高等数学(高等教育出版社)第十一章D斯托克斯公式ok

1、目录 上页 下页 返回 结束 *二、环流量与旋度二、环流量与旋度 斯托克斯公式 *环流量与旋度 第七节一、斯托克斯公式一、斯托克斯公式 第十一章 目录 上页 下页 返回 结束 yzxO一一、 斯托克斯公式斯托克斯公式 定理定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, yxyPxQxzxRzPzyzQyRddddddzRyQxPddd (斯托克斯公式斯托克斯公式)个空间域内具有连续一阶偏导数, 的侧与 的正向符合右手法则, RQP,在包含 在内的一证证:情形情形1. 与平行 z 轴的直线只交于 一点, 设其方程为yxDyxyxfz),(, ),(:n为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图).yx

2、DC则有简介 目录 上页 下页 返回 结束 则xPdCxyxzyxPd),(,(利用格林公式) yxyxzyxPyyxDdd),(,(yxyzzPyPyxDddyzxOnyxDC定理1 yxyPxzzPdddd同理可证yQdzyzQyxxQddddzRdxzxRzyyRdddd三式相加, 即得斯托克斯公式 ;目录 上页 下页 返回 结束 情形情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可通过作辅助线把 分成与z 轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立. 注意注意: 如果 是 x

3、Oy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯 公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例. 证毕定理1 yxyPxQxzxRzPzyzQyRddddddzRyQxPddd 目录 上页 下页 返回 结束 为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:RQPzyxyxxzzyddddddzRyQxPddd 或用第一类曲面积分表示:SRQPzyxdcoscoscoszRyQxPddd 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 zxy111Oyxzyxxzzyzyxdddddd例例1. 利用斯托克斯公式计算积分zyyxxzddd其中 为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整解解: 记三角形域为 ,

4、 取上侧,则个边界, 方向如图所示. zyyxxzdddyxxzzyddddddyxDyxdd323yxD目录 上页 下页 返回 结束 z2xyO例例2. 为柱面与平面 y = z 的交线, 从 z 轴正向看为顺时针, .ddd2zxzyxyxyI解解: 设 为平面 z = y 上被 所围椭圆域 ,且取下侧,0cos利用斯托克斯公式得SIdSzyd)(210则其法线方向余弦,21cos21coscoscoscoszyxzxyxy2yyx222公式其他形式 计算目录 上页 下页 返回 结束 *二、二、 环流量与旋度环流量与旋度斯托克斯公式yxxzzyyPxQxRzPzQyRdd)(dd)(dd)

5、(zRyQxPddd设曲面 的法向量为 曲线 的单位切向量为则斯托克斯公式可写为 SyPxQxRzPzQyRdcoscoscossRQPd)coscoscos()cos,cos,(cosn)cos,cos,(cos目录 上页 下页 返回 结束 yPxQxRzPzQyR,令 , 引进一个向量),(RQPA Ar ro ot t记作向量 rot A 称为向量场 A 的RQPkjizyx称为向量场 A 定义定义: sAzRyQxPdddd沿有向闭曲线 的环流量环流量.sASnAddr ro ot t或 sASAndd)(r ro ot t于是得斯托克斯公式的向量形式 : 旋度旋度. A目录 上页 下

6、页 返回 结束 内容小结内容小结1. 斯托克斯公式斯托克斯公式zRyQxPdddRQPyxxzzyzyxddddddSRQPzyxdcoscoscos目录 上页 下页 返回 结束 zuyuxu,2. 场论中的三个度场论中的三个度设, ),(zyxuu 梯度梯度:ur ra ad dg gu,zyxzRyQxPRQPkjizyxArotrotAAdivA散度散度:旋度旋度:则, ),(RQPA 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习,222zyxr设则.)(;)(divrrradradg grotrotradradg g提示提示:rr ra ad dg grzryrx,)(rxx2rrrxx,322rxr )(ryy322ryr )(rzz322rzr )0,0,0(r2)(rr ra ad dg gr ro ot t三式相加即得)(divrr ra ad dg grzryrxzyxkji0目录 上页 下页 返回 结束 斯托克斯斯托克斯(1819-1903)英国数学物理学家. 他是19世纪英国数学物理学派的重要代表人物之一, 其主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题的有效且一般的新方法,