第一章逻辑代数基础

1、数字电子技术基础（第四版）教学课件南京航空航天大学自动化学院南京航空航天大学自动化学院 傅大丰傅大丰电子信箱：fdf_联系电话：一章第一章 逻辑代数基础逻辑代数基础1.1 1.1 数字电路的基本概念数字电路的基本概念1.2 1.2 逻辑逻辑代数中的三种基本运算代数中的三种基本运算1.3 1.3 逻辑逻辑代数的基本公式和常用公式代数的基本公式和常用公式1.4 1.4 逻辑逻辑代数的基本定理代数的基本定理1.5 1.5 逻辑逻辑函数及其表示方法函数及其表示方法1.6 1.6 逻辑逻辑函数的公式化简法函数的公式化简法1.7 1.7 逻辑逻辑函数的卡诺图化简法函数的卡诺图化简

2、法1.8 1.8 具有无关项的具有无关项的逻辑逻辑函数及其化简函数及其化简1.1 1.1 数字电路的基本概念数字电路的基本概念1.1.1 1.1.1 数字量和模拟量数字量和模拟量1.1.2 1.1.2 数制和码制数制和码制1.1.1 1.1.1 数字量和模拟量数字量和模拟量一、模拟量与数字量一、模拟量与数字量模拟量模拟量时间连续数值也连续的物理量。例如温度、时间连续数值也连续的物理量。例如温度、速度等。速度等。数字量数字量在时间上和数值上均是离散的。如生产线上在时间上和数值上均是离散的。如生产线上记录零件个数，啤酒生产线啤酒的个数等。记录零件个数，啤酒生产线啤酒的个数等。 二、模拟信号与数字信

3、号二、模拟信号与数字信号 模拟信号模拟信号表示表示模拟量模拟量的信号（时间连续数值也连的信号（时间连续数值也连续的信号）。如热电偶在工作时输出的电压信号，温度续的信号）。如热电偶在工作时输出的电压信号，温度等。等。 数字信号数字信号表示表示数字量数字量的信号（的信号（在时间上和数值上在时间上和数值上均是离散的）。如电子表的秒信号，生产线上记录零件均是离散的）。如电子表的秒信号，生产线上记录零件个数的记数信号等。个数的记数信号等。 电电子子电电路路中中的的信信号号模拟信号模拟信号数字信号数字信号时间连续的信号时间连续的信号时间和幅度都是离散的时间和幅度都是离散的例：正弦波信号、锯齿波信号等。例：

4、正弦波信号、锯齿波信号等。例：产品数量的统计、数字表盘例：产品数量的统计、数字表盘的读数、数字电路信号等。的读数、数字电路信号等。模拟信号tV(t)tV(t)数字信号数字信号高电平高电平低电平低电平上跳沿上跳沿下跳沿下跳沿5V(V)0t(ms)102030 4050数字信号在电路中常表现为数字信号在电路中常表现为突变突变的电压或电流。的电压或电流。 模拟电路模拟电路指工作在指工作在模拟信号模拟信号下的电下的电子电路。子电路。数字电路数字电路指工作在指工作在数字信号数字信号下的电下的电子电路。子电路。 三、模拟电路与数字电路三、模拟电路与数字电路模拟电路主要研究内容：模拟电路主要研究内容：输入、

5、输出信号间的大小、输入、输出信号间的大小、相位、失真等方面的关系。主要采用相位、失真等方面的关系。主要采用方法，动态性能则用方法，动态性能则用分析。分析。在模拟电路中，晶体管一般工作在在模拟电路中，晶体管一般工作在区；在数字电路中，三极管工作在区；在数字电路中，三极管工作在，即工作在饱和区和截止区。，即工作在饱和区和截止区。 数字电路主要研究数字电路主要研究内容内容：电路输出、输入间的逻辑关电路输出、输入间的逻辑关系。主要的工具是系。主要的工具是，电路的功能用，电路的功能用表示。表示。模拟电路与数字电路模拟电路与数字电路比较比较1）电路的特点）电路的特点2）研究的内容）研究的内容模拟电路研究的

6、问题模拟电路研究的问题基本电路元件基本电路元件:基本模拟电路基本模拟电路:晶体三极管晶体三极管场效应管场效应管集成运算放大器集成运算放大器 信号放大及运算信号放大及运算 (信号放大、功率放大）信号放大、功率放大） 信号处理（采样保持、电压比较、有源滤波）信号处理（采样保持、电压比较、有源滤波） 信号发生（正弦波发生器、三角波发生器、信号发生（正弦波发生器、三角波发生器、）3）研究的问题）研究的问题数字电路研究的问题数字电路研究的问题基本电路元件基本电路元件基本数字电路基本数字电路 逻辑门电路逻辑门电路 触发器触发器 组合逻辑电路组合逻辑电路 时序电路（寄存器、计数器、脉冲发生器、时序电路（寄存

7、器、计数器、脉冲发生器、 脉冲整形电路）脉冲整形电路） A/D转换器、转换器、D/A转换器转换器 有两种逻辑体制：有两种逻辑体制： 正逻辑体制正逻辑体制规定：高电平为逻辑规定：高电平为逻辑1，低电平为逻辑，低电平为逻辑0。 负逻辑体制负逻辑体制规定：低电平为逻辑规定：低电平为逻辑1，高电平为逻辑，高电平为逻辑0。 下图为采用下图为采用逻辑体制所表示的逻辑信号：逻辑体制所表示的逻辑信号：四、正逻辑与负逻辑四、正逻辑与负逻辑 数字信号是一种二值信号，用两个电平（高电平和低电数字信号是一种二值信号，用两个电平（高电平和低电平）分别来表示两个逻辑值（逻辑平）分别来表示两个逻辑值（逻辑1和逻辑和逻辑0）

8、。）。 逻辑逻辑0 逻辑逻辑0 逻辑逻辑0 逻辑逻辑1 逻辑逻辑1 逻辑，如何？逻辑，如何？ 五、数字信号的主要参数五、数字信号的主要参数 一个理想的周期性数字信号，可用以下几个参数来描绘：一个理想的周期性数字信号，可用以下几个参数来描绘： Vm信号幅度。信号幅度。 T信号的重复周期。信号的重复周期。 tW脉冲宽度。脉冲宽度。 q占空比。其定义为：占空比。其定义为： %100(%)WTtq5V(V)0t(ms)twTVm 图中所示为图中所示为三个周期相同三个周期相同（T T=20ms=20ms），），但幅度、脉冲但幅度、脉冲宽度及占空比宽度及占空比各不相同的数各不相同的数字信号。字信号。Vt(

9、V)(ms)501020304050Vt(V)(ms)01020304050Vt(V)(ms)010203040503.610(a)(b)(c) 1.1.2 1.1.2 数数 制制一、几种常用的计数体制一、几种常用的计数体制 1.1.十进制十进制(Decimal)(Decimal) 2. 2.二进制二进制(Binary)(Binary) 3. 3.十六进制十六进制(Hexadecimal)(Hexadecimal)与八进制（与八进制（OctalOctal） 逢逢N进一进一 ，N10，2，16，8， N称为十进制：十进制：以以十十为基数的记数体制。为基数的记数体制。表示数的十个数码：表示数的十个

10、数码：1、2、3、4、5、6、7、8、9、0遵循遵循逢十进一逢十进一的规律。的规律。157 =012107105101 一个十进制数数一个十进制数数 N 可以表示成：可以表示成：iiiDKN10)(若在数字电路中采用十进制，必须要有若在数字电路中采用十进制，必须要有十个电十个电路状态与十个记数码路状态与十个记数码相对应。这样将在技术相对应。这样将在技术上带来许多困难，而且很不经济上带来许多困难，而且很不经济):。二进制：二进制：以二为基数的记数体制以二为基数的记数体制 。表示数的两个数码：表示数的两个数码：0、1遵循遵循逢二进一逢二进一的规律。的规律。iiiBKN2）（1001）B =0123

11、21202021 = (9)D二进制的二进制的优优点：点：用电路的用电路的两两个状态个状态-开开/关关来表示来表示二进制数，数码的存储和传输简单、可靠。二进制数，数码的存储和传输简单、可靠。二进制的二进制的缺缺点：点：位数较多，使用不便；不合人们位数较多，使用不便；不合人们的习惯，的习惯，输入输入时将时将十进制转换成二进制十进制转换成二进制，运，运算结果算结果输出输出时时再转换成十进制数再转换成十进制数。十六进制和八进制十六进制和八进制十六进制记数码：十六进制记数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A(10)、B(11)、C(12)、D(13)、E(14)、F(15)(4E6)H=4

12、162+14 161+6 160= (1254)D(F)H(1111)B说明：说明：十六进制的一位对应二进制的四位。十六进制的一位对应二进制的四位。 十六进制与二进制之间的转换。十六进制与二进制之间的转换。Hexadecimal：十六进制的：十六进制的Decimal：十进制的：十进制的Binary：二进制的：二进制的(0101 1001)B=0 27+1 26+0 25+1 24+1 23+0 22+0 21+1 20D=(0 23+1 22+0 21+1 20) 161+(1 23+0 22+0 21+1 20) 160D= (59)H每四位每四位2进制进制数对应一位数对应一位16进制数进制

13、数(10011100101101001000)B=从末位开始从末位开始四位一组四位一组(1001 1100 1011 0100 1000)B()H84BC9= (9CB48)H八进制与二进制之间的转换。八进制与二进制之间的转换。(10011100101101001000)O=从末位开始从末位开始三位一组三位一组(10 011 100 101 101 001 000)B ()O01554=(2345510)O32八进制记数码：八进制记数码：0、1、2、3、4、5、6、7(7)O(111)B说明：说明：八进制的一位对应二进制的三位。八进制的一位对应二进制的三位。例例1.1.11.1.1 将二进制数

14、将二进制数10011.10110011.101转换成十进制转换成十进制数。数。 解：解：将每一位二进制数乘以将每一位二进制数乘以位权位权，然后相加，然后相加，可得可得 (10011.101)(10011.101)B B1 12 24 40 02 23 30 02 22 21 12 21 11 12 20 01 12 21 10 02 22 21 12 23 3 （19.625)19.625)D D二、不同数制之间的相互转换二、不同数制之间的相互转换 1)1)二进制转换成十进制二进制转换成十进制02iiiDKN）（222011KKNiiiD）（2221222KKNiiiD）（两边除两边除2，余第

15、，余第0位位K0商两边除商两边除2，余第，余第1位位K1十进制与二进制之间的转换方法：十进制与二进制之间的转换方法：可以用二除十进制可以用二除十进制数，余数是二进制数的第数，余数是二进制数的第0位位K0，然后依次用二除所，然后依次用二除所得的商，余数依次是第得的商，余数依次是第1位位K1 、第、第2位位K2 、。 2)2)十进制转换成二进制十进制转换成二进制231152122222余0余1余1余1余10bbbbb01234读取次序例例1.1.21.1.2 将十进制数将十进制数2323转换成二进制数。转换成二进制数。解：解： 用用“除除2 2取余取余”法转换法转换: :则（则（23)23)D D

16、 = =（10111)10111)B B225 余余 1 K0122 余余 0 K162 余余 0 K232 余余 1 K312 余余 1 K40例例1.1.3：十进制数十进制数25转换成二进制数的转换过程：转换成二进制数的转换过程：(25)D=(11001)B三、二进制码三、二进制码数字系统的信息数字系统的信息数值数值文字符号文字符号二进制代码二进制代码编码编码为了表示字符为了表示字符代码代码不同数码不仅可以表示数量的不同大不同数码不仅可以表示数量的不同大小，而且还能用来表示不同的事物。如身份证，小，而且还能用来表示不同的事物。如身份证，汽车牌照等。汽车牌照等。码制码制编码时遵循的一定的规则

17、。南京身份编码时遵循的一定的规则。南京身份证为证为3201XXXXX3201XXXXX。为了分别表示为了分别表示个字符，所需的二进制数的最小个字符，所需的二进制数的最小位数：位数：Nn2 编码可以有多种，数字电路中所用的主要是二编码可以有多种，数字电路中所用的主要是二十进制码（十进制码（BCD - inary- oded-ecimal码）。码）。BCD码码用用二进制二进制代码来表示代码来表示十进制十进制的的09十个十个数数。 要用二进制代码来表示十进制的要用二进制代码来表示十进制的09十个数，至少要十个数，至少要用用4位二进制数。位二进制数。 4位二进制数有位二进制数有16种组合，可从这种组合

18、，可从这16种组合中选择种组合中选择10种种组合分别来表示十进制的组合分别来表示十进制的09十个数。十个数。 选哪选哪10种组合，有多种方案，这就形成了不同的种组合，有多种方案，这就形成了不同的BCD码。码。每一位十进制数都用四位二进制数示。每一位十进制数都用四位二进制数示。四位二进制数中的每一位都有固定的权值。四位二进制数中的每一位都有固定的权值。（1）8421BCD码码每一位的权值从高位到低位分别为：每一位的权值从高位到低位分别为：BCD码具有十进制数的特点、二进制数的形式。码具有十进制数的特点、二进制数的形式。是是人人- -机对话机对话的中间表示。的中间表示。23 ,22 ,21, 20

19、 即：即：8,4,2,1BCD码分为有权码分为有权BCD 码和无权码和无权BCD码码1）有权BCD码：特点：特点：1 1、每个十进制数用四位二进、每个十进制数用四位二进 制数表示。制数表示。3、8421码和十进制数之间直直 接按位转换。接按位转换。2、四位二进制数有16种状态 组合，8421码只用了前十 种，10101111六种没有 使用，是禁用码禁用码。位权值0 0 0 0 01 0 0 0 12 0 0 1 03 0 0 1 14 0 1 0 05 0 1 0 16 0 1 1 07 0 1 1 18 1 0 0 09 1 0 0 1十进制数8 4 2 1 例1.1.4: (37.86)1

20、0 = (?)8421BCD= (0011,0111.1000,0110)8421BCD一位十进制数，用四位二进制数表示。一位十进制数，用四位二进制数表示。例2: (011000101000.10010101)8421BCD = (?)10四位二进制数四位二进制数, ,可以表示一位十进制数。可以表示一位十进制数。= (0110，0010，1000.1001，0101)8421BCD= (628.95)10十进制数位权值3 0 0 1 14 0 1 0 05 1 0 0 06 1 0 0 17 1 0 1 08 1 0 1 19 1 1 0 00 0 0 0 01 0 0 0 12 0 0 1

21、05 4 2 1特点： 1、每一位的权值从高位到低位分别 为：5，4, 2, 1 2、前五位与8421码相同。3、直接按权展开求十进制。（1011)5421BCD=1X5+0X4+1X2+1X1=(8)104、5421BCD码和十进制之间可直接 按位转换。（645.89)10 = (?)5421BCD =(1001 0100 1000.1011 1100)5421BCD（2）、5421码3 0 0 1 14 0 1 0 05 1 0 1 16 1 1 0 07 1 1 0 18 1 1 1 02 0 0 1 09 1 1 1 11 0 0 0 10 0 0 0 0十 2 4 2 1特点：1、每

22、一位的权值从高位到低位分 别为：2，4， 2， 1 。 2、前五位与8421码相同。3、直接按权展开求十进制。4、2421BCD码和十进制之间可直接 按位转换。5、2421BCD码具有对 的特性。000011110001111000101101按位求反按位求反（3）、2421码特点：1、无权BCD码，没有确定的位权值。2、不能按位权展开求十进制。3、有自身特点，根据使用条件，按需选用。2)无权BCD码：3 0 1 1 04 0 1 1 15 1 0 0 06 1 0 0 17 1 0 1 08 1 0 1 12 0 1 0 19 1 1 0 01 0 1 0 00 0 0 1 1十余3码特点：

23、1、比8421BCD码多出0011所以 称为余3码。余余3码码 = 8421码码 + 00112、余3码，没有确定的位权值 只能理解记忆和十进制之间 的关系。3、余3码也是一种对9的代码。0011110001001011（1）、余三码3 0 1 0 14 0 1 0 05 1 1 0 06 1 1 0 17 1 1 1 18 1 1 1 02 0 1 1 19 1 0 1 01 0 1 1 00 0 0 1 0十余3循环码1、编码无规律。2、两个相邻码组之间，只有 一个码元不同,是一种高 高可靠性编码。 一般在高分辨率设备中采用这种编码形式，以避免计数过程出现误码。（2）、余三码循环码位权位权

24、0123456789十进制数十进制数8 4 2 10 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 18421码码2 4 2 10 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 12421码码0 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 111 0 00 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 01 0 0 01 0 0

25、 11 0 1 01 0 1 111 0 05 4 2 15421码码无权无权余余3码码 常用常用BCDBCD码码000000010010001101100111100010011010101111011110111101011100010001236789101113141551240123578964012356789403456782910123678549二进制数二进制数自然码自然码 8421码码 2421码码 5421码码 余三码余三码强调1点： 8421码与8421BCD码是不同不同的。8421码是上表中的自然码。1.1.3 算术运算和逻辑运算算术运算和逻辑运算 在数字电路中，1位

26、二进制数码可以用0和1来表示。这种只有两种对立逻辑状态的逻辑关系称为二值逻辑。 二值逻辑所表示的是一对互为相反的状态，所表示的变量与函数值仅有两个特征值0和1，具有排中性。 当两个二进制数码表示两个数量大小时，它们之间可以进行数值运算，这种运算称为算术运算。 二进制和十进制算术运算的规则基本相同，唯一区别在于二进制数是逢二进一而不是逢十进一。例例：两个二进制数：两个二进制数10011001和和01010101的算术运算有：的算术运算有：加法运算加法运算100111100101减法运算减法运算100101010100乘法运算乘法运算1001X 01011001000010010000010110

27、1100101011.01011000101010110101010010从以上运算过程可以看出：从以上运算过程可以看出：乘法运算：乘法运算：可以用加法和左移移位两种操作实现。除法运算：除法运算：可以用减法和右移移位两种操作实现。 二进制数的加、减、乘、除运算都可以用加法运算电二进制数的加、减、乘、除运算都可以用加法运算电路来实现。路来实现。除法运算除法运算如何将减法运算变为加法运算？ 在数字电路和数字电子计算机中，二进制数的正、负号也用0和1表示。 在定点运算的情况下；最高位作为符号位，正数为0，负数为1。其余各位0和1表示数值。这种方式表示的数码称为原码原码。例：(01011001)2 =

28、 (+89)10(11011001)2 = (-89)10在数字电路中两数相减的运算是用在数字电路中两数相减的运算是用补码相加补码相加来完成。来完成。二进制数编码定义为：最高位作为符号位，正数为正数为0，负数为，负数为1；正数的补码和它的原码相同；负数的补码是将原码求反加1；然后将两个补码相加并舍去进位0100111011100100所以：（1001）2（0101）2010011101100100将减法运算变为加法运算，简化了运算电路结构。 当两个二进制数码表示不同的逻辑状态时，它们之间可以按照指定的某种因果关系进行逻辑运算。逻辑运算和算术运算有着本质上的区别。因此将重点介绍逻辑运算的各种规律

29、。例：计算（例：计算（1001）2（0101）2 采用补码运算时，首先求出（1001）2和（0101）2的补码。1001补010010101补11011 1.2 1.2 逻辑逻辑代数中的三种基本运算代数中的三种基本运算一基本定义与运算一基本定义与运算 代数是以字母代替数代数是以字母代替数, ,称因变量为自变量的函数称因变量为自变量的函数, ,函数有定义域和值域。函数有定义域和值域。这些都是大家耳熟能详这些都是大家耳熟能详的概念。的概念。 如如或或 当自变量的取值（定义域）只有当自变量的取值（定义域）只有0 0和和1 1（非（非0 0即即1 1），），函数的取值也只有函数的取值也只有0 0和和1

30、 1（非（非0 0即即1 1）两个数）两个数这种代这种代数就是数就是，这种变量就是，这种变量就是，这种函，这种函数就是数就是。 逻辑代数，亦称逻辑代数，亦称布尔代数布尔代数，是英国数学家乔，是英国数学家乔治治 布尔（布尔（George BooleGeorge Boole）于）于18491849年创立的。年创立的。在当时，这种代数纯粹是一种数学游戏，自然在当时，这种代数纯粹是一种数学游戏，自然没有物理意义，也没有现实意义。在其诞生没有物理意义，也没有现实意义。在其诞生100100多年后才发现其应用和价值。其规定：多年后才发现其应用和价值。其规定：所有可能出现的数只有所有可能出现的数只有0 0和和

31、1 1两个。两个。基本运算只有基本运算只有“与与”、“或或”、“非非”三种。三种。二、基本逻辑运算二、基本逻辑运算设：开关闭合设：开关闭合= =“1 1” 开关不闭合开关不闭合= =“0 0” 灯亮，灯亮，L=1L=1 灯不亮，灯不亮，L=0L=0 与逻辑与逻辑只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情才会发生。件事情才会发生。1 1与运算与运算BAL与逻辑表达式：与逻辑表达式：AB灯灯L不闭合不闭合不闭合不闭合闭合闭合闭合闭合不闭合不闭合闭合闭合不闭合不闭合闭合闭合不亮不亮不亮不亮不亮不亮亮亮0101BLA0011输输 入入0001输出输出 与逻辑

32、真值表与逻辑真值表VBLAA&L=ABB真值表特点真值表特点: 任任0 则则0, 全全1则则1与逻辑运算规则：与逻辑运算规则：0 0=0 0 1=01 0=0 1 1=1与运算与运算逻辑乘逻辑乘逻辑与逻辑与国外符号国外符号国内符号国内符号2 2或运算或运算或逻辑表达式：或逻辑表达式： LA+B 或逻辑或逻辑当决定一件事情的当决定一件事情的几几个条件中，只要有个条件中，只要有一个一个或一个或一个以上条件具备，这件事情就发生。以上条件具备，这件事情就发生。AB灯灯L不闭合不闭合不闭合不闭合闭合闭合闭合闭合不闭合不闭合闭合闭合不闭合不闭合闭合闭合不亮不亮亮亮亮亮亮亮0101BLA0011输输

33、 入入0111输出输出 或逻辑真值表或逻辑真值表LBVAL=A+BA1B或逻辑运算规则：或逻辑运算规则：或运算或运算逻辑加逻辑加逻辑或逻辑或真值表特点：真值表特点： 任任1 则则1, 全全0则则0。0+0=0 0+1=11+0=1 1+1=1国外符号国外符号国内符号国内符号3 3非运算非运算 非逻辑非逻辑某事情发生与否，仅取决于一个条件，而某事情发生与否，仅取决于一个条件，而且是对该条件的否定。即条件具备时事情不发生；条且是对该条件的否定。即条件具备时事情不发生；条件不具备时事情才发生。件不具备时事情才发生。A灯灯L闭合闭合不闭合不闭合不亮不亮亮亮LA0110非逻辑真值表非逻辑真值表ALRVL

34、=A1A非逻辑表达式：非逻辑表达式： AL 非逻辑运算规则：非逻辑运算规则：非运算非运算逻辑非逻辑非逻辑反逻辑反ANOTY A真值表特点真值表特点: 1则则0, 0则则1。10,01国外符号国外符号国内符号国内符号 二、其他复合逻辑运算二、其他复合逻辑运算“与与”、“或或”、“非非”是三种基本的逻辑是三种基本的逻辑关系，任何其它的逻辑关系都可以以它们为基关系，任何其它的逻辑关系都可以以它们为基础表示。础表示。1.与非：与非：条件条件A、B都具备，则都具备，则Y 不发生。不发生。0101BYA0011输输 入入1110输出输出 “与与非非”真值真值表表与非与非 由与运算由与运算 和非运算和非运算

35、组合而成。组合而成。 2 2或非或非 由或运算和非由或运算和非运算组合而成。运算组合而成。0101BLA0011输输 入入1000输出输出 “或或非非”真值真值表表ABL=A+B1或非：或非：条件条件A、B任一具备，则任一具备，则L 不发生。不发生。3与或非与或非 由与运算、或运算和非运算组合由与运算、或运算和非运算组合而成。而成。4 4异或异或 异或是一种异或是一种二变量二变量逻辑运算，逻辑运算，当两个变量当两个变量取值相同取值相同时，逻时，逻辑函数值为辑函数值为0 0；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为1 1。0101BLA0011输输 入入0110输出

36、输出 “异或异或”真值真值表表BAL异或的逻辑表达式为：异或的逻辑表达式为：BAL=A=1+ B异或：异或：条件条件A、B有一个具有一个具备，另一个不具备则备，另一个不具备则L 发生。发生。BAL任何其它的逻辑关系都可以用与、任何其它的逻辑关系都可以用与、或、非表示，或、非表示，异或怎么表示？异或怎么表示？Y= A BA BY0 010 10 00 11 同或是一种同或是一种二变量二变量逻辑运算，逻辑运算，当两个变量当两个变量取值相同取值相同时，逻时，逻辑函数值为辑函数值为1 1；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为0 0。5同或同或同或：同或：条件条件A、B

37、相相同，则同，则F 发生。发生。同或与异或是甚同或与异或是甚么关系？么关系？基本逻辑关系小结基本逻辑关系小结 逻辑逻辑 符号符号 表示式表示式与与&ABYABY1或或非非1YAY=ABY=A+B与非与非&ABY或非或非ABY1异或异或=1ABYY= A BAY ABY BAY1.3 逻辑逻辑代数的基本公式和常用公式代数的基本公式和常用公式数字电路要研究的是电路的输入输出之间的数字电路要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，所以数字电路又称逻辑关系，所以数字电路又称逻辑电路逻辑电路，相应的，相应的研究工具是研究工具是逻辑代数（布尔代数）逻辑代数（布尔代数）。在逻辑代数中，逻辑函数

38、的变量只能取两个在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能取两个值（值（二值变量二值变量），即），即0和和1，中间值没有意义。，中间值没有意义。0和和1表示两个对立的逻辑状态。表示两个对立的逻辑状态。例如：电位的低高（例如：电位的低高（0表示低电位，表示低电位，1表示表示高电位）、开关的开合等。高电位）、开关的开合等。1.3.1 逻辑代数的基本运算规则逻辑代数的基本运算规则加运算规则加运算规则:0+0=0 ，0+1=1 ，1+0=1，1+1=1乘运算规则乘运算规则:00=0 01=0 10=0 11=1非运算规则非运算规则:1001 AA 0,1,00 AAAAAAAA1, 11,0 AAAAAAAA一

39、、逻辑代数的基本公式一、逻辑代数的基本公式 3.1 逻辑代数逻辑代数吸收律吸收律反演律反演律分配律分配律结合律结合律交换律交换律重叠律重叠律互补律互补律公公 式式 101律律对合律对合律名名 称称 公公 式式 2基基 本本 公公 式式AA100AAA011A0AA1 AAAAAAAAABBAABBACABBCA)()(CBACBA)()(ACABCBA)()()(CABABCABAABBABAABAA)(AABAABBAA )(BABAAAA 普通代数普通代数不适用不适用!A+B C=(A+B)(A+C)分配律分配律如何证明？如何证明？1）真值表万能的）真值表万能的2）已有的公式、定律）已有的

40、公式、定律求证求证: （分配律第（分配律第2条）条） A+BC=(A+B)(A+C)证明证明:右边右边 =(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC ; 分配律分配律=A +A(B+C)+BC ; 结合律结合律 , AA=A=A(1+B+C)+BC ; 结合律结合律=A 1+BC ; 1+B+C=1=A+BC ; A 1=1=左边左边反演律反演律BABABABA ABAB0001111010110110010111110000BA ABBA 可以用列真值表的方法证明：可以用列真值表的方法证明：德德 摩根摩根 (De Morgan)定理：定理：1.原变量的吸收：原变量的吸收： A+AB=A证明

41、：证明：A+AB=A(1+B)=A1=A利用运算规则可以对逻辑式进行化简。利用运算规则可以对逻辑式进行化简。例如：例如：CDAB)FE(DABCDAB 被吸收被吸收吸收规则是指吸收多余（吸收规则是指吸收多余（冗余冗余）项，多余）项，多余（冗余冗余）因子被取消、去掉）因子被取消、去掉 被消化了。被消化了。长中含短，长中含短，留下短。留下短。1.3.3 若干常用公式六大定理若干常用公式六大定理反过来用，才是最重要的！反过来用，才是最重要的！反变量的吸收：反变量的吸收：BABAA 证明：证明：BAABABAA BA)AA(BA 例如：例如：AABCDCABCDC被吸收被吸收长中含反，长中含反，去掉反

42、。去掉反。CAABBCCAAB 证明：证明：BC)AA(CAABBCCAAB CAABBCAABCCAAB 例如：例如：ABACBCDABACBCBCDABACBCABAC1吸收吸收正负相对，正负相对，余全完。余全完。（混合变量的吸收）混合变量的吸收） 1.1.4 4 逻辑逻辑代数的基本定理代数的基本定理1.4.1 代入定理代入定理 对逻辑等式中的任意变量对逻辑等式中的任意变量A,若将所若将所有出现有出现A的位置都代之以同一个逻辑函数的位置都代之以同一个逻辑函数,则等式仍然成立则等式仍然成立.定理定理定理定理定理定理定理定理：变量：变量A A仅有仅有0 0和和1 1两种可能状态，同两种可能状态

43、，同时任何一个逻辑式的取值也不外乎时任何一个逻辑式的取值也不外乎0 0和和1 1，所以，所以代入定理成立！代入定理成立！ 利用它可以实现基本公式和常用公式的利用它可以实现基本公式和常用公式的多变多变量量的形式。的形式。 例如例如:分配律分配律 A(B+C)=AB+AC,若等式中的若等式中的C都用都用(C+D)代替代替,则该等式仍然成立则该等式仍然成立,即即AB+(C+D)=AB+A(C+D) 注意注意:等式中所有出现同一变量的处均以一同函数代等式中所有出现同一变量的处均以一同函数代替替.1 14 42 2 反演反演定理定理 对已知逻辑函数对已知逻辑函数F F求求“反反”函数，只要函数，只要将将

44、F F中所有的中所有的“”变变“+ +”，“+ +”变变“”，0 0变变1 1，1 1变变0 0，原变量原变量变成变成反变量反变量，反变量反变量变成变成原变量原变量，即可，这就是反演规则。，即可，这就是反演规则。 上述的原变量指变量本身，反变量指上述的原变量指变量本身，反变量指变量的变量的“反反”，如，如A A是原变量，而是是原变量，而是A A反变反变量。量。 反演定理内容：反演定理内容：将函数式将函数式 F 中所有的中所有的 + 变量与常数均取反变量与常数均取反 （求反运算）（求反运算）互补运算互补运算1.运算顺序：先括号运算顺序：先括号 再乘法再乘法 后加法。后加法。2.不是一个变量上的反

45、号不动。不是一个变量上的反号不动。注意注意:用处：用处：实现互补运算（求反运算）。实现互补运算（求反运算）。新表达式：新表达式：F显然：显然：FF (变换时，原函数运算的先后顺序不变变换时，原函数运算的先后顺序不变)反演反演定理定理可表示成：如果可表示成：如果Z=FZ=F（A A，B B，, , ,+,0,1,+,0,1）则）则 =F=F（ ， ，,+,+,1,0,1,0）反演反演定理定理的基础是狄的基础是狄摩根定理，它表述如下：摩根定理，它表述如下： = = 式（式（1） 式（式（2） Z.ABCA B CBCBC.AB我们先来证明式（我们先来证明式（2 2）：）： 若若A A，B B，C

46、C全为全为0 0，则，则 左边左边= = =1,=1, .000 右边= =1 0 00 如果其中一个变量为如果其中一个变量为1 1，则：等式两，则：等式两边都为边都为0 0，因而等式成立。，因而等式成立。 如果更多的变量为如果更多的变量为1 1，则：等式两边，则：等式两边仍为仍为0 0，等式成立。，等式成立。 证明前式，利用代入规则，将后式中的证明前式，利用代入规则，将后式中的A A，B B，C C分别换成分别换成 , , , , 即可得即可得：BC = = =ABC=ABC.CBAABC从而有：从而有： = = + + += = + + +ABC.CBA BC 摩根定理说明：多变量乘积的摩

47、根定理说明：多变量乘积的“反反”等等于各变量于各变量“反反”的和，而多变量和的的和，而多变量和的“反反”等于各变量等于各变量“反反”的积。也就是的积。也就是“”变变“+ +”，“+ +”变变”“”“”后各变量求后各变量求“反反”。 由于任何逻辑函数都是有很多的与由于任何逻辑函数都是有很多的与, ,加，加，以及求以及求“反反”的组合，求其反函数可以逐步的组合，求其反函数可以逐步用摩根定理，每步都符合上述原则，则最终用摩根定理，每步都符合上述原则，则最终结果也是符合这个规则的结果也是符合这个规则的 。例例1 14 41 1求求Z=AB + BZ=AB + B（C+ C+ ）的反函数。）的反函数。

48、CD解：解： = = = = = =（ + +C+ +C）（）（A+ + DA+ + D） Z)(DCBACABCAB)(DCBABBC 以上是以上是分步分步用用摩根定理摩根定理，用，用反演定理反演定理可直接得到结果。可直接得到结果。 例例1 14 42 2求求Z=A+A +FBZ=A+A +FB（C+ C+ ）的反函数）的反函数ED解：解： = = （ +E+E）（）（ + + D+ + D）注意：注意： = +E + + D= +E + + D则是错误的（即应先则是错误的（即应先“* *”后后“+ +”） ZFBCZ FBC例例1.4.31.4.3若若Y= Y= 求求CDCBAY = =（

49、不属于单个变量上的反号应保留不变）（不属于单个变量上的反号应保留不变） YCDCBA)(例例1.4.4 ：1)()(1 DCBAF01 DCBAF与或式与或式注意括号注意括号注意注意括号括号01 DCBAFDBDACBCAF 1)(EDCBA )(EDCBA 例例1.4.5：EDCBAF2 EDCBAF 2与或式与或式反号不动反号不动反号不动反号不动EDCBAF 2EDACABAF 21 14 43 3对偶对偶定理定理 将逻辑函数将逻辑函数F F中所有的中所有的“”变变“+ +”，“+ +”变变“”，1 1变变0 0，0 0变变1 1，而变量保持不变而变量保持不变，这样得到的，这样得到的新的函

50、数称为原函数的对偶式，记作新的函数称为原函数的对偶式，记作 。 若两个逻辑函数相等，则它们的对偶式也相若两个逻辑函数相等，则它们的对偶式也相等。等。这样，有时为了证明两个逻辑函数相等，可这样，有时为了证明两个逻辑函数相等，可以通过证明它们的对偶式相等来完成，以通过证明它们的对偶式相等来完成，因为有些因为有些情况下，证明它们的对偶式相等更容易情况下，证明它们的对偶式相等更容易。F与反演定理不同的地与反演定理不同的地方方 对偶规则是各基本法则、定律具有对对偶规则是各基本法则、定律具有对偶性的必然结果（例偶性的必然结果（例 公式（公式（1 1）- -（8 8）成）成立，则公式（立，则公式（1111）

51、- -（1818）已无须另作证明，）已无须另作证明，因子可逐个检查。因子可逐个检查。 例例 ：第一分配律是：第一分配律是：A A（B+CB+C）=AB+AC=AB+AC 其对偶式是：其对偶式是：A+BC=A+BC=（A+BA+B）（）（A+CA+C）这就是第二分配律这就是第二分配律 1.5 1.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法解：解：第一步：设置自变量和因变量。第一步：设置自变量和因变量。 第二步：状态赋值。第二步：状态赋值。 对于自变量对于自变量A、B、C设：设： 同意为逻辑同意为逻辑“1”， 不同意为逻辑不同意为逻辑“0”。 对于因变量对于因变量L设：设： 事情通过为逻辑事情通

52、过为逻辑“1”， 没通过为逻辑没通过为逻辑“0”。1.5.1 、逻辑函数的建立、逻辑函数的建立例例1.5.11.5.1 三个人表决一件事情，结果按三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数少数服从多数”的原则决的原则决定，试建立该逻辑函数。定，试建立该逻辑函数。第三步：根据题义及上述规定第三步：根据题义及上述规定 列出函数的真值表。列出函数的真值表。0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1A B C00010111 L三人表决电路真值表三人表决电路真值表 一般地说，若输入逻辑变量一般地说，若输入逻辑变量A、B、C的取值确定以后，输出逻辑变量的取值确定以后，

53、输出逻辑变量L的值也唯的值也唯一地确定了，就称一地确定了，就称L是是A、B、C的逻辑函数，的逻辑函数，写作：写作： L=f（A，B，C） 逻辑函数与普通代数中的函数相比较，有两逻辑函数与普通代数中的函数相比较，有两个突出的特点：个突出的特点：（1 1）逻辑变量和逻辑函数只能取两个值）逻辑变量和逻辑函数只能取两个值0 0和和1 1。（2 2）函数和变量之间的关系是由）函数和变量之间的关系是由“与与”、“或或”、“非非”三种基本运算决定的。三种基本运算决定的。四种表示方法四种表示方法逻辑代数式逻辑代数式 (逻辑表示式逻辑表示式, 逻辑函数式逻辑函数式)11&1ABY 逻辑电路图逻辑电路图:

54、卡诺图卡诺图n2n个输入变量个输入变量 种组合种组合。真值表：真值表：将逻辑函数输入变量取值的不同组合将逻辑函数输入变量取值的不同组合与所对应的输出变量值用列表的方式与所对应的输出变量值用列表的方式一一对应列出的表格。一一对应列出的表格。BABAF 1.5.2、逻辑函数的表示方法、逻辑函数的表示方法将输入、输出的所有可能状态一一对应地列将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。出。 n个变量可以有个变量可以有2n个输入状态。个输入状态。A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 ） 真值表真

55、值表列真值表的方法：列真值表的方法：一一般按二进制的顺序，般按二进制的顺序，输出与输入状态一输出与输入状态一一对应，列出所有一对应，列出所有可能的状态。可能的状态。例如：例如：2） 逻辑函数式逻辑函数式 逻辑代数式：逻辑代数式：把逻辑函数的输入、把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式。也称为逻辑函数式，的组合式。也称为逻辑函数式，通常通常采用采用“与或与或”的形式。的形式。例：例：ABCCBACBACBACBAF 3） 逻辑图逻辑图把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来，就构成了逻辑图。出来，就构成了逻辑

56、图。&AB&CD 1FF=AB+CD例例1.5.2 1.5.2 列出下列函数的真值表：列出下列函数的真值表：ABCCABCBABCAL 1 1真值表真值表将输入逻辑变量的各种可能取值和相应的函数值排列将输入逻辑变量的各种可能取值和相应的函数值排列在一起而组成的表格。在一起而组成的表格。 2 2函数表达式函数表达式由逻辑变量和由逻辑变量和“与与”、“或或”、“非非”三种运算三种运算符所构成的表达式。符所构成的表达式。例如，由例如，由“三人表决三人表决”函数的函数的真真值表可写出值表可写出逻辑表达式：逻辑表达式：解：解：该函数有两个变量，有该函数有两个变量，有4 4种取值的种取值的

57、可能组合，将他们按顺序排列起来即可能组合，将他们按顺序排列起来即得真值表。得真值表。0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1A B C00010111 L三人表决电路真值表三人表决电路真值表 反之，由函数表达式也可以转换成真值表。反之，由函数表达式也可以转换成真值表。真值表真值表0 00 11 01 1A B 1001 LBABAL 3 3逻辑图逻辑图由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形。由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形。例例1.5.41.5.4 写出如图所示写出如图所示逻辑图的函数表达式。逻辑图的函数表达式。解：解：可用两个非门、两个与门可用两

58、个非门、两个与门和一个或门组成。和一个或门组成。BABAL例例1.5.31.5.3 画出函数画出函数 的逻辑图：的逻辑图： ACBCABL解：解：&CBA&L1&L1AB11Logical Function CAD三种表示方法相互转换 1、Digital Design software 2、DIY ？1.6 1.6 逻辑逻辑函数的公式化简法函数的公式化简法1 1逻辑函数式的常见形式逻辑函数式的常见形式一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且能互相转换。且能互相转换。例如：例如：BAACL 与与或表达式或表达式

59、)(CABA 或或与表达式与表达式BAAC 与非与非与非表达式与非表达式CABA 或非或非或非表达式或非表达式BAA C与与或或非表达式非表达式其中，与其中，与或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。2 2逻辑函数的最简逻辑函数的最简“与与或表达式或表达式” 的标准的标准 3 3用代数法化简逻辑函数用代数法化简逻辑函数BAAB （1）并项法：）并项法：运用公式运用公式 将两项合并为一项，消去一个变量。将两项合并为一项，消去一个变量。1 AA)()(CBCBACBBCAL 例：例：CBACABCBAABC )()(CCBACCAB ABBA )(（1 1）与项最少

60、，即表达式中）与项最少，即表达式中“+ +”号最少。号最少。（2 2）每个与项中的变量数最少，即表达式中）每个与项中的变量数最少，即表达式中“ ”号最少。号最少。（4）配项法：）配项法： （2）吸收法：）吸收法：（3）消去法：）消去法：运用吸收律运用吸收律 A+AB=A，消去多余的与项。，消去多余的与项。)(DECBABAL 例：例：EBABAL 例：例：BA 运用吸收律运用吸收律 消去多余因子。消去多余因子。BABAA EBBA EBA 先通过乘以先通过乘以 或加上或加上 ， 增加必要的乘积项，增加必要的乘积项，再用以上方法化简。再用以上方法化简。)(AA )(AABCDCAABL 例：例：)(AABCDCAAB BCDAABCDCAAB CAAB 在化简