圆锥曲线知识点归纳与解题方法技巧

1、精品文档圆锥曲线解题方法技巧第一、知识储备：1. 直线方程的形式（ 1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（ 2）与直线相关的重要内容倾斜角与斜率 ktan,0,)ky2y1x2x1点 P(x0 , y0 ) 到直线 AxByC0 的距离Ax0 By0 CdB2A2l1: y k1x b1夹角为，则k2k1夹角公式：直线tanl2 : y k2 x b21 k2 k1（ 3）弦长公式直线 ykxb 上两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 间的距离 AB( x2 x1 )2( y2y1 )2 AB1k 2x1x2(1k 2 )( x1x2 )24

2、x1 x2 AB112y1y2k（ 4）两条直线的位置关系（） l1: yk1x b1l2 : yk2 xb2 l1l2k1k2 =-1 l1 / l 2k1k2且 b1b2（） l1: A1 xB1 yC10l2 : A2 x B2 y C20 l1 l2A1 A2 B1B2 0 l1 / /l 2A1B2 - A2 B1 =0且AC12- A2C10或 A1B1C1者（ A2 B2C 20 ）A2B2C2两平行线距离公式。1欢迎下载精品文档l1 : y kx b1| b1b2 |l2 : y kx b2距离 dk 21l1 : Ax By C10|C1C2 |l2 : Ax By C20距

3、离 dB2A22、圆锥曲线方程及性质1. 圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1 ，F2 的距离的和等于常数 2a ，且此常数 2a 一定要大于F1 F2 ，当常数等于 F1F2 时，轨迹是线段 F1 F2 ，当常数小于 F1F2 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1 ，F 2 的距离的差的绝对值等于常数 2a ，且此常数 2a 一定要小于 |F 1 F2 | ，定义中的“绝对值”与2a |F 1 F 2 | 不可忽视。若 2a |F 1 F2 | ，则轨迹是以 F1 ，F 2 为端点的两条射线，若 2a |F 1 F2 | ，则轨迹不存在。若去掉定义中的

4、绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如方程( x6)2y 2( x6)2y28 表示的曲线是 _（答：双曲线的左支）2. 圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：x 轴上时 x2y2y 轴上时 y2x2（ 1）椭圆：焦点在22 1 （ ab 0 ），焦点在22 1abab（ a b 0 ）。方程Ax2By2C表示椭圆的充要条件是什么？（，且， ，CABC 0AB同号， AB）。椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）标准方程： x2y 21(m0, n0且 mn)mn距离式方程：(xc)2y2( x c) 2y 22a参数方程： xa cos , ybs

5、in若 x, y R ，且 3x 22 y26 ，则 xy 的最大值是 _，x2y2 的最小值是 _（答：5,2 ）（2）双曲线：焦点在 x 轴上： x 2y 2y 2x 2（a 0, b 0）。a2b2 =1 ，焦点在 y 轴上：2b21方程 Ax 2By 2aC 表示双曲线的充要条件是什么？（ ABC 0，且 A，B 异号）。如设中心在坐标原点 O ，焦点 F1 、 F2 在坐标轴上，离心率 e2 的双曲线 C过点P(4, 10)，则 C 的方程为 _（答： x2y26 ）（3）抛物线：开口向右时22 px( p0)，开口向左时 y22 px ( p0) ，开口向y上时 x22py ( p

6、0) ，开口向下时 x22 py( p0) 。2欢迎下载精品文档3. 圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断） ：（1）椭圆：由 x 2 , y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程x 2y2m 121表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m的取值范围是 _（答：m( , 1) (1,3) ）2（2）双曲线：由 x 2, y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。提醒：在椭圆中， a 最大， a2b2c2 ，在双曲线中， c 最大， c2a2b2 。4. 圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以 x2

7、y21（ ab 0 ）为例）： 范围： axa, b yb ；a2b 2，一个对称中心（ 0,0 ），四焦点：两个焦点 ( c,0) ； 对称性：两条对称轴 x0, y0个顶点 ( a,0),(0,b) ，其中长轴长为2a ，短轴长为 2 b ；准线：两条准线 xa2； c ，椭圆c离心率： e0e 1 ， e 越小，椭圆越圆； e 越大，椭圆越扁。a10 ，则 m 的值是 _（答： 3 或 25 ）；如（ 1）若椭圆 x2y 21的离心率 e5m53（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1 时，则椭圆长轴的最小值为 _（答： 22 ）（ 2）双曲线（以x2y21（ a0,

8、 b 0 ）为例）： 范围： xa 或 xa, y R ；焦a2b2点：两个焦点 (c,0)；对称性：两条对称轴 x0, y0 ，一个对称中心（0,0 ），两个顶点 (a,0)，其中实轴长为 2a ，虚轴长为 2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 x2y2k , k0 ； 准线：两条准线 xa2；c离心率： ec ，双曲线e1，等轴双曲线e2 ， e 越小，开口越小， eab x 。双曲线的方程的形式有两种越大，开口越大； 两条渐近线： ya标准方程： x2y21(m n0)mn距离式方程： |( xc) 2y2( x c)2y2 |2a（ 3）抛物线（以 y2

9、2 px ( p0) 为例）：范围： x0, yR ； 焦点：一个焦点 ( p ,0) ，其中 p 的几何意义是：焦点到准线的距离；2 对称性：一条对称轴 y0 ，没有对称中。3欢迎下载精品文档心，只有一个顶点（0,0 ）；准线：一条准线 xp ； 离心率： ec ，抛物线e 1 。2a1 )）；如设 a 0,a R ，则抛物线 y 4ax2 的焦点坐标为 _（答： (0,16a5 、点x02a2x02a2P( x0 , y0 ) 和椭 圆 x 2y21 （ a b0 ）的关系 ：（ 1 ）点 P( x0 , y0 ) 在椭圆外y02a 2b2x02y021；（ 2）点 P( x0 , y0

10、) 在椭圆上 1；（ 3）点 P( x0 , y0 ) 在椭圆内b2a2b2y02b216. 记住焦半径公式：（ 1） 椭圆焦点在 x轴上时为 a ex0 ;焦点在 y轴上时为 a ey0 ，可简记为“左加右减，上加下减”。（2） 双曲线焦点在 x轴上时为 e | x0 |a（3）抛物线焦点在 x轴上时为 | x1 |p ,焦点在 y轴上时为 | y1 | p227. 椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？第二、方法储备1、点差法（中点弦问题）设 A x1 , y1、 B x2 , y2， M a, b为椭圆 x2y 21的弦 AB 中点则有43x12y121， x22y221；两式相减得x12

11、x22y12y220434343x1x2 x1x2y1 y2 y1y23a43kAB =4b2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式0，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ，将这两点代入曲线方程得到12两个式子，然后 1 - 2 ，整体消元，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F 共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关。4欢迎下载精品文档系

12、，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为ykxb ，就意味着 k 存在。例 1、已知三角形 ABC的三个顶点均在椭圆4 x25 y 280 上，且点 A 是椭圆短轴的一个端点（点 A 在 y 轴正半轴上） .（ 1）若三角形 ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线 BC的方程 ;（ 2）若角 A 为 90 0 ，AD垂直 BC于 D，试求点 D的轨迹方程 .分析：第一问抓住“重心” ，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线 BC的方程。第二问抓住角 A 为900 可得出 ，从而得ABACx1 x2y1 y214( y1y2 )160 ，然后利用联立消元法及交轨法求出点D

13、的轨迹方程；解：（1）设 B（x1,y1）),BC中点为( x0, y0 ),F(2,0)则有 x12y121,x22y22,C( x2 , y2201620116两式作差有(x1x2 )( x1x2 )( y1y2 )( y1y2 )0x0y0 k0(1)201654F(2,0)为三角形重心，所以由x1x22 ，得 x03 ，由 y1y240得 y02 ，代33入（ 1）得 k65直线 BC的方程为 6x 5 y2802) 由 AB AC得 x1 x2y1 y2 14( y1y2 )160（2）设直线 BC方程为 ykxb, 代入 4x 25 y280 ，得 (45k 2 )x 210bkx

14、5b2800x1x210kb， x1 x25b2805k245k24y1y28k, y1 y24b 280 k 2代入（ 2）式得5k245k249b 232b160 ，解得b 4(舍 ) 或 b445k 294y4y4直线过定点（ 0，91，即 9 y29x232 y16 0) ，设 D（ x,y ），则xx9。5欢迎下载精品文档所以所求点 D 的轨迹方程是 x2( y16)2(20) 2 ( y 4) 。994、设而不求法例 2、如图，已知梯形 ABCD中 AB2 CD ，点 E 分有向线段 AC 所成的比为，双曲线过 C、 D、 E 三点，且以 A、 B 为焦点当 23 时，求双曲线离心

15、率 e 的取值范围。34分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系xOy ，如图，若设C c ,h ，代入 x2y 21，求得 hL ，进而求得 xE L , yEL , 再代入 x 2y2 1 ，2a2b2a 2b2建立目标函数 f (a, b,c,)0，整理 f ( e,)0 ，此运算量可见是难上加难 . 我们对 h 可采取设而不求的解题策略 ,建立目标函数 f ( a, b, c,)0，整理 f (e,)0, 化繁为简 .解法一：如图，以 AB为垂直平分线为y 轴，直线 AB为 x 轴，建立直角坐标系

16、xOy ，则 CD y 轴因为双曲线经过点 C、D，且以 A、B 为焦点，由双曲线的对称性知 C、D 关于 y 轴对称依题意，记A c, 0 ，C c,h ，E x0 , y0 ，其中 c1| AB |为双曲线22的半焦距， h 是梯形的高，由定比分点坐标公式得cc2 chx2，y002111设双曲线的方程为 x2y 21，则离心率 eca2b2a由点 C、 E 在双曲线上，将点 C、E 的坐标和 ec 代入双曲线方程得ae2h 21，4b2e22h21411b2。6欢迎下载精品文档由式得h 2e21 ，b24将式代入式，整理得e24412 ，4故13e21由题设 23得，2133343e22

17、4解得7e10所以双曲线的离心率的取值范围为7 ,10分析：考虑 AE , AC 为焦半径 , 可用焦半径公式 ,AE , AC 用 E, C 的横坐标表示，回避h 的计算 ,达到设而不求的解题策略解法二：建系同解法一，AEaexE , ACa exC ，cc2 cAE323xE2，代入整理1，由题设121，又AC134e21得， 21333e224解得7e10所以双曲线的离心率的取值范围为7 ,105、判别式法例 3 已知双曲线 C : y2x 21，直线 l 过点 A2,0 ，斜率为 k ，当 0 k1时，双曲22线的上支上有且仅有一点B 到直线 l 的距离为2，试求 k 的值及此时点 B

18、 的坐标。分析 1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有” 这个微观入手，对照草图，不难想到：过点 B 作与 l 平行的直线，必与双曲线C 相切 .而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式0 .由此出发，可设计如下解题思路：l : y k( x2 ) 0 k 1直线 l在 l 的上方且到直线l 的距离为2。7欢迎下载把直线 l的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式0精品文档l: y kx2k 2 22k解得 k的值解题过程略 .分析 2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点 B 到直线

19、l 的距离为2 ”，相当于化归的方程有唯一解.据此设计出如下解题思路：问题kx2 x 22k关于 x 的方程2 0 k 1 有唯一解k 21简解：设点 M (x,2x 2 ) 为双曲线 C 上支上任一点，则点 M到直线 l 的距离为：转化为一元二次方程根的问题kx2x 22 k20 k 1求解21k于是，问题即可转化为如上关于x 的方程 .由于 0k1，所以2x 2xkx ，从而有kx2x 22kkx2x22k.于是关于 x 的方程kx2x222(k21)k2x22(2(k 21)2 kkx) 2 ,2(k 21)2kkx0222222k1)2k x1)2k20,k1 x2( k2( k2(

20、k21)2k kx0.由 0k1可知：21222(21)22(21)22方 程kxkk2 0的二根同正，故kk xk。8欢迎下载精品文档2(k 21)2kkx 0 恒成立，于是等价于k 21 x 22k 2(k 21)2k x2( k 21)2k22 0 .由如上关于 x 的方程有唯一解，得其判别式0，就可解得k2 5 .5点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性 .例 4 已知椭圆 C:和点 P（4，1），过 P 作直线交椭圆于A、B 两点，在线段 AB上取点 Q，使，求动点 Q的轨迹所在曲线的方程.分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，

21、学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解.因此，首先是选定参数，然后想方设法将点 Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.由于点 Q (x, y) 的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率 k 作为参数，如何将 x, y 与 k 联系起来？一方面利用点Q在直线 AB上；另一方面就是运用题目条件：来转化 . 由 A、 B、P、Q 四点共线，不难得到 x4(x AxB )2 xA xB ，要建8(x AxB )立 x 与 k 的关系，只需将直线 AB的方程代入椭圆 C 的方程，利用韦达定理即可 . 通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解

22、题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数 .APAQPBQBx4(xAxB )2x AxB8(xAxB )将直线方程代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理xf k。利用点 Q 满9足欢迎直下载线 AB 的方程： y = k (x4)+1，消去参数k点 Q 的轨迹方程精品文档在得到 xf k 之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于 x, y 的方程（不含 k），则可由 yk( x4)1 解得 ky1 ，直接代入 xfk 即可得x4到轨迹方程。从而简化消去参的过程。简解：设 A x1 , y1, B(x2， y2 ), Q(x, y) ，则由 APAQ 可得： 4x1xx1，

23、PBQBx24x2x解之得：x4( x1x2 ) 2 x1 x2（ 1）8 ( x1 x2 )设直线 AB的方程为： yk( x4)1，代入椭圆 C 的方程，消去 y 得出关于 x 的一元二次方程：2k 21 x 24k (14k )x2(14k ) 28 0（2）x1x24k(4k1) ,2k 2 12(14k)28x1 x22k 2 1.代入（ 1），化简得： x4k3 .(3)k2与 yk (x4) 1联立，消去 k 得：2xy 4 ( x4)0.在（ 2）中，由64k 264k240，解得 210k210 ，结合（ 3）可求得4416210162109x9.故知点 Q的轨迹方程为： 2

24、xy40（ 162 10x16210）.99点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到 . 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参 . ，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.6、求根公式法例 5设直线l过点 P（0，3），和椭圆 x2y 2、两点，试求的取91顺次交于 A B4值范围 .。10欢迎下载精品文档分析：本题中，绝大多数同学不难得到：AP =x A ，但从此后却一筹莫展 , 问题的PBxB根源在于对题目的整体把握不够 . 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某

25、个（或某几个）参数的函数关系式（或方程） ，这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系 .分析 1: 从第一条想法入手，=xA 已经是一个关系式，但由于有两个变量xBxA , xB ，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3 个变量直线AB的斜率 k. 问题就转化为如何将 xA , xB 转化为关于 k 的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去 y 得出关于 x 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出 .把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程， 消去 y 得到关于 x 的一元二次方程求根公式xA = f （k）， xB = g（ k）AP/PB =

26、 （ xA / x B）得到所求量关于k 的函数关系式由判别式得出k 的取值范围所求量的取值范围简解 1：当直线 l 垂直于 x 轴时，可求得 AP1 ;PB5当 l 与 x 轴不垂直时，设A x1,y1,(，y2)，直线 l的方程为：y kx3，代入椭Bx2圆方程，消去 y 得9k 24 x 254kx450解之得x1 ,227k69k25 .9k 24因为椭圆关于 y 轴对称，点 P 在 y 轴上，所以只需考虑 k0的情形.当 k0 时， x27k69k25 ，x227k69k25 ，19k249k24。11欢迎下载精品文档所以APx1=9k29k 25 =18k=18.PBx29k29k

27、 219k 29k 2155592 9k 2由(54k )2180 9k 240 , 解得 k 25 ，9所以11181 ，综上1AP1 .929525PB5k分析 2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源 . 由判别式值的非负性可以很快确定 k 的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与 k 联系起来 . 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于 APx1 不是关于 x1 , x2 的对称关系式 .原因找到后，解决问题的PBx2方法自然也就有了，即我们可以构造关于x1 , x2 的对称关系式 .把直线 l 的方程 y =

28、 kx+3 代入椭圆方程， 消去 y得到关于 x 的一元二次方程韦达定理xA+ xB = f（ k），xA xB = g（k ）AP/PB = （ xA / xB）简解 2：设直线 l 的方程为：y kx3，代入椭圆方程，消去y 得构造所求量与 k 的关系式9k24 x2由判别式得出 k 的取值范围（ *）54kx45 054k关于所求量的不等式x1x2,则9k 2445x1 x2.9k 24令x1，则，12324 k2x245k 2.20在（ * ）中，由判别式0, 可得 k 25 ，9从而有324 k236，所以1236，解得142205455 .45k5结合 01得 11.5。12欢迎下

29、载精品文档综上，1AP1.PB5点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等 . 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法 .解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里 .第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。例 6 椭圆长轴端点为 A, B ， O 为椭圆中心， F 为椭圆的右焦点，且 AF FB1 ，OF1 （）求椭圆的标准方程；（）记椭圆的上顶点为M ，直线 l 交椭圆于 P, Q 两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为PQM 的垂心？若存在，求出直线l 的方程 ; 若不存在，请说明理由。思维流程：（）uuur uuuruuur(a c)(a c) 1，