，底面，求证：.2/1,0,0, , 1cbcabaACcABbAAa设证明：设底面边长为bacCCACBABCabBBABABacACAACAABCBCA向量法向量法,ABCA B CAAABCA CABBCAB练习：在三棱柱中，底面是正三角形，底面，求证：220() () 12A CABcabac bc aa baac b 2222(2) ()(2) ()221 10caabbaabbaaa bbab )(

9、)(abbacABBCABCBCA,ABCA B CAAABCA CABBCAB练习：在三棱柱中，底面是正三角形，底面，求证：)., 1, 0( ), 1 , 0( ), 0 ,3( ).0 , 1, 0(),0 , 1 , 0(),0 , 0 ,3(., 2hChBhACBAh系如图建立空间直角坐标高为设底面边长为222031,2.020.ABA ChhABBChBCAB (3,1, ),(3, 1,),(0, 2, )ABh A Ch BCh ABCBCA坐标法坐标法三、小结三、小结利用向量解决平行与垂直问题利用向量解决平行与垂直问题v向量法：利用向量的概念技巧运算解决问向量法：利用向量的概念技巧运算解决问 题。题。v坐标法：利用数及其运算解决问题。坐标法：利用数及其运算解决问题。 两种方法经常结合起来使用。两种方法经常结合起来使用。四、作业四、作业 011111111,90 ,1,2,1,.ABCA B CACBACCBAAAA B BD B CMCDBDM作业：如图 直三棱柱中侧棱侧面的两条对角线交点为的中点为求证平面:,C解如图以 为原点建立空间直角坐标系.111,0,0),( 2,1,0),(0,1,1),2 1 12(, ),(,1,0),22 222 1 111(, ),( 2, 1, 1)(0,),22 222BBADMCDABDM ( 2，ABCDM1A1B