双曲线及其标准方程(公开课) 公开课 一等奖

1、抚州一中抚州一中 张志恒张志恒开普勒开普勒伽利略伽利略华罗庚华罗庚牛顿牛顿生活中的双曲线生活中的双曲线开普勒开普勒伽利略伽利略华罗庚华罗庚牛顿牛顿第第1关：关：请同学们指出请同学们指出下面图中的双下面图中的双曲线曲线.开普勒开普勒伽利略伽利略华罗庚华罗庚牛顿牛顿第第2关：关：请同学们通请同学们通过下面实验过下面实验得出双曲线得出双曲线定义定义.生活感知生活感知11取一条拉链，拉取一条拉链，拉开，在两支上各选开，在两支上各选一不对称两点；一不对称两点；22如图把它固定在如图把它固定在 板上的两点板上的两点F F1 1，F F2 2；3 3 笔尖套住拉链笔尖套住拉链头拉动；头拉动；思考思考：笔尖运

2、动的：笔尖运动的 轨迹是什么？轨迹是什么？生活感知生活感知 观察观察AB两图探究双曲线的定义两图探究双曲线的定义 如图如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a如图如图(B)， |MF2|- -|MF1|=|F1F|=2a由可得：由可得： | |MF1|- -|MF2| | = 2a （差的绝对值）差的绝对值）上面上面 两条合起来叫做双曲线两条合起来叫做双曲线右支右支左支左支同学们：恭喜通过第二关同学们：恭喜通过第二关开普勒开普勒伽利略伽利略华罗庚华罗庚牛顿牛顿第第3关：关：请同学们请同学们探究出双探究出双曲线的标曲线的标准方程准方程.二、双曲线标准方程的推导 建系建系1F2F使使

3、 轴经过两焦点轴经过两焦点 ， 轴为线段轴为线段 的垂直平分线的垂直平分线.x21,FF1 2FFyxyO 设点设点设设 是是双曲线上任一点，双曲线上任一点，),(yxMM 焦距为焦距为 ，那么那么 焦点焦点 )0(2cc)0,(),0,(21cFcF 列式列式aMFMF221将上述方程化为：将上述方程化为： aycxycx22222移项两边平方后整理得：移项两边平方后整理得： 222ycxaacx两边再平方后整理得：两边再平方后整理得： 22222222acayaxac由双曲线定义知：由双曲线定义知： ac22 即：即：ac 022ac设设 0222bbac代入上式整理得：代入上式整理得：

4、122222acyax两边同时除以两边同时除以 得：得：222aca)0,0(12222babyax化简化简这个方程叫做双曲线的标准方程这个方程叫做双曲线的标准方程 ，它所表示的双曲线的焦，它所表示的双曲线的焦点在点在x轴轴上，焦点是上，焦点是 F1(-c，0)，F2(c，0). 其中其中c2=a2+b2.类比椭圆的标准方程，请思考焦点在类比椭圆的标准方程，请思考焦点在y轴轴上的双上的双曲线的标准方程是什么？曲线的标准方程是什么？1F2FxyO)0,0(12222babxay其中c2=a2+b2.这个方程叫做双曲线的这个方程叫做双曲线的标准方程标准方程 ，它所表示的双曲线的焦，它所表示的双曲线

5、的焦点在点在y轴轴上，焦点是上，焦点是 F1(0，-c)，F2(0，c).)0, 0( 12222babxay)0, 0( 12222babyax三三. .双曲线两种双曲线两种标准方程标准方程 如果如果 的系数是正的，则焦点在的系数是正的，则焦点在 轴上；如果轴上；如果 的系数是正的，则焦点在的系数是正的，则焦点在 轴上。轴上。2xx2yyOMF2F1xyF2 2F1 1MxOy通过描点大致画出图像通过描点大致画出图像感受标准方程感受标准方程1422yx同学们：恭喜通过第三关同学们：恭喜通过第三关开普勒开普勒伽利略伽利略华罗庚华罗庚牛顿牛顿第第4关：关：同学们，考考同学们，考考你们你们.求出求

6、出 及焦点坐标及焦点坐标cba, 222222221121422314 23642xyxyxyxy 答案：答案： 12,2,6(6,0),( 6,0)abc 22,1,3(3,0),( 3,0)abc 32,2,6(0,6).(0,6)abc 43,2,5 ( 5,0),(5,0)abc变式训练变式训练题后反思：求标准方程要做求标准方程要做到先定型，后定到先定型，后定量。量。例例1、已知双曲线的焦点、已知双曲线的焦点 F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线上，双曲线上一点一点P到焦点的距离差的绝对值等于到焦点的距离差的绝对值等于8，求双曲线的，求双曲线的标准方程。标准方程。若若|PF1|-|PF2|=8呢？呢？221(0)169xyx 求焦点在求焦点在 轴上轴上，经过点，经过点 的双曲线的标准方程的双曲线的标准方程 .x)2,315(),3,2(思考思考: :如果方程如果方程 表示双表示双曲线，求曲线，求m的取值范围的取值范围. .22121xymm解解: :22121xymm 例例2 ：21得或mm (2)(1)0由m m2m 同学们：恭喜通过第四关同学们：恭喜通过第四关双曲线的定义双曲线的定义双曲线的标准方程双曲线的标准方程选做题：选做题：课