高等数学函数的连续性

1、第一章 函数 极限 连续8 函数的连续性一、函数的连续性一、函数的连续性v函数的连续性定义1yxOMP( )yf xf(x0)f(x0+Dx)DxDyx0+Dxy=f(x)x0 xyOv函数的连续性定义2（-定义）注 函数在点x0连续的三个条件：v函数的连续性定义3.)(0lim00连续在点，则称函数如果xxfyxDD注 三个定义是等价的左连续与右连续结论 函数 yf(x) 在点 x0 处连续 函数 yf(x) 在点 x0 处左连续且右连续 v函数的连续性定义 如果)()(lim00 xfxfxx 则称 yf(x)在点0 x处左连续 如果)()(lim00 xfxfxx 则称 yf(x)在点0

2、 x处右连续 注:v连续函数 在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续连续函数举例 1 多项式函数P(x)在区间( )内是连续的 这是因为，函数P(x)在( )内任意一点x0处有定义，并且)()(lim00 xPxPxx 如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续 在左端点连续是指右连续 2 函数y=sin x在区间( )内是连续的 这是因为，函数y=sin x在( )内任意一点x处有定义，并且sin)sin(limlim00 xxxyxxDDDD0)2cos(2sin2lim0DDDxxxx 连续函数举例 1 多项式函数P(x)在区间( )内是连续

3、的 二、函数的间断点二、函数的间断点间断点的定义设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义 如果函数f(x)在点x0不连续 则点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点 分析:)()(lim00不成立xfxfxx;)() 1 (0无定义xf;)(lim,)()2(00不存在但有定义xfxfxx.,)(lim,)()3(00但两者不相等存在且有定义xfxfxx所以点x=0是该函数的间断点 如果补充定义：令x=0时y=1 则所给函数在x=0成为连续 x=0称为该函数的可去间断点 间断点举例xxysin 例1,0sin无定义在点因为函数xxxy, 1sinlim0 xxx因为)(lim)(lim00

4、xfxfxx 因函数f(x)的图形在x=0处产生跳跃现象 我们称x=0为函数f(x)的跳跃间断点 例2 例例 5 设函数0 10 00 1)(xxxxxxf 所以极限)(lim0 xfx不存在 x0 是函数 f(x)的间断点 不存在 x0 是函数 f(x)的间断点 因为1) 1(lim)(lim00 xxfxx 1) 1(lim)(lim00 xxfxx 间断点举例间断点举例 例3 例例 1 正切函数 ytan x 在2 x处没有定义 所以点2 x是函数 tan x 的间断点 因为xxtanlim2 铅直渐近线无穷间断点.故称 为函数 的2xtan x例例 2 函数xy1sin在点 x0 没有定义 例4 当x0时 函数值在 1与+1之间变动无限多次 所以点x=0是函数的间断点 所以点x=0称为函数的振荡间断点 间断点举例xy1sin第一类间断点: 可去间断点、跳跃间断点 第二类间断点: 无穷间断点、振荡间断点、及其它.v间断点的类型注; 0lim,1|nnaa时当.lim,1|nnaa时当,0时当 x, 10 xenxnelim, 0)(limnxne; 1)( xxf,0时当 x; 0)(xf,0时当 x, 1xenxnelim,)(limnxne. 1)( xxf解综上得,0, 10, 00, 1)