3.1.3空间向量的数量积运算

1、空间向量的数量积运算龙口第一中学东校龙口第一中学东校 张正然张正然学习目标学习目标理解数量积的夹角、意义和性质。能用向量的数量积表示向量的夹角和长度夹角和长度。重点重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用。难点难点：如何将立体几何问题转化转化为向量的计算问题。S FW= |F| |s| cos 根据功的计算根据功的计算,我们定义了平面两向量的我们定义了平面两向量的数量积运算数量积运算.一旦定义出来一旦定义出来,我们发现这种运我们发现这种运算非常有用算非常有用,它能解决有关它能解决有关长度和角度长度和角度问题问题.回顾回顾一、两个空间向量的夹角的定义一、两个空间向量的夹角的定义: :O OA A

2、B Ba a b b ,a bb a 这样规两个夹(2)在(2)在的的定定下下，向向量量的的角角就就被被唯唯一一确确定定了了，并并且且a b a b , a b 二、二、四、空间向量的数量积满足的运算律四、空间向量的数量积满足的运算律三、空间向量数量积的几何意义三、空间向量数量积的几何意义数量积数量积ab等于等于a的长度的长度 与与b在在a的方向的方向上的投影上的投影 |b|cos 的乘积的乘积思考：思考：abacbc(1)(2)(3)a bkkababcabc P O A la 五、应用（一）垂直五、应用（一）垂直1.证明：证明：如图如图,已知已知:,POAOllOA射射影影且且求证：求证：

3、lPA 在直线在直线l上取向量上取向量 ,只要证只要证a 0a PA ()0a PAaPOOAa POa OA ,aPAl 即即PA.PA.为为 P O A la 0,0a POa OA 逆命题成立吗? P O A la 分析分析:同样可用向量同样可用向量,证明思路几乎一样证明思路几乎一样,只只不过其中的加法运算不过其中的加法运算用减法运算来分析用减法运算来分析.分析：要证明一条直线与一个平面分析：要证明一条直线与一个平面垂直垂直, ,由直线与平面垂直的定义可由直线与平面垂直的定义可知知, ,就是要证明这条直线与平面内就是要证明这条直线与平面内的的任意一条直线任意一条直线都垂直都垂直. . l

4、ll lmngm g m l 取已知平面内的任一条直线取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方拿相关直线的方向向量来分析向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件看条件可以转化为向量的什么条件?要要证的目标可以转化为向量的什么目标证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量怎样建立向量的条件与向量的目标的联系的条件与向量的目标的联系?2.(试用试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理向量方法证明直线与平面垂直的判定定理) 已知直线已知直线m ,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相交直线,如果如果 m, n,求证求证: .lmngn g m l ,gxmyn ,l gxl myl

5、 n 0,.l glg 即即,lgll 即即 垂垂直直于于平平面面 内内任任一一直直线线.解解: 在在 内作不与内作不与m ,n重合的任一直线重合的任一直线g,在在 , ,l m n g 上取非零向量上取非零向量 因因m与与n相交相交,故向量故向量m ,n, ,l m n g 不平行不平行,由共面向量定理由共面向量定理,存在唯一实数对存在唯一实数对 ,使使 ( , )x y已知直线已知直线m ,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相交直线,如果如果 m, n,求证求证: .lll 0,0l ml n 综合综合分析分析数形结合数形结合（二）长度（二）长度3.(三三)夹角夹角 小小 结：结：

6、通过学习通过学习, ,体会到我们可以利用向量数量积解决立体体会到我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：几何中的以下问题： 1 1、证明两直线垂直、证明两直线垂直; ;线面垂直线面垂直; ; 2 2、求两点之间的距离或线段长度、求两点之间的距离或线段长度; ; 3 3、求两直线所成角的余弦值等等、求两直线所成角的余弦值等等. . 0a b cc a b 练习巩固：练习巩固：1.设设 是任意的非零空间向量是任意的非零空间向量,互相不共线，则：互相不共线，则： 不与不与 垂直垂直 中，真命题是（中，真命题是（ ）A B C D2.已知空间向量已知空间向量 满足满足则则 =_.3.已知在空间四面体已知在空间四面体ABCD中，中，AB=AC，DB=DC，求，求证证AD BC4.如图，在空间四边形如图，在空间四边形ABCD中，中，AB=2，BC=3，BD= ，CD=3， ， ， 求求BC与与