2009年北京市西城区二模理科数学试卷（含答案）

1、 北京市西城区 2009年抽样测试 高三数学试卷（理科） 2009.5 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.题号分数 一 二 三总分151617181920 第卷(选择题 共40分)一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合A、B满足，那么下列各式中一定成立的是（ ） A. B. B A C. D. 2. 在复平面内，满足条件i)=2的复数z对应的点位于 （ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 设向量a=(1, x-1)，b=(x

2、+1,3)，则“x=2”是“a/b”的（ ）A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 已知一个平面，那么对于空间内的任意一条直线a，在平面内一定存在一条直线b，使得a与b（ ）A. 平行 B. 相交C. 异面 D. 垂直5. 已知函数，为的导函数，那么（ ）A. 将的图象向左平移个单位可以得到的图象 B. 将的图象向右平移个单位可以得到的图象 C. 将的图象向左平移个单位可以得到的图象 D. 将的图象向右平移个单位可以得到的图象6. 如果数列对任意满足，且，那么等于( ) A.1024 B. 512 C. 510 D. 2567. 设斜率为

3、1的直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，则使为整数的直线l共有（ ） A.4条 B. 5条 C. 6条 D. 7条8. 根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点OO x(m) yP(x, y)东北.沿正东偏北（）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但的大小以及何时改变方向不定. 如右图. 假定机器人行走速度为10米/分钟，设机器人行走2分钟时的可能落点区域为S，则S的面积（单位：平方米）等于（ ） A. B. C. D. 北京市西城区 2009年抽样测试 高三数学试卷（理科） 2009.5 第卷(非选择题 共110分)二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 3

4、0 分. 把答案填在题中横线上 .9. 函数的反函数是_.10. 设，则的内角=_. 11. 若的展开式中常数项为84，则a=_，其展开式中二项式系数之和为_.(用数字作答) 12 设P为曲线为参数)上任意一点，则的最小值为_.13. 已知一个球的表面积为，球面上有P、Q、R三点，且每两点间的球面距离均为，那么此球的半径r=_，球心到平面PQR的距离为_. 14. 已知集合，函数的定义域、值域都是，且对于任意，. 设是的任意一个排列，定义数表，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为_.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答

5、应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分12分） 已知函数.（）求的值域和最小正周期；（）设，且，求的值.16.（本小题满分12分）甲，乙两人射击，每次射击击中目标的概率分别是. 现两人玩射击游戏，规则如下：若某人某次射击击中目标，则由他继续射击，否则由对方接替射击. 甲、乙两人共射击3次，且第一次由甲开始射击. 假设每人每次射击击中目标与否均互不影响. () 求3次射击的人依次是甲、甲、乙的概率； () 若射击击中目标一次得1分，否则得0分(含未射击). 用表示乙的总得分，求的分布列和数学期望.17.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，D是AA1的中点.() 求异面直线与所

6、成角的大小；() 求二面角C-B1D-B的大小； C B C1 B1 A A1 D() 在B1C上是否存在一点E，使得平面? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.18.（本小题满分14分） 设R，函数() 当a=2时，试确定函数的单调区间； () 若对任何R，且，都有，求a的取值范围. 19.（本小题满分14分）已知的顶点A在射线上， A, B两点关于x轴对称，O为坐标原点，且线段AB上有一点M满足. 当点A在l上移动时，记点M的轨迹为W. () 求轨迹W的方程； ()设P(-1,0)，Q(2,0)，求证：.20.（本小题满分14分） 已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点在映射f

7、下的象为点，记作. 设，,. 如果存在一个圆，使所有的点都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点的一个收敛圆. 特别地，当时，则称点为映射f下的不动点. () 若点在映射f下的象为点. 求映射f下不动点的坐标； 若的坐标为(1,2)，判断点是否存在一个半径为3的收敛圆，并说明理由.() 若点在映射f下的象为点,(2,3). 求证：点存在一个半径为的收敛圆. 北京市西城区 2009年抽样测试参考答案 高三数学试卷（理科） 2009.5 题号12345678答案 CDADAACB一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分

8、. 9. 10. 11. 1，512 12. 4 13. 6， 14. 216注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15.（本小题满分12分）（）解： -2分， -4分因为(其中R)，所以，即函数的值域为. -6分函数的最小正周期为. -8分（）解：由（）得，所以， -9分因为，所以， -10分 所以， 所以 . -12分16.（本小题满分12分）（）解：记 “3次射击的人依次是甲、甲、乙” 为事件A. -1分由题意，得事件A的概率； -5分（）解：由题意，的可能取值为0,1,2， -6分； . 所以，的分布列为：012P-10分的数学期望

9、. -12分17.（本小题满分14分）方法一：（）解：如图，设F为BB1的中点，连接AF，CF，C G BC1 B1 A A1 D E F 直三棱柱，且D是AA1的中点， ， 为异面直线与所成的角或其补角. -2分 在Rt中，AB=1，BF=1， ，同理， 在中， 在中， 异面直线与所成的角为. -4分（）解：直三棱柱， 又，平面. -5分如图，连接BD，在中，即，是CD在平面内的射影，为二面角C-B1D-B的平面角. -7分在中, , BC=1, ，,二面角C-B1D-B的大小为. -9分（）答：在B1C上存在一点E，使得平面，此时.-10分以下给出证明过程.证明：如图，设E为B1C的中点，

10、G为BC的中点，连接EG，AG，ED， 在中， ，且， 又，且， ， 四边形为平行四边形， ， -12分 又平面ABC，平面ABC， 平面. -14分 方法二：（）如图，以B为原点，BC、BA、BB1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz， 则， , -2分，异面直线与所成的角为. -4分 C B C1 B1 A A1 Dxy z E G（）解：直三棱柱， 又，平面. -5分 如图，连接BD，在中，即，是CD在平面内的射影， 为二面角C-B1D-B的平面角. -7分， 二面角C-B1D-B的大小为. -9分（）同方法一. -14分18.（本小题满分14分）（）解：当时， 因为，所以在

11、上为增函数； -3分当时， -4分 由，解得， 由，解得， 所以在上为增函数，在上为减函数.综上，增区间为和，减区间为. -7分（）解：当时，由，得，即 ， 设 ， 所以（当且仅当时取等号）， 所以当时，有最大值， 因为对任何，不等式恒成立， 所以 ； -10分 当时，由，得，即， 设，则， 所以当，即时，有最小值， 因为对任何，不等式恒成立， 所以 . -13分综上，实数的取值范围为. -14分19.（本小题满分14分） （）解：因为A, B两点关于x轴对称，所以AB边所在直线与y轴平行. 设M(x, y)，由题意，得， -2分 所以， 因为，所以，即， -5分所以点M的轨迹W的方程为. -

12、6分（）证明：设， 因为曲线关于x轴对称， 所以只要证明“点M在x轴上方及x轴上时，”成立即可. 以下给出“当时，” 的证明过程. 因为点M在上，所以.当x0=2时，由点M在W上，得点， 此时， 所以，则； -8分 当时，直线PM、QM的斜率分别为， 因为，所以，且， 又，所以，且， 所以，-10分 因为点M在W上，所以，即， 所以， 因为， 所以， -12分 在中，因为，且， 所以. 综上，得当时，.所以对于轨迹W的任意一点M，成立. -14分20.（本小题满分14分）（）解：设不动点的坐标为， 由题意，得，解得， 所以映射f下不动点为. -2分结论：点不存在一个半径为3的收敛圆. 证明：由，得， 所以， 则点不可能