固体物理第2-3讲

1、第第1 1章章 晶体结构晶体结构 1-1 1-1 晶体的特性晶体的特性 1-2 1-2 晶格晶格及其实例及其实例 1-3 1-3 晶格的周期性晶格的周期性 1-4 1-4 晶向和晶面晶向和晶面 1-5 1-5 晶体对称性与布拉菲格子晶体对称性与布拉菲格子 1-6 1-6 倒格子倒格子u 晶体：原子排列长程有序（水晶，岩盐，金刚石）晶体：原子排列长程有序（水晶，岩盐，金刚石）晶体（规则点阵）晶体（规则点阵）1-11-1 晶体的特性晶体的特性u 物理：物理：* * 固定熔点（在熔化过程中，晶态固体的长程有序解体固定熔点（在熔化过程中，晶态固体的长程有序解体 时对应一定的熔点）时对应一定的熔点）*

2、* 原子排列长程有序（微米量级的范围是有序排列的原子排列长程有序（微米量级的范围是有序排列的 ）* * 解理性解理性 （ SiSi的解理面为（的解理面为（111111）u 几何外形：几何外形：* * 凸多面体，晶棱平行，晶面夹角守恒凸多面体，晶棱平行，晶面夹角守恒p晶体晶体的晶面组合成的晶面组合成晶带晶带p晶面晶面的交线是的交线是晶棱晶棱 相互相互平行平行p方向方向OOOO称为该晶带称为该晶带的的带带轴轴p重要重要的带轴通常的带轴通常称为称为晶轴晶轴示例：不同示例：不同生长条件下生长条件下NaClNaCl晶体的晶体的外形外形1-11-1 晶体的特性晶体的特性1-11-1 晶体的特性晶体的特性u

3、 金刚石：复式面心立方结构，最坚硬固体，绝缘体金刚石：复式面心立方结构，最坚硬固体，绝缘体u 石墨：层状结构，质软，润滑性好，导体石墨：层状结构，质软，润滑性好，导体u 石墨烯：单层碳原子，优异电输运性能石墨烯：单层碳原子，优异电输运性能晶体结构决定物理性能！晶体结构决定物理性能！金刚石金刚石石墨石墨石墨烯石墨烯1-21-2 晶格晶格u怎样描述不同的晶体结构？每一个原子的坐标都写出来？原怎样描述不同的晶体结构？每一个原子的坐标都写出来？原子数目子数目10102323cmcm-3-3量级，不可行！寻找规律！量级，不可行！寻找规律！u规律：金，银，铜虽然化学成分不同，如果不查究其化学成分，规律：金

4、，银，铜虽然化学成分不同，如果不查究其化学成分，即不管原子是金或银还是铜，不管原子之间间距的大小，那他们即不管原子是金或银还是铜，不管原子之间间距的大小，那他们是完全相同的，就是他们的结构完全相同！是完全相同的，就是他们的结构完全相同！u数学方法抽象描写：不区分物理，化学成分，数学方法抽象描写：不区分物理，化学成分，每个原子都是不区每个原子都是不区分的分的，只有原子（数学上仅仅是一个几何点）的相对几何排列有，只有原子（数学上仅仅是一个几何点）的相对几何排列有意义。意义。金刚石（立方）金刚石（立方）石墨（六方）石墨（六方）石墨烯（六方）石墨烯（六方） 理想晶体：实际晶体的数学抽象理想晶体：实际晶

5、体的数学抽象以完全相同的基本结构单元（基元）规则地，重复的以完以完全相同的基本结构单元（基元）规则地，重复的以完全相同的方式无限地排列而成全相同的方式无限地排列而成 格点（结点）：基元位置，代表基元的几何点格点（结点）：基元位置，代表基元的几何点 晶格（点阵）：格点（结点）的总和晶格（点阵）：格点（结点）的总和 原子种类和间距不同，但有相同的原子种类和间距不同，但有相同的排列规则排列规则，则这些原子，则这些原子构成的晶体具有相同的晶格构成的晶体具有相同的晶格 简立方简立方(cubic)(cubic)，面心立方，面心立方(bcc), (bcc), 体心立方体心立方( (fccfcc),),六六方

6、方( (hcphcp)1-21-2 晶格晶格点阵点阵基元基元晶体晶体晶体结构晶体结构 = = 点阵（数学几何点）点阵（数学几何点） + + 基元（物理）基元（物理）p 晶格晶格的共同特点是周期性，用的共同特点是周期性，用原胞原胞和和基矢基矢描述。描述。p 原原胞胞 (Primitive cell)(Primitive cell)：晶格的：晶格的最小周期性单元最小周期性单元。又称初基晶胞。又称初基晶胞。p 基基矢：原胞的边矢量矢：原胞的边矢量p 晶胞晶胞 (Unit cell)(Unit cell)：晶体学中，为了：晶体学中，为了反映晶格的对称性反映晶格的对称性，选取，选取较较 大的大的周期性单

7、元，又称单胞。周期性单元，又称单胞。单胞不一定是原胞单胞不一定是原胞原胞选取不唯一原胞选取不唯一，但有习惯的选取方式。但有习惯的选取方式。三维晶格原胞通常是三维晶格原胞通常是平行六面体平行六面体。原原胞和胞和晶胞晶胞 1-31-3 晶格的周期性晶格的周期性321,aaa简立方晶格：原胞和单胞相同简立方晶格：原胞和单胞相同如何判断所选取的原胞是正确的，即最小周期单元？如何判断所选取的原胞是正确的，即最小周期单元？计算计算原胞体积所对应的原子数原胞体积所对应的原子数。原胞中只包含原胞中只包含一个一个原子原子1-31-3 晶格的周期性晶格的周期性- -简单立方晶格简单立方晶格基矢基矢原胞体积原胞体积

8、kaaj aai aa321,3321)(aaaaV123()2()2()2aajkaakiaaij332141)(aaaaV,aaibajcak3)(acbaV原胞基矢原胞基矢原胞的体积原胞的体积单胞基矢单胞基矢单胞的体积单胞的体积单胞内原子数：单胞内原子数：4 4原原胞内原子数：胞内原子数：1 11-31-3 晶格的周期性晶格的周期性- -面心立方晶格面心立方晶格单胞内原子坐标：单胞内原子坐标： （0,0,00,0,0）(1/2,0,1/2)(1/2,0,1/2)（1/2,1/2,0)(0,1/2,1/2)1/2,1/2,0)(0,1/2,1/2)单胞内原子数：单胞内原子数：2 2原原胞内

9、原子数：胞内原子数：1 1)(2)(2)(2321kjiaakjiaakjiaa原胞基原胞基矢矢原胞体积原胞体积332121)(aaaaV1-31-3 晶格的周期性晶格的周期性- -体体心立方晶格心立方晶格,aaibajcak3)(acbaV单胞基矢单胞基矢单胞的体积单胞的体积单胞内原子坐标：单胞内原子坐标： （0,0,00,0,0）(1/2,1/2,1/2)(1/2,1/2,1/2)p 以某个格点为中心，作其与邻近格点的中垂面，这些以某个格点为中心，作其与邻近格点的中垂面，这些中垂面所包含最小体积的区域为中垂面所包含最小体积的区域为维格纳维格纳- -赛兹原胞赛兹原胞p 对称性原胞，不依赖于基

10、矢的选择，与相应的布拉菲对称性原胞，不依赖于基矢的选择，与相应的布拉菲格子有完全相同的对称性格子有完全相同的对称性特点：特点：1.1.仅包含一个格点，体积与仅包含一个格点，体积与惯用原胞相等惯用原胞相等2.2.保留了晶格所有的对称性保留了晶格所有的对称性3.3.平常很少用，在能带理论平常很少用，在能带理论中对应布里渊区中对应布里渊区1-3x1-3x Wigner-SeitzWigner-Seitz原胞原胞六角密排晶格的原六角密排晶格的原胞和单胞一样胞和单胞一样* * 一个原胞中包含一个原胞中包含A A层层 和和B B层原子各一个层原子各一个* * 共两个原子共两个原子1-31-3 晶格的周期性

11、晶格的周期性- -密排六方晶格密排六方晶格)3(21jiaa基矢：基矢：kca3)3(22jiaa什么是固体？什么是固体？研究固体的思路？复杂到简单研究固体的思路？复杂到简单为什么从研究晶体开始？为什么从研究晶体开始？原胞的选取唯一吗？原胞的选取唯一吗？第一讲回顾第一讲回顾简单晶格简单晶格：原胞中仅包含：原胞中仅包含1 1个个原子，所有原子的几原子，所有原子的几何位置和化学性质完全等价何位置和化学性质完全等价复式晶格复式晶格：包含两种或以上的等价原子：包含两种或以上的等价原子 * * 两种两种不同不同原子或离子构成：原子或离子构成：NaClNaCl, , CsClCsCl * * 同种同种原子

12、但几何位置不等价原子但几何位置不等价：金刚石结构、：金刚石结构、六六 方密方密排结构排结构复式晶格的原胞就是相应的简单晶格的原胞，复式晶格的原胞就是相应的简单晶格的原胞，在原胞中包含每种等价原子各一个在原胞中包含每种等价原子各一个1-31-3晶格的周期性晶格的周期性- -简单晶格与复式晶格简单晶格与复式晶格简立方晶格在实际晶体中并不罕见（简立方晶格在实际晶体中并不罕见（CsClCsCl, NH, NH4 4Cl,CuZnCl,CuZn等等）但）但一般常见的元素不结晶为简立方结构。一般常见的元素不结晶为简立方结构。1-31-3 实例实例- -简单立方晶格简单立方晶格* *为了为了保证同一层中原子

13、球间的距离等于保证同一层中原子球间的距离等于A-AA-A层之间的距离层之间的距离， 正方正方排列的原子球并不是紧密靠在一起；排列的原子球并不是紧密靠在一起；* *由由几何关系证明，间隙几何关系证明，间隙=0.31r=0.31r0 0，r r0 0为原子球的半径。为原子球的半径。* *具有具有体心立方晶格结构的金属：体心立方晶格结构的金属：LiLi、Na Na 、CrCr、 W W、 FeFe等等. .1-31-3 实例实例- -体心立方晶格体心立方晶格ABCABC 密堆积方式排布密堆积方式排布面心立方晶格的堆积比=? 配位数=？具有面心立方晶格具有面心立方晶格结构的金属：结构的金属：Au, A

14、u, Ag, CuAg, Cu等等1-21-2 实例实例- -面心立方晶格面心立方晶格堆积比率堆积比率：被原子（球）所占据的：被原子（球）所占据的可用体积的最大比率。可用体积的最大比率。配位数：配位数：最近邻原子数。指原子间最近邻原子数。指原子间距最小并相等的原子个数距最小并相等的原子个数ABAB密排堆垛密排堆垛六方晶格的堆积比六方晶格的堆积比=?=?配位数配位数= =？1-31-3 实例实例- -密排六方密排六方晶格晶格具有密排六方晶具有密排六方晶格结构的金属：格结构的金属：ZnZn，MgMg等等l 两两套面心立方套构而套面心立方套构而成成l 第二第二套套4 4个原子位于体对角线个原子位于体

15、对角线1/41/4处处l 第二第二套套C C原子与原子与4 4个第一套个第一套C C原子形成正原子形成正四面体四面体l Si Si, , GeGe为金刚石为金刚石结构结构1-31-3 实例实例- -金刚石晶格金刚石晶格单胞中的单胞中的原子坐标？原子坐标？NaNa和和ClCl分别构成面心立方格子，彼此在空间有一个位移分别构成面心立方格子，彼此在空间有一个位移1-31-3 实例实例- -NaClNaCl晶格晶格nCsCs和和ClCl分别构成简立方格子，彼此在空间有一个分别构成简立方格子，彼此在空间有一个位移位移n注意：注意：CsClCsCl不是体心立方，而是简立方结构！不是体心立方，而是简立方结构

16、！1-31-3 实例实例- -CsClCsCl晶格晶格u类似金刚石结构，类似金刚石结构，ZnZn和和S S分别组成面心立方格子分别组成面心立方格子u化合物半导体如化合物半导体如GaAsGaAs, , InPInP等为闪锌矿结构等为闪锌矿结构1-31-3 实例实例- -闪锌矿闪锌矿ZnSZnS结构结构u类似密排六方结构类似密排六方结构，ZnZn和和S S分别分别组成六方格子组成六方格子u化合物半导体化合物半导体如如ZnTeZnTe, , AgIAgI等为纤锌矿结构等为纤锌矿结构1-31-3 实例实例- -纤纤锌矿锌矿ZnSZnS结构结构钙钛矿型的化学式可写为钙钛矿型的化学式可写为ABOABO3

17、3 * * A A代表二价或一价的金属代表二价或一价的金属 * * B B代表四价或五价的金属代表四价或五价的金属 * * BOBO3 3称为氧八面体基团称为氧八面体基团, , 是钙钛矿型晶体结构的是钙钛矿型晶体结构的特点特点 * * 重要介电晶体：钛酸钡（重要介电晶体：钛酸钡（BaTiOBaTiO3 3）、锆酸铅（）、锆酸铅（PbZrOPbZrO3 3）、）、 铌酸锂（铌酸锂（LiNbOLiNbO3 3）、钽酸锂（）、钽酸锂（LiTaOLiTaO3 3）28/281-31-3 实例实例- -钙钛矿结构钙钛矿结构p 晶体晶体 = = 布拉菲格子布拉菲格子 (lattice) (lattice)

18、 + + 基元基元 （basisbasis）p 简单晶格，任意格点均可表示为简单晶格，任意格点均可表示为p 布拉菲格子是数学抽象，是点在空间的周期性排列，布拉菲格子是数学抽象，是点在空间的周期性排列， 又称点阵。又称点阵。1-4 1-4 布拉菲格子布拉菲格子 (Bravais lattice) 2132aaRl3213aaaRl332211alalalRl复式晶格复式晶格：任一原子：任一原子A A的位矢的位矢3, 2, 1,332211alalalrRalr为原为原胞中各种等价原子之间的相对位移胞中各种等价原子之间的相对位移金刚石晶格中金刚石晶格中332211alalal332211alala

19、l对角线位移对角线位移4/1* * 碳碳1 1位置位置* * 碳碳2 2位置位置1-4 1-4 布拉菲格子布拉菲格子 (Bravais lattice) p 任意格点均可表示为任意格点均可表示为p 布拉菲格子是数学抽象，是点在空间的周期性排列，布拉菲格子是数学抽象，是点在空间的周期性排列， 又称点阵。又称点阵。1-4 1-4 布拉菲格子布拉菲格子 (Bravais lattice) 3, 2, 1,332211alalalrRal晶体结构晶体结构 = = 点阵（数学几何点）点阵（数学几何点） + + 基元（物理）基元（物理）简单晶格简单晶格 基元是一个原子基元是一个原子复式晶格复式晶格 基元是

20、一个以上原子基元是一个以上原子19/191-4 1-4 布拉菲格子布拉菲格子 (Bravais lattice) 晶体结构晶体结构 = = 点阵（数学几何点）点阵（数学几何点） + + 基元（物理）基元（物理）晶体基本特点：各向异性晶体基本特点：各向异性晶列晶列通过任意两个格点连一直线，则这一直线包含无限个相同格点，通过任意两个格点连一直线，则这一直线包含无限个相同格点，这样的直线称为晶列，也是晶体外表上所见的晶棱。其上的格点这样的直线称为晶列，也是晶体外表上所见的晶棱。其上的格点分布具有一定的分布具有一定的周期周期-任意两相邻格点的间距。任意两相邻格点的间距。 晶列的特点晶列的特点 （1 1

21、）一族平行晶列把所有格点包括）一族平行晶列把所有格点包括无遗无遗 （2 2）在一平面中，同族的相邻晶列之间）在一平面中，同族的相邻晶列之间 距离相等距离相等 （3 3）通过一格点可以有）通过一格点可以有无限多无限多个晶列个晶列，每，每 一一晶列都有一族平行的晶列与之晶列都有一族平行的晶列与之对应对应 （4 4）有无限多族平行晶有无限多族平行晶列列1-5 1-5 晶向和晶面晶向和晶面l 如何区分不同的晶列簇？如何区分不同的晶列簇？晶向晶向！两个格点的！两个格点的 连线即一晶列，因此从任一格点沿晶列方向到连线即一晶列，因此从任一格点沿晶列方向到 最近邻格点最近邻格点的平移矢量即晶向的平移矢量即晶向

22、l 取取某一原子为原点某一原子为原点O O，原胞的三个基，原胞的三个基矢矢l 沿晶向到沿晶向到最近的一个格点最近的一个格点的位矢的位矢321,aaa332211alalal# # 晶向指数表示为晶向指数表示为321llluvw 1-5 1-5 晶向和晶面晶向和晶面# # 指数指数是整数，互质是整数，互质# # 晶胞和原胞类似晶胞和原胞类似1233ARaaa1223ARaa晶向指数晶向指数311晶向指数晶向指数2301-5 1-5 晶向和晶面晶向和晶面简单简单立方晶格立方晶格的主要晶向的主要晶向# # 立方立方边边OA的晶向的晶向100立方边共有立方边共有6 6个不同的个不同的晶向晶向# # 面

23、面对角线对角线OB的晶向的晶向# # 体对角线体对角线OC晶向晶向 1101-5 1-5 晶向和晶面晶向和晶面111面对角线共有面对角线共有1212个个不同的不同的晶向晶向体对角线共有体对角线共有？个个不同的不同的晶向晶向1-5 1-5 晶向和晶面晶向和晶面n 与晶列类似，晶格中的所有格点也可看成都在一族与晶列类似，晶格中的所有格点也可看成都在一族 族相互平行的、间距相等的平面上族相互平行的、间距相等的平面上n 晶体的晶面晶体的晶面 在布拉菲格子中作一簇平行的平面，这些相互平行、在布拉菲格子中作一簇平行的平面，这些相互平行、 等间距的平面可以将所有的格点包括无遗。这些相互等间距的平面可以将所有

24、的格点包括无遗。这些相互 平行的平面称为晶体的晶面平行的平面称为晶体的晶面u 如何区分不同的晶面？晶面的方向：密勒指数如何区分不同的晶面？晶面的方向：密勒指数u 以晶胞基矢定义的互质整数，用以表示晶面的方以晶胞基矢定义的互质整数，用以表示晶面的方 向，又称为晶面指数向，又称为晶面指数1-5 1-5 晶向和晶面晶向和晶面- -密勒指数密勒指数1.1. 确定某平面在直角坐标系确定某平面在直角坐标系 3 3个轴上的截点，并以晶格常数个轴上的截点，并以晶格常数为单位测得相应的截距。为单位测得相应的截距。2.2. 取截距的倒数，然后约简为取截距的倒数，然后约简为 3 3 个没有公约数的整数，即个没有公约

25、数的整数，即将其化简成最简单的整数比。将其化简成最简单的整数比。3.3. 将此结果以将此结果以 “（hkl）”表示，即为此平面的密勒指数。表示，即为此平面的密勒指数。1/3:1/4:1/2=(436)？2, 4, 3wvun 如果某族晶面与某一基矢没有相交如果某族晶面与某一基矢没有相交 截距是无穷大，例如截距是无穷大，例如 密勒指数为：密勒指数为：n 如果晶面与某一晶轴的负方向相交，则相应指数上如果晶面与某一晶轴的负方向相交，则相应指数上 加负号，如加负号，如n 晶面间距：相邻两层平行晶面之间的距离晶面间距：相邻两层平行晶面之间的距离n 面密度：晶面上质点的密度面密度：晶面上质点的密度n 密勒

26、指数小的晶面，格点密度大密勒指数小的晶面，格点密度大？什么样的面容易解理？什么样的面容易解理？n 晶体中重要的面指数都是简单的，如晶体中重要的面指数都是简单的，如1-5 1-5 晶向和晶面晶向和晶面- -密勒指数密勒指数wvu, 1, 3)130()0:3:1 ()0:1:31()(hkl)101()110(1-5 1-5 立方晶格的主要晶面立方晶格的主要晶面#(110)#(110)表示一组平行晶面表示一组平行晶面#110#110表示一组空间表示一组空间等同晶面等同晶面，包括，包括1212个晶面如个晶面如#100#100面包括面包括6 6个等同晶面个等同晶面#111#111包括包括？个等同晶面

27、个等同晶面)101(),110(),101(),110(六方结构中六方结构中，为了能充分体现六方晶系的六重对称性，为了能充分体现六方晶系的六重对称性，常常用常常用4 4个坐标指数表示晶面，被称为个坐标指数表示晶面，被称为密勒布拉菲指数密勒布拉菲指数（hkilhkil） 其中其中h+kh+k=-=-i i, , 此时选取此时选取4 4个晶轴个晶轴a a1 1,a,a2 2,a,a3 3,c,c。1-5 1-5 晶向和晶面晶向和晶面- -密勒指数密勒指数1-7 1-7 晶体对称性晶体对称性p 为何要引入晶胞？前面讲的原胞只涉及平移对称性为何要引入晶胞？前面讲的原胞只涉及平移对称性p 晶体宏观对称性

28、：对晶体做某种几何操作后，晶体可以完全复原晶体宏观对称性：对晶体做某种几何操作后，晶体可以完全复原 的特性。其中的几何操作为对称操作的特性。其中的几何操作为对称操作p 在晶体对称操作过程中，若至少有一点保持不变，这种对称操在晶体对称操作过程中，若至少有一点保持不变，这种对称操 作称为点对称操作，晶体的这种对称性为宏观对称性作称为点对称操作，晶体的这种对称性为宏观对称性p 宏观对称反映在宏观物理性质上，如外形宏观对称反映在宏观物理性质上，如外形四种基本的四种基本的操作操作转动、反演、反映、象转轴。转动、反演、反映、象转轴。1. 1. 转动对称操作转动对称操作设晶体外形为一立方体，沿图中所示设晶体

29、外形为一立方体，沿图中所示转轴转动转轴转动90900 0，外形与原来重合。这样，外形与原来重合。这样的转动称为的转动称为转动对称操作转动对称操作。该轴称为。该轴称为转动轴转动轴。1-7 1-7 晶体的点对称操作晶体的点对称操作转动轴转动轴由于由于受晶格周期性的限制，转动对称操作所转动的受晶格周期性的限制，转动对称操作所转动的角度并不是任意的。而是遵循一定的规律。角度并不是任意的。而是遵循一定的规律。 B1 A B A1B A ABAB是晶列上最近邻两格点的距离。是晶列上最近邻两格点的距离。 是整数。是整数。n nABABBAABABnAB 21cos)cos21(coscos 1-7 1-7

30、转动转动 )(64321643212 22 32 42 62 12 32 2 3 0 : 1- 0.5- 0 0.5 1 :cos1;- 0 1 2 3 : 10123 1cos121cos转转轴轴。度度次次，。分分别别称称为为，即即。，只只能能取取值值：，且且 nnnnn 1-7 1-7 转动转动2.2.中心反演中心反演 如图所示，有对称心如图所示，有对称心i i，晶体中任一点，晶体中任一点A A过中心过中心 i i 连线连线A Ai i并延长到并延长到A A，使，使A Ai i= = A Ai i, , A A与与A A是等同是等同点，点，i i点称为点称为对称心对称心。表示方式表示方式(

31、1)(1)熊夫利符号表示熊夫利符号表示C Ci i; ;(2)(2)国际符号表示国际符号表示i i。例：立方体的中心就是对称中心。例：立方体的中心就是对称中心。AA i zyx, zyx ,1-7 1-7 中心反演中心反演3. 3. 反映反映 （镜象、对称面（镜象、对称面）如图所示，如图所示，A A和和A A表示方式表示方式(1)(1)熊夫利符号表示熊夫利符号表示; ; (2)(2)国际符号表示国际符号表示m m。AA Oxyz zyx, zyx ,O O- -xyxy 相当于镜面。相当于镜面。AA 1-7 1-7 反映反映1.1.旋转旋转- -反演轴反演轴( (象转轴象转轴) )(1)(1)

32、定义定义先绕先绕u u轴转动轴转动2 2/ /n n，再经过，再经过中心反演中心反演，晶体，晶体自动重合，则称自动重合，则称u u轴为轴为n n度旋转度旋转反演轴，又称为反演轴，又称为n n度象转度象转轴。只有轴。只有1 1，2 2，3 3，4 4，6 6。(2)(2)符号表示符号表示 64321，n n度象转轴简析度象转轴简析 n n度象转轴实际上并不都是独立的，只度象转轴实际上并不都是独立的，只有有 是独立的。是独立的。 41-7 1-7 象转轴象转轴(1)(1) 象象转轴转轴实际上就是实际上就是对称心对称心i i。 1)(对称心对称心Ox)( 轴轴uzy zyx,A zyx ,A A A

33、点绕旋转轴点绕旋转轴( (z z轴轴) )旋转旋转3603600 0，在经过中心反演到，在经过中心反演到A A点，晶体完全重合。点，晶体完全重合。实际上即为中心反演。实际上即为中心反演。1-7 1-7 象转轴象转轴(2(2) ) 象转轴象转轴实际上实际上就是对镜象就是对镜象m m。 2A zyx ,)(对称心对称心Ox)( 轴轴uzyA zyx, zyx, A 和和O-O-xyxy对称面的对称面的操作相当。操作相当。1-7 1-7 象转轴象转轴(3) (3) 象转轴象转轴实际上就是实际上就是3 3度转轴对称心度转轴对称心( (i i) ) 1234 5 1 2 3 46 563晶体的点为晶体的

34、点为1,2,3,4,5,6.1,2,3,4,5,6.它们符合它们符合3 3度转度转轴加对称中心轴加对称中心12 4 6 5 1 3 23456(4) (4) 象转轴象转轴实际上实际上就是就是3 3度度转轴转轴对称面对称面(m) (m) 6晶体的点为晶体的点为1,2,3,4,5,6.1,2,3,4,5,6.它们符合它们符合3 3度转度转轴加对称面轴加对称面(5) (5) 象象转轴转轴411 3 2 4 234甲烷分子甲烷分子晶体的点为晶体的点为1,2,3,4.1,2,3,4.它们不它们不符合符合4 4度转轴加对度转轴加对称中心，是独立称中心，是独立的对称操作的对称操作结论：结论： 晶体晶体的宏观

35、对称性中有以下的宏观对称性中有以下八种八种基本的对称基本的对称操作：操作：1 1，2 2，3 3，4 4，6 6，i i, , m m, , 。 这些基本的这些基本的操作组合起来，就可以得到操作组合起来，就可以得到3232种宏观操作类型种宏观操作类型（3232点群点群）。）。 平移对称性（周期性）平移对称性（周期性）+ + 转动对称性（点群）转动对称性（点群）= = 空间群空间群 ( (230230种种）。）。41-7 1-7 晶体对称性晶体对称性n 晶体的周期性，单胞内原子数，晶体的周期性，单胞内原子数， 配位数，堆积率配位数，堆积率n 晶向，晶面，对称操作晶向，晶面，对称操作n 转动操作有

36、几种？转动操作有几种？n 为什么为什么4 4次像转轴是独立的？次像转轴是独立的？第二讲回顾第二讲回顾布拉菲格子的对称群所包含的对称操作布拉菲格子的对称群所包含的对称操作1. 1. 点对称操作（宏观对称性）：转动、点对称操作（宏观对称性）：转动、 反演、平面反映等反演、平面反映等2. 2. 点阵平移操作点阵平移操作3.3.上述两种形式的连续操作上述两种形式的连续操作点群点群：点对称操作集合：点对称操作集合空间群空间群：点对称：点对称+ +平移对称操作集合平移对称操作集合布拉菲格子布拉菲格子（基元具有球对称）（基元具有球对称）晶体结构晶体结构（基元具有任意对称性）（基元具有任意对称性）点群数点群数

37、7 7 （7 7个晶系）个晶系）32 32 （3232点群）点群）空间群数空间群数14 14 （1414种布拉菲格子）种布拉菲格子）230 230 （230230空间群）空间群）布拉菲格子和晶体结构的点群和空间群布拉菲格子和晶体结构的点群和空间群群群代表一组代表一组“元素元素”的集合，的集合，G G E, A ,B, C, E, A ,B, C, D D 这些这些“元素元素”被赋予一定的被赋予一定的“乘法法则乘法法则”，满，满足下列性质足下列性质1)1) 集合集合G G中任意两个元素的中任意两个元素的“乘积乘积”仍为集合内的元素仍为集合内的元素 若若 A, B A, B G G, , 则则AB

38、=C AB=C G. G. 叫作群的封闭性叫作群的封闭性2)2) 存在单位元素存在单位元素E, E, 使得所有元素满足：使得所有元素满足：AE = AAE = A3) 3) 对于任意元素对于任意元素A, A, 存在逆元素存在逆元素A A-1-1, , 有：有：AAAA-1-1=E=E4)4) 元素间的元素间的“乘法运算乘法运算”满足结合律：满足结合律：A(BC)=(AB)CA(BC)=(AB)C1-7 1-7 群的概念群的概念单位元素单位元素 不动操作不动操作任意元素的逆元素任意元素的逆元素 绕转轴角度绕转轴角度 ，其逆操作为绕，其逆操作为绕转轴角度转轴角度 ；中心反演的逆操作仍是中心反演；中

39、心反演的逆操作仍是中心反演；连续进行连续进行A A和和B B操作操作 相当于相当于C C操作操作A A 操作操作 绕绕OAOA轴转动轴转动 /2/2 S S点转到点转到TT点点B B 操作操作 绕绕OCOC轴转动轴转动 /2/2 TT点转到点转到SS点点S1-7 1-7 群的概念群的概念上述操作中上述操作中S S和和O O没动，而没动，而T T点转动到点转动到TT点点 相当于一个操作相当于一个操作C C：绕：绕OSOS轴转动轴转动2 2 /3/3CABBCA)()(BAC 表示为表示为 群的封闭性群的封闭性可以证明可以证明 满足结合律满足结合律1-7 1-7 群的概念群的概念S1-7 1-7

40、晶体对称性晶体对称性三三 斜斜单单 斜斜1-7 1-7 晶体对称性晶体对称性正交正交1-7 1-7 晶体对称性晶体对称性三角（三方）三角（三方）四四 方方1-7 1-7 晶体对称性晶体对称性立立 方方六角六角1-7 1-7 晶体对称性晶体对称性为什么要研究倒空间（为什么要研究倒空间（reciprocal space)?reciprocal space)?p 一个物理问题，既可以在正一个物理问题，既可以在正( (实，坐标实，坐标) )空间描写，也可以在倒空间描写，也可以在倒( (动量动量) )空间描写空间描写: : 坐标表象坐标表象r r，动量表象，动量表象k kp 为什么选择不同的表象？为什么

41、选择不同的表象？* * 适当地选取一个表象，可使问题简化容易处理适当地选取一个表象，可使问题简化容易处理* * 比如电子在均匀空间运动，虽然坐标一直变化，但比如电子在均匀空间运动，虽然坐标一直变化，但k k守衡，守衡， 这时在坐标表象当然不如在动量表象简单这时在坐标表象当然不如在动量表象简单p 正（坐标）空间的格矢（正（坐标）空间的格矢（R R）描写周期性，同样在倒（动量）描写周期性，同样在倒（动量） 空间，倒格矢空间，倒格矢K K也是描写周期性。也是描写周期性。这两个空间是等价的，只是这两个空间是等价的，只是 存在一个变换（傅里叶变换）存在一个变换（傅里叶变换）01/081-8 1-8 倒格

42、子倒格子 晶格的傅里叶变换（晶格的傅里叶变换（Fourier transformationFourier transformation）势能和电荷密度等函数满足叠加原理的物理量势能和电荷密度等函数满足叠加原理的物理量如果晶体具有平移周期性如果晶体具有平移周期性对周期函数作傅里叶展开对周期函数作傅里叶展开01/081-8 1-8 倒格子倒格子 llRrfrF)()(nmlRRRhriKKhheFrF)(从以上公式中可推导得到从以上公式中可推导得到)()(lRrFrF0)1 (lhhRiKKeF0hKF1lhRiKenRKlh2因为因为故故得到得到n n为整数为整数只要晶体有平移周期性，那么在傅里

43、叶只要晶体有平移周期性，那么在傅里叶空间中就一定存在空间中就一定存在K Kh h矢量满足这个关系！矢量满足这个关系！晶点的傅里叶变换（晶点的傅里叶变换（Fourier transformationFourier transformation）数学上用数学上用 函数来描写格点函数来描写格点因为因为n 当矢量当矢量K Kh h与与R Rl l乘积是乘积是22的整数倍时，在坐标空间的整数倍时，在坐标空间R Rl l处的处的 函数的傅里叶变换为在动量空间以函数的傅里叶变换为在动量空间以K Kh h为中心的为中心的函数！函数！n 坐标空间里，坐标空间里，(r-(r-R Rl l) )函数表示在函数表示在

44、R Rl l的格点，当满足上述的格点，当满足上述 条件时，其傅里叶变换也是条件时，其傅里叶变换也是(k-(k-K Kh h) )函数，表示的是倒空函数，表示的是倒空 间里的一个点！间里的一个点！01/081-8 1-8 倒格子倒格子 lRlRrr)()(通过傅里叶变换可得到通过傅里叶变换可得到nRKlh2hKhkKk)(定义：定义：对于布拉菲格子中所有的格矢对于布拉菲格子中所有的格矢R Rl l，有一系列动量空间有一系列动量空间矢量矢量K Kh h ，满足，满足的全部端点的集合，构成该布拉菲格子的的全部端点的集合，构成该布拉菲格子的倒格子倒格子，这些，这些点称为倒格点，点称为倒格点， K Kh

45、 h为倒格矢为倒格矢布拉菲格子也称为正格子，它们满足傅里叶变换关系，布拉菲格子也称为正格子，它们满足傅里叶变换关系，因此，倒空间也称为傅里叶空间因此，倒空间也称为傅里叶空间01/081-8 1-8 倒格子倒格子 nRKlh2332211aaalllRlnKlKlKlRKhhhlh2aaa332211ijji2ab332211bbbhhhKhb bj j就是倒格子基矢，就是倒格子基矢， K Kh h具有平移对称性具有平移对称性对于正格子对于正格子有有如果选择一组如果选择一组b b，使，使倒格子矢量倒格子矢量K Kh h表示什么含义？是正交关系！即表示什么含义？是正交关系！即b b1 1与与a a

46、2 2和和a a3 3正交！正交！看看a a2 2和和a a3 3确定的平面，即确定的平面，即a a2 2a a3 3矢量垂直于该平面矢量垂直于该平面01/081-8 1-8 倒格子倒格子 ijji2ab则有则有b1b1与与 平行平行可设可设利用正交关系有：利用正交关系有：32aa a3a232aa )a(a321b2)a(aaba32111然后可得：然后可得：2)a(aa2321)a(a2b321)a(aa321以它们为基以它们为基矢构成一个倒矢构成一个倒格子，倒格子每个格点的位置格子，倒格子每个格点的位置332211bbbhhhKh倒格子基矢倒格子基矢倒倒格子原胞体积是正格子原胞体积的倒数

47、：格子原胞体积是正格子原胞体积的倒数：1-8 1-8 倒格子倒格子 )a(a2b321)a(a2b132)a(a2b2133321*)2()b(bb二维倒格子二维倒格子1-8 1-8 倒格子倒格子 iab21jab22ai1abj2aaba2b2二维倒格子二维倒格子二维正格子二维正格子正正格子中一簇晶面格子中一簇晶面 和和 正交正交 )(321hhh332211bhbhbhKh可以证明得到可以证明得到与与晶面晶面ABCABC正交正交1-8 1-8 倒格子矢量与晶面对应关系倒格子矢量与晶面对应关系 hKhKhK注意不是密勒指数注意不是密勒指数( (hklhkl) )，而是面指数，而是面指数(h(

48、h1 1h h2 2h h3 3) )。意即该晶面族最靠近原点晶。意即该晶面族最靠近原点晶面的截距分别为面的截距分别为a a1 1/h/h1 1, a, a2 2/h/h2 2, a, a3 3/h/h3 33311/hahaOCOACA3322/hahaOCOBCB0CAKh0CBKh倒格子与晶格的几何关系倒格子与晶格的几何关系原点原点O O引晶面族引晶面族ABCABC的法线的法线ONON截取一段截取一段OP=OP=使使d=2d=2（d d是晶面间距）是晶面间距）每一个晶面族都有一个点每一个晶面族都有一个点P P以以OPOP为该方向的周期进行平移为该方向的周期进行平移得到一个新的点阵，即为倒

49、格子得到一个新的点阵，即为倒格子-晶格的一族晶面化为倒格子中的一个点晶格的一族晶面化为倒格子中的一个点， 在处理晶格问题上很有意义在处理晶格问题上很有意义设晶面设晶面 面间距为面间距为d d )(321hhhhhKKhad11得到得到1-8 1-8 倒格矢长度与面间距对应关系倒格矢长度与面间距对应关系 hK则则OAOA在其面法线方向在其面法线方向K Kh h的投的投影即为影即为d d33221113322111)(bhbhbhhbhbhbhahK2hhdK2注意：面间距是与晶面指数（注意：面间距是与晶面指数（对于原胞坐标对于原胞坐标）相关，而不是）相关，而不是密勒指数（密勒指数（对于晶胞坐标对

50、于晶胞坐标）！倒格矢代表晶面的法线方向！）！倒格矢代表晶面的法线方向！晶体结构晶体结构正正格子格子倒倒格子格子332211anananRn1.1.332211bhbhbhKh1.1.2.2.与晶体中的原子与晶体中的原子位置相对应位置相对应2.2.与晶体中的晶面族相与晶体中的晶面族相对应对应3.3.是与真实空间相联系的是与真实空间相联系的傅里叶傅里叶空间（空间（K K空间）中点空间）中点的周期性的周期性排列排列3.3.是真实空间中点的周期性是真实空间中点的周期性排列排列5. 5. 量纲为量纲为 长度长度 5. 5. 量纲为量纲为 长度长度 -1-11-8 1-8 正正倒格子对应关系倒格子对应关系

51、 4. 4. W-SW-S原胞原胞4. 4. 布里渊区布里渊区简立方简立方晶格的倒格子仍然是简立方格子。晶格的倒格子仍然是简立方格子。1-81-8 简单立方晶格简单立方晶格iab21jab22ai1abj2abk3akab23ijk正格子正格子倒格子倒格子体心立方晶格的倒格子是面心立方格子体心立方晶格的倒格子是面心立方格子1-81-8 体心立方晶格体心立方晶格)(21kjab)(22kiab)(2a1kjia)(23jiabijk)(2a2kjia)(2a3kjia正格子正格子倒格子倒格子面心立方晶格的倒格子是体心立方格子面心立方晶格的倒格子是体心立方格子1-81-8 面心立方晶格面心立方晶格

52、)(21kjiab)(22kjiab)(2a1kja)(23kjiabijk)(2a2kia)(2a3jia正格子正格子倒格子倒格子布里渊区：倒空间的布里渊区：倒空间的W-SW-S原胞原胞1-91-9 布里渊区布里渊区在倒空间中以某个格点为中心，作其与邻近格点的中垂面，在倒空间中以某个格点为中心，作其与邻近格点的中垂面，这些中垂面所包含最小体积的区域为布里渊区这些中垂面所包含最小体积的区域为布里渊区简单立方晶格简单立方晶格k k空间的二维示意图空间的二维示意图第一布里渊区又称第一布里渊区又称简约布里渊区简约布里渊区。其界面方程为：其界面方程为：kG2G2Gk0)2(GkG简约布里渊区的意义：简

53、约布里渊区的意义：1 1. . 由于由于晶格的平移对称性，晶格的平移对称性， 和和 （相差（相差一个倒格矢）一个倒格矢） 所对应的两个状态在物理上是等价的所对应的两个状态在物理上是等价的2. 2. 简约布里渊区内的全部波矢简约布里渊区内的全部波矢 代表了晶体中所有的电子态，代表了晶体中所有的电子态， 区区外的波矢都可通过平移倒格矢在该区内找到等价状态外的波矢都可通过平移倒格矢在该区内找到等价状态点点3. 3. 这样定义的布里渊区，它的边界面满足这样定义的布里渊区，它的边界面满足BraggBragg反射条件反射条件4. 4. 讨论固体性质时，可以只考虑第一布里渊区讨论固体性质时，可以只考虑第一布

54、里渊区kGkk为什么引入布里渊区？为什么引入布里渊区？1-91-9 布里渊区布里渊区简立方倒格子还是简立方简立方倒格子还是简立方kabjabiab2,2,2321第一第一布里渊区为原点布里渊区为原点和和6 6个近邻格点的垂直个近邻格点的垂直平分面围成的立方体平分面围成的立方体1-91-9 简立方布里渊区简立方布里渊区体心立方倒格子为面心立方体心立方倒格子为面心立方第一布里渊区第一布里渊区原点原点和和1212个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体)(21kjab)(22kiab)(23jiab1-91-9 体立方布里渊区体立方布里渊区面心立方倒格子为

55、体心立方面心立方倒格子为体心立方1-91-9 面立方布里渊区面立方布里渊区)(21kjiab)(22kjiab)(23kjiab第一第一布里渊区为原点和布里渊区为原点和8 8个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，和沿立方轴的面体，和沿立方轴的6 6个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角，形成的的六个角，形成的1414面体面体19011901诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖n W.C.W.C.伦琴伦琴n ( (德国德国) )n 发现伦琴射线发现伦琴射线(X(X射线射线) )从从X X射线衍射引出倒格矢概念射线衍射引

56、出倒格矢概念 M.V.M.V.劳厄劳厄 发现发现X X射线通过晶体时的衍射，射线通过晶体时的衍射，决定了决定了X X射线波长，证明了晶体射线波长，证明了晶体的原子点阵结构的原子点阵结构19141914诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖 W.H.W.H.布拉格布拉格 W.L.W.L.布拉格布拉格 用用X X射线分析晶体结构射线分析晶体结构19151915诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖QPA TAP Q Sd入射线与反射线之间的光程差：入射线与反射线之间的光程差： =SA=SA +A+A T=2d sin T=2d sin 把晶体对把晶体对X X射线的衍射看成是晶面对射线的衍射看成是晶面对X X射线的反射

57、射线的反射1-91-9 布拉格定律布拉格定律l 布拉格假设入射波从原子平面作镜面反射，但每个平面只反射很小布拉格假设入射波从原子平面作镜面反射，但每个平面只反射很小 部分（另外部分穿透），当反射波发生相长干涉时，就出现衍射极大部分（另外部分穿透），当反射波发生相长干涉时，就出现衍射极大l 只有入射的只有入射的1010-3-3 1010-5-5部分被每个面反射，大部分穿透，要有足够多的部分被每个面反射，大部分穿透，要有足够多的 原子面参与反射原子面参与反射满足衍射方程：满足衍射方程：2d2dh1h2h3h1h2h3 sin sin =n =n 可见光可以发生布拉格衍射吗？为什么？可见光可以发生布拉格衍射吗？为什么？如入射束全部反射了，如入射束全部反射了， 还有没有衍射图像？还有没有衍射图像？CO= -Rl S0 OD= Rl S衍射加强：衍射加强： Rl （ SS0 ）=n 由由：ko=(2 / ) S0 k=(2 / ) S k即即X射线的波矢射线的波矢得得：Rl （ kk0 ）= 2 n