第六章信号的矢量空间分析

1、6.1 引言信号表示式与多维矢量之间存在许多形式上的类似，信号表示式与多维矢量之间存在许多形式上的类似，信号用多维矢量描述便于对信号的性能、信号分析与处信号用多维矢量描述便于对信号的性能、信号分析与处理进行更深入的研究。理进行更深入的研究。本章主要内容本章主要内容利用矢量空间方法研究信号理论的基本概念；利用矢量空间方法研究信号理论的基本概念；信号的正交函数分解；信号的正交函数分解；相关函数；相关函数；能量谱和功率谱；能量谱和功率谱；线性空间线性空间 范数范数 内积内积 柯西施瓦茨不等式柯西施瓦茨不等式一线性空间定义：定义：是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成是这样一种集合，其中任意两元素相

2、加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数）相乘后得到此集合内的另一元素数也可以是复数）相乘后得到此集合内的另一元素。例例:NNR 维实数空间维实数空间NNC 维维复复数数空空间间L 连连续续时时间间信信号号空空间间l 离离散散时时间间信信号号空空间间 若对于任一数若对于任一数 与任一元素与任一元素 ，总有唯，总有唯一的一个元素一的一个元素 与之对应，称为与之对应，称为 与与 的积，的积，记作记作R V V 定义定义 设设 是一个非空集合，是一个非空集合， 为实数域如果为实数域如果对于任意两个元素对于任意两个元素 ，总有唯

3、一的一个元，总有唯一的一个元素素 与之对应，称为与之对应，称为 与与 的和，记作的和，记作V ,V VR1010, ,. nnnnnpxnRP xa xaPaaxa a次数不超对于通常的多项式加法 数乘多项过 的式的多项式乘法构的全体成向记作即量空间例例2 2通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律算满足线性运算规律)()(0101bxbxbaxaxannnn )()()(0011baxbaxbannn xPn )(01axaxann )()()(01axaxann xPn .对运算封闭对运算封闭xPn例例 在区间在区间 上全体实连续函

4、数，对函数的上全体实连续函数，对函数的加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性空间空间,ba例例 正实数的全体，记作正实数的全体，记作 ，在其中定义加法，在其中定义加法及乘数运算为及乘数运算为 R ., RbaRaaabba 验证验证 对上述加法与乘数运算构成线性空间对上述加法与乘数运算构成线性空间 R证明证明;, RabbaRba., RaaRaR 所以对定义的加法与乘数运算封闭所以对定义的加法与乘数运算封闭二范数 表表示示，满满足足以以下下公公理理的的范范数数以以符符号号线线性性空空间间中中元元素素x x 。三角形不等式三角形不等式；有有量量

5、正齐性对所有数正齐性对所有数；时时当且仅当当且仅当正定性正定性yxyx3xx,20 x0 x, 0 x1 空空间间的的范范数数；与与NNC.R1 阶阶范范数数定定义义为为的的空空间间元元素素与与在在为为实实数数，令令pxxxxppNNN,CR,121 max 1 def111 pxpxxiNipNipip对于对于对于对于常用范数121 121 12 max 1,11 xxx 2(Euclidean) x在在二二维维或或三三维维实实数数矢矢量量空空间间中中，二二阶阶范范数数的的物物理理意意义义是是矢矢量量的的长长度度。也也称称为为欧欧氏氏范范数数或或欧欧氏氏距距。2.Ll连连续续时时间间信信号号

6、空空间间 和和离离散散时时间间信信号号空空间间 中中的的范范数数 1pLxpx连连续续时时间间信信号号空空间间 中中，元元素素 的的 阶阶范范数数定定义义如如下下 1d 1sup pppx ttpx tp x1,xj若若“上确界上确界”的概念是数学分析中最基本的概念。的概念是数学分析中最基本的概念。 考虑一个实数集合考虑一个实数集合M. 如果有一个实数如果有一个实数S，使得，使得M中任何数都不超过中任何数都不超过S,那么就称那么就称S是是M的一个上界。的一个上界。 在所有那些上界中如果有一个最小的上界，在所有那些上界中如果有一个最小的上界，就称为就称为M的上确界。的上确界。 一个有界数集有无数

7、个上界和下界，但是上一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个。确界却只有一个。 1p 1 sup pnpx npx np x这里这里sup表示信号的最小上界，对于定义在闭区间内的表示信号的最小上界，对于定义在闭区间内的信号，信号，sup表示其幅度值。表示其幅度值。 2,plx npx离离散散时时间间信信号号空空间间 中中 元元素素的的 阶阶范范数数的的定定义义(3)(3)常用的范数常用的范数 1d L x ttx空空间间 1 nx nlx空空间间可见，一阶范数表示信号作用的强度。可见，一阶范数表示信号作用的强度。一阶范数一阶范数 1222222L d d x ttx ttxx空空间

8、间即即 x x 2222122 nnnxnxl即即空间空间物理意义：二阶范数的平方表示信号的能量。物理意义：二阶范数的平方表示信号的能量。二阶范数二阶范数 L sup x tx空空间间 sup lx nx空空间间 ,号号的的幅幅度度。可可测测得得的的峰峰值值，也也即即信信表表示示信信号号闭闭区区间间上上的的物物理理意意义义：对对于于定定义义在在 xtx三内积11221222cosx yx y xy内积（点积）运算内积（点积）运算对应于二维矢量空间的对应于二维矢量空间的2211yxyx 1 2 1x2x1y2yxy 112212112222221212cosx yx yxxyy直角坐标平面内两矢

9、量相对位置关系直角坐标平面内两矢量相对位置关系利用范数符号，将矢量长度分别写作利用范数符号，将矢量长度分别写作12221221222122xxyyxy于是于是上式表明：给定的矢量长度，标量乘积式反映了两矢量上式表明：给定的矢量长度，标量乘积式反映了两矢量之间相对位置的之间相对位置的“校准校准”情况。即情况。即12cos0,90 , 两两矢矢量量之之夹夹角角为为标标量量乘乘积积为为零零12cos1,0 , 两两矢矢量量夹夹角角为为标标量量乘乘积积取取最最大大值值11221222cosx yx y xy112233x yx yx y多维多维1, Niiix yNx y维维实实线线性性空空间间1,

10、Niiix yNx y维维复复线线性性空空间间三维三维推广推广信号空间信号空间 d x t y ttx,y连连续续时时间间信信号号 Z nx n y nx,y离离散散时时间间信信号号对于对于L空间或空间或l空间，信号空间，信号x与其自身的内积运算为与其自身的内积运算为 222d x ttx,xx连连续续 222 n Zx nx,xx离离散散内的两连续信号的内积内的两连续信号的内积Ly, yx, xy, x2 四柯西施瓦茨不等式Cauchy-Schwarz不等式不等式证明柯西施瓦茨不等式Cauchy-Schwarz不等式不等式y, yx, xy, x2 证明证明: 21222211cosyx y

11、xyx即即2122cos,yxyx1,2yy,xx,yx所以所以y, yxx,y, x2 1,122yxyx则有则有对于二维矢量空间，已知有如下关系对于二维矢量空间，已知有如下关系6.3 信号的正交函数分解矢量的正交分解矢量的正交分解 正交函数正交函数正交函数集正交函数集复变函数的正交特性复变函数的正交特性将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号的特性。的特性。简化系统分析与运算，简化系统分析与运算， 总响应总响应=单元响应之和。单元响应之和。信号分解的目的2eVV1122eVc VV误差矢量误差矢量 122112cos()c VVVV1121212

12、121222222cos()cos()VVVVVVVV VcVV VV V系数系数120V V两矢量正交两矢量正交怎样分解，能得到最小的误差分量？怎样分解，能得到最小的误差分量？12 0c即即1V2V21Vc1eV2eVeV22Vc212Vc方式不是惟一的：方式不是惟一的：12VV用用表表示示，1121eVcVV一矢量的正交分解122ec VV222ec VV正交分解空间中任一矢量可分解为空间中任一矢量可分解为x,y,z三方向矢量。三方向矢量。 平面中任一矢量可分解为平面中任一矢量可分解为x,y二方向矢量。二方向矢量。一个三维空间矢量一个三维空间矢量 ，必须用三个正交，必须用三个正交的矢量来表

13、示，如果用二维矢量表示就会出现误差：的矢量来表示，如果用二维矢量表示就会出现误差：Vxiyjzh0 , hzVj yi xVe二正交函数 1212tttftft在在区区间间内内，信信号号用用表表示示，即即1122( )( )f tc ft误差误差 21222122211( )( )dtetftf tcftttt221212d , 0,dcc 为为求求使使最最小小的的必必需需使使求求得得21211212122222( )( )d( ),( ),( )dttttf tfttf tftcftftftt称称为为正正交交函函数数，满满足足则则，若若)(),(02112tftfc 2112( )( )d0

14、ttf t ftt 系数系数相关系数分解的原则：分解的原则：fe(t)的方均值最小，即误差信号功率的方均值最小，即误差信号功率( (能量能量) )最小。最小。,d)(1)(1222e122221cttftttftte最小时的最小时的，求，求令令 即即时时的的即即求求出出,0dd12122cc 求系数求系数c12 0d)()(dd221211221 ttfctfctt交换微积分次序交换微积分次序 0d)()()(2)(dd212122212122112 tttctftftfctfc(1) (2) (3)先微分先微分 0d )(2d)()(22121221221 ttfcttftftttt可得系数

15、为可得系数为 ttfttftfcttttd)(d)()(2121222112 )( 0)(dd )1(1212112ctftfc不含不含因为因为 )()(2)()(2dd )2(21211212tftftftfcc )(2)(dd )3(22122221212tfctfcc 再积分再积分)(),()(),(222112tftftftfc 有如下定义有如下定义设矩形脉冲设矩形脉冲tf 2 10 1tttf 最最小小。示示此此函函数数，使使方方均均误误差差之之间间内内近近似似表表在在区区间间，试试用用正正弦弦波波波波形形如如图图 2 , 0sin(a)t tf11 2to(a)例6-3-1 内内近

16、近似似为为在在区区间间函函数数 2 , 0tf4dsindsin)(2022012 tttttfc所以所以 ttfsin4 如如图图虚虚线线所所示示。的的正正弦弦波波近近似似波波形形是是振振幅幅为为,4应应满满足足为为使使方方均均误误差差最最小小，12c tf11 2to(a) tctfsin12 4 4例6-3-2 。函函数数之之间间内内来来近近似似表表示示余余弦弦在在区区间间试试用用正正弦弦函函数数ttcos2 , 0sin显然，由于显然，由于0dsincos20 ttt所以所以012 c两两函函数数正正交交。与与或或者者说说分分量量，不不包包含含正正弦弦信信号号余余弦弦函函数数即即ttt

17、tsincossincos,)(2tfO3 t1 30230d3sind3sin3ttttt例6-3-32 用正弦波逼近三角函数用正弦波逼近三角函数, , ? tfe 30 31 tttf， 30 3sin2 tttf， 3022302112d)(d)()(ttfttftfc)30(3sin2)(1 tttf)(212tfCO3t1 tf1)(tfeO3t1)(1tfO3 t1)()()(2121tfctftfe 所以所以三正交函数集任意信号任意信号f(t)可表示为可表示为n维正交函数之和：维正交函数之和： nrrrnnrrtgctgctgctgctgctf12211)()()()()()(原

18、函数原函数近似函数近似函数 )(),()(),( d)()(d)(d)()(2121212 tgtgtgtfKttgtfttgttgtfcrrrrttrttrttrr 相相互互正正交交：tgtgtgr21, jiKjittgtgittji, 0d)()(21r =0,1,2,.n基底函数基底函数 正正交交函函数数集集tgtgtgr21,分解原则是误差函数方均值最小 212221121( ) ( )( ) d nterrtreftf tc g ttttf 误误差差信信号号能能量量误误差差信信号号功功率率222212 0,0,0,0rrncCCCC 令令可可得得 表表达达式式理解2211212(

19、)( )d( )( )d( )dttrrttrtrrtf t g ttf t g ttcKgtt正交函数集规定：正交函数集规定： 所有函数应两两正交。所有函数应两两正交。 不能因一个函数集中某几个函数相互正交就说该不能因一个函数集中某几个函数相互正交就说该函数集是正交函数。函数集是正交函数。 是相互独立的，互不影响，计算时先抽取是相互独立的，互不影响，计算时先抽取哪一个都可以，非正交函数就无此特性。哪一个都可以，非正交函数就无此特性。 12,nc cc此公式是个通式，适合于任何正交函数集。此公式是个通式，适合于任何正交函数集。两周期信号在同一周期内两周期信号在同一周期内(同区间内同区间内)正交

20、的条件是正交的条件是c12=0，即：，即： 总结 0d)()(21 Tttftf两个信号不正交，就有相关关系，必能分解出另一两个信号不正交，就有相关关系，必能分解出另一信号。信号。对一般信号在给定区间正交，而在其他区间不一定对一般信号在给定区间正交，而在其他区间不一定满满足正交。足正交。四.复变函数的正交特性21*( )( )d( ),( )0tijijtg t g ttg tg tij21*( )( )d( ),( )tiiiiitg t g ttg tg tK( ) ,(0,1,2, )( ),rg trnf t用用表表示示求求系系数数的共轭的共轭为为)()(,d)()(d)()(2121

21、tgtgttgtgttgtfcrrttrrttrr 则此复变函数集为正交函数集。则此复变函数集为正交函数集。22111221( )( )d( )( )d0 ttttf tfttf tftt 12,1,2,rt tgtrn若若在在区区间间内内，复复变变函函数数集集满满足足关关系系12,t t两两复复变变函函数数在在区区间间内内相相互互正正交交的的条条件件是是6.4 6.4 完备正交函数集、完备正交函数集、帕塞瓦尔定理帕塞瓦尔定理完备正交函数集完备正交函数集帕塞瓦尔定理帕塞瓦尔定理定义定义1 1： 定义定义2 2： 一完备正交函数集11221( )( )( )( )( )( )nrrnnrrrf

22、tc g tc g tc g tc gtc g t 22120,rnnngtgtgtgt 当当 增增加加时时， 下下降降，若若，则则，此此时时为为完完备备的的正正交交函函数数集集。 2112,( )( )d0,trtrnx tg tx ttx tgtgtgtgt如如果果存存在在函函数数有有，则则必必属属于于此此正正交交函函数数集集，原原函函数数集集不不完完备备。二帕塞瓦尔定理设设 为完备的正交函数集，即为完备的正交函数集，即 )(tgr误差函数误差函数 210d)()(1)(21122ettrrrttgctftttf即即 212121122120d)(d)()(2d)(ttrttrrrrrtt

23、ttgcttftgcttf因为因为 21212( )( )d( )dtrtrtrtf t g ttcgtt 2121d)(d)()(2ttrrttrttgcttgtf代入代入 0d)(d)(2d)(122122212121 rttrrrttrrrttttgcttgccttf 121222212121d)(ddrttrrrttrrttttgcttgcttf即即 物理意义物理意义： 一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量（功率）之和。完备正交函数集中各分量能量（功率）之和。 121222212121d)(ddrttrrrttr

24、rttttgCttgCttf信号的信号的能量能量基底信号的基底信号的能量能量各信号分量的各信号分量的能量能量数学本质：矢量空间信号正交变换的范数不变性。数学本质：矢量空间信号正交变换的范数不变性。能量信号与功率信号能量信号与功率信号相关系数与相关函数相关系数与相关函数相关与卷积的比较相关与卷积的比较相关定理相关定理 6.62( )( )p tit R在一个周期内，在一个周期内，R消耗的能量消耗的能量 000022222( )d( )dTTTTEp ttRitt002221TTEu ttR( )d 或平均功率可表示为平均功率可表示为0022021( )dTTPRittT0022021 1TTPu

25、 ttT R( )d 或设设i(t)为流过电阻为流过电阻R的电流，的电流，v(t)为为R 上的电压上的电压 R)(ti )(tv瞬时功率为瞬时功率为一能量信号和功率信号定义讨论上述两个式子，只可能出现两种情况：讨论上述两个式子，只可能出现两种情况：( (有限值有限值) ) ( (有限值有限值) ) 满足满足式的称为能量信号，满足式的称为能量信号，满足式称功率信号。式称功率信号。0E0 P0P E定义：一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比定义：一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比。令令R = 1 ，则在整个时间域内，实信号，则在整个时间域内，实信号f(t)的的00022021( )d

26、limTTTPfttT平均功率平均功率000222( )dlimTTTEftt能量能量一般规律一般周期信号为功率信号。一般周期信号为功率信号。非周期信号，在有限区间有值，为能量信号。非周期信号，在有限区间有值，为能量信号。还有一些非周期信号，也是非能量信号。还有一些非周期信号，也是非能量信号。如如u(t)是功率信号；是功率信号；而而tu(t)为非功率非能量信号为非功率非能量信号; ;(t)是无定义的非功率非能量信号。是无定义的非功率非能量信号。例6-5-1判断下面的信号是功率信号还是能量信号。判断下面的信号是功率信号还是能量信号。)(1tf4T 4TtAO T2 24421( )dTTTPft

27、t2442cosdTTAttT 2d212cos22442AttATTT 0P 224limlimTTTAEPT 为功率信号为功率信号所以所以tf1数学本质数学本质: 相关系数是信号矢量空间内积与范数特征的相关系数是信号矢量空间内积与范数特征的具体表现。具体表现。 物理本质物理本质: 相关与信号能量特征有着密切联系。相关与信号能量特征有着密切联系。 1212121122( ),( )( ),( )( ),( )f tftf tf tftft 121222( ),( )( )( )f tftf tft1相关系数12 由两个信号的内积所决定：由两个信号的内积所决定：二相关系数与相关函数 12212

28、12ftftftftc 假假定定和和是是能能量量有有限限的的实实信信号号。用用逼逼近近，选选择择使使误误差差最最小小，则则有有 ttfttftfcdd222112 ttfttftfttftttfttftftftfdddddd222212122221212 相关系数此时，能量误差为此时，能量误差为令相对能量误差为令相对能量误差为 2122121d ttf其中其中 1212121222122212d,ddft fttftftftftfttftt 的的相相关关系系数数。与与称称为为tftf2112 由柯西施瓦尔茨不等式，得由柯西施瓦尔茨不等式，得 12221212dddft fttfttftt所以所

29、以121 21212,1,ftft 若若与与完完全全一一样样此此时时等等于于零零 21212,0,ftft 若若与与为为正正交交函函数数此此时时最最大大 1212, ftft 相相关关系系数数从从信信号号能能量量误误差差的的角角度度描描述述了了信信号号与与的的相相关关特特性性 利利用用矢矢量量空空间间的的的的内内积积运运算算给给出出了了定定量量说说明明。2相关函数f1(t)与与f2(t)是能量有限信号是能量有限信号f1(t)与与f2(t)为实函数为实函数f1(t)与与f2(t)为复函数为复函数f1(t)与与f2(t)是功率有限信号是功率有限信号f1(t)与与f2(t)为实函数为实函数f1(t)

30、与与f2(t)为复函数为复函数分如下几种情况讨论：分如下几种情况讨论：(1)f1(t)与f2(t)是能量有限信号 f1(t)与与f2(t)为实函数为实函数: 相关函数定义相关函数定义: 1212( )( )()dRf t ftt12()( )df tftt 2112( )()( )dRf tftt12( )()df t f tt 可以证明：可以证明： 1221( )()RR 时，自相关函数为时，自相关函数为当当)()()(21tftftf ( )( ) ()dRf t f tt () ( )df tf tt ( )()RR 的偶函数的偶函数相关函数：相关函数： *1212( )( )()dRf

31、 t ftt *12()( )df tftt *2112( )()( )dRftf tt *12( )()dft f tt *( )( )()dRf t ftt *() ( ) df tf tt 同时具有性质：同时具有性质： *1221( )()RR *( )()RR (1)f1(t)与f2(t)是能量有限信号 f1(t)与与f2(t)为复函数为复函数: 相关函数：相关函数： 2121221( )lim( )()dTTTRf t fttT 2212121( )lim( )()dTTTRft f ttT自相关函数：自相关函数： 221( )lim( )()dTTTRf t f ttT (2)f1

32、(t)与f2(t)是功率有限信号 f1(t)与与f2(t)为实函数为实函数: 相关函数：相关函数： *2121221( )lim( )()dTTTRf t fttT *2212121( )lim( )()dTTTRft fttT自相关函数：自相关函数： *221( )lim( )()dTTTRf t fttT (2)f1(t)与f2(t)是功率有限信号 f1(t)与与f2(t)为复函数为复函数: 两者的关系两者的关系 1212( )( )*()Rtf tft即即 1( )f t2( )f t与与 为实偶函数，则其卷积与相关完全相同。为实偶函数，则其卷积与相关完全相同。 2( )f t反褶与反褶

33、与 1( )f t之卷积即得之卷积即得 1( )f t2( )f t与与 的相关函数的相关函数 12( )Rt 三相关与卷积的比较 )(1tf)(2tf与与 卷积表达式：卷积表达式： 1212( )*( )( )()df tftfft )(1tf)(2tf与与 相关函数表达式：相关函数表达式： 1212( )( )()dRtf t f tt 说明 0,0tR自自相相关关在在时时 相相关关性性最最强强最最大大。 12,ftft若若与与为为实实偶偶函函数数 则则卷卷积积与与相相关关完完全全相相同同。相关与卷积类似，都包含移位，相乘和积分三个步相关与卷积类似，都包含移位，相乘和积分三个步骤，差别在于

34、卷积运算需要反褶，而相关不需要反褶。骤，差别在于卷积运算需要反褶，而相关不需要反褶。 例6-5-2 的的自自相相关关函函数数。求求周周期期余余弦弦信信号号tEtf1cos 对此功率有限信号，由自相关函数的定义，有对此功率有限信号，由自相关函数的定义，有 222211222111112222112211limdlimcoscosdlimcoscoscossinsindlimcoscosdcos2TTTTTTTTTTTTRf t f ttTEtttTEttttTEttTE此例结论1. 周期信号自相关函数仍为周期信号周期信号自相关函数仍为周期信号,且周期相同且周期相同。2.自相关函数是一偶函数，自相

35、关函数是一偶函数，R(0)为最大值。为最大值。3.余弦函数自相关函数仍为余弦余弦函数自相关函数仍为余弦;同理可证，任意相位的同理可证，任意相位的正弦，余弦之自相关函数仍为余弦。正弦，余弦之自相关函数仍为余弦。四相关定理 若已知若已知 11( )( )f tF F22( )( )f tF F则则 *1212( )( )( )RFF F若若12( )( )( ),f tftf t( )( )f tF F则自相关函数为则自相关函数为 2( )( )RF F由相关函数定义可知由相关函数定义可知 *1212( )( )()dRf t ftt 取傅里叶变换取傅里叶变换j1212( )( )edF RR *

36、j12( )()d edf t ftt*j12( )( )edf t Ft *12( )( )FF同理可得：同理可得： *2112( )( )( )F RFF 相关定理证明*j12( )eddf tftt 说明1.相关定理表明：两信号互相关函数的傅里叶变换等于相关定理表明：两信号互相关函数的傅里叶变换等于其中第一个信号的变换与第二个信号变换其中第一个信号的变换与第二个信号变换取共轭取共轭两者之两者之积。积。2.自相关函数的傅里叶变换等于原信号自相关函数的傅里叶变换等于原信号幅度谱的平方幅度谱的平方。 *22,3.FF 若若是是实实偶偶函函数数 此此时时此此时时相相关关定定理理与与卷卷积积定定理

37、理具具有有相相同同的的结结果果。 6.7能量谱与功率谱1.能量谱 由相关定理知由相关定理知 2( )( )RF F2j1( )( ) ed2RF 所以所以21(0)( ) d2RF又能量有限信号的自相关函数是又能量有限信号的自相关函数是*( )( )()dRf t ftt 2(0)( ) dRf tt有下列关系有下列关系 2(0)( ) dRf tt21( ) d2F 2( ) dF ff若若 为实数为实数,上式可写成上式可写成 )(tf2(0)( )dRftt21( ) d2F 2( ) dF ff帕塞瓦尔方程帕塞瓦尔方程定义定义能量谱密度（能谱）能量谱密度（能谱） 2( )( )F 所以有

38、所以有 ( )( )F R 1( )( )RF 所以能谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换对。所以能谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换对。2(0)( ) dRf tt21( ) d2F 2( ) dF ff2功率谱是功率有限信号是功率有限信号 )(tffT(t)f(t)ttT2T2-T( ) 2 ( )0 2Tf ttftTt令令TT( )( )ftF FT是是 有限的有限的 ，能量有限，能量有限2212TTTfttF TE( )dlim( ) d 2222TTTfttftt( )d( )d 则则 )(tf的平均功率为：的平均功率为： 2T222( )11lim( )dlimd2TTTTFPft

39、tTT 定义定义 2T( )( )limTFST f(t)的功率密度函数的功率密度函数(功率谱）功率谱） 一个一个 极限的概念，极限的概念，单位频带内信号功率随频率的变化情况，单位频带内信号功率随频率的变化情况，无相位信息无相位信息t212TRF j( )( ) ed 并取并取 两端乘以两端乘以 T1 T可以得到：可以得到： j1( )( )ed2RS j( )( )edSR即即 1( )( )( )( )SRRp FF功率有限信号的功率谱函数与自相关函数功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换。是一对傅里叶变换。 利用相关定理有：利用相关定理有： 221TTTRf t ftTli

40、m ( )( ) *()d 例6-6-1221( )lim( ) ()dTTTRf t f ttT 22112 limcos() cos() dTTTEtttT221112limcos() cos() cos()TTTEttT求余弦信号求余弦信号1( )cos()f tEt 的自相关函数和功率谱。的自相关函数和功率谱。为功率信号为功率信号,)(tf所以自相关函数为所以自相关函数为:11sin() sin() dtt 21cos()2E 因为功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是因为功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一一对傅里叶变换对傅里叶变换, ,所以功率谱为所以功率谱为: :211()()2E 求功率谱( )( )SF R j ( )edR 例6-6-2白噪声，其功率谱密度为白噪声，其功率谱密度为 , NSN 利用维纳利用维纳-欣钦关