高等数学-第七版-课件-13-2 一致收敛函数列与函数项级数的性质

1、 一致收敛性的重要性在于可以将通项函数的许多解析性质遗传给和函数，如连续性、可积性、可微性等，这在理论上非常重要.2 一致收敛函数列与函数项级数的性质 数学分析 第十三章函数列与函数项级数数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性一致收敛函数列的性质后退 前进 目录 退出可积性可微性 定理13.8（极限交换定理）nf设函数列设函数列 在在 上一致收敛于上一致收敛于 , 00( ,)(, )a xx b ( )f x且且对每个对每个n , 0lim( )nnxxfxa，limnna则则和和0lim( )xxf x 均均存存在在且且相

2、等相等.00lim lim( )lim lim( ).(2)nnxxnnxxfxfx即即na证证 先证先证是收敛数列是收敛数列. 故存故存在正整数在正整数 N, 当当 nN及对任意正整数及对任意正整数 p, 对一切对一切00( ,)(, )xa xx b ， 有有 |( )( )|.nn pfxfx 0 ，nf由于由于 一一 致收敛致收敛, 对任意对任意数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社lim,nnaA设设na于是由柯西准则可知于是由柯西准则可知是收敛数列是收敛数列,则则0limlim( ).nnxxfxA下面证明下面证明00lim( )limlim( ).nxxxx nf

3、xfxA注意到注意到|( )|f xA111|( )( )|( )|NNNf xfxfxa2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性可积性可微性从而从而0|lim |( )( )|.nn pnn pxxaafxfx 1|NaA( )nfx( )f x ，由于由于 一致收敛于一致收敛于 na收敛于收敛于A， nN 当当时时，存在正数存在正数 N， 对任意对任意 00( ,)(, )xa xx b 因此对任意因此对任意0 ，|( )( )|33nnfxf xaA 和和同时成立同时成立. 数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理

4、连续性可积性可微性11|( )( )|33NNfxf xaA 和和011lim( ),NNxxfxa又因为又因为 0 ，故存在故存在 当当00 |xx 时时,特别当特别当n=N+1时，时，0,0,xxx 于于是是 当当满满足足时时|( )|f xA,333 这就证明了这就证明了 0lim( ).xxf xA有有11|( )|.3NNfxa 也有也有 1|( )( )|Nf xfx11+|( )|NNfxa1+ |NaA数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社定理指出定理指出: 在一致收敛的条件下在一致收敛的条件下, ( )nfx中关于独中关于独 立变量立变量 x与与n 的极限可以交

5、换次序的极限可以交换次序, 即即(2)式成立式成立. ,( )( , )nfxa b类类似似地地 若若在在lim( )nxafx 上一致收敛上一致收敛, 且且 存在存在, lim lim( )lim lim( );nnnnxaxafxfx( )( , )lim( ),nnxbfxa bfx若若在在上上一一致致收收敛敛, ,且且存存在在lim lim( )lim lim( ).nnnnxbxbfxfx2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性可积性可微性则有则有则有则有数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社 推论 定理13.9（连续性）若函数列若函数列 nf在区间在区间

6、 I上一致收敛上一致收敛,且每一项都连续且每一项都连续, 则其极限函数则其极限函数 f在在 I 上也连续上也连续. 证证 0.xI设设为为上上任任一一点点于是由定理于是由定理 13.8 知知 0lim( )xxf x也存在也存在, 且且 000lim( )lim()(),nxxnf xfxf x0( ).f xx因因此此在在上上连连续续nfIf若若连连续续函函数数列列在在区区间间 上上内内闭闭一一致致收收敛敛于于 ，fI则则在在 上上连连续续. .2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性可积性可微性00lim( )(),nnxxfxfx由由于于数学分析 第十三章 函数列与函数项级

7、数高等教育出版社nx( 1,1 例如例如 函数列函数列 的各项在的各项在 上都是连续的上都是连续的, 其极限函数其极限函数 0,11,( )1,1xf xx1x 在在时时不不连连续续，nx( 1,1 所以所以在在 上不一致收敛上不一致收敛.注注 定理定理13.9可以逆过来用可以逆过来用:2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性可积性可微性但但 列在区间列在区间 I 上其极限函数不连续上其极限函数不连续, 若各项为连续函数的函数若各项为连续函数的函数I 上一定不一致收敛上一定不一致收敛. 则此函数列在区间则此函数列在区间 定理13.10（可积性）nf若函数列若函数列在在a, b上一

8、致收敛上一致收敛, 且每一项都连续且每一项都连续, 则则 lim( )dlim( )d .(3)bbnnaannfxxfxx数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社nf证证 设设 f 为函数列为函数列 在在a, b上的极限函数，上的极限函数， (1,2,)nfn 从从而而与与 f 在在a, b上上上都可积上都可积. , ,na bff因因为为在在上上一一致致收收敛敛于于, , ,nNxa b当当时时 对对一一切切都都有有2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性可积性可微性lim( )d( )d .(3 )bbnaanfxxf xx于是于是(3)变为变为0 ，故对于任意

9、故对于任意存在存在N, 知知 f 在在 a, b上上连续连续,由定理由定理13.9|( )( )|.nfxf x 再根据定积分的性质再根据定积分的性质, 当当 nN 时有时有( )( ) d( )( ) dbbbnnaaafxf xxfxf xx( )( ) d(),bnafxf xxba 这就证明了等式这就证明了等式 (3 ). 数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社12,0,211( )22,1,2,.210,1,nnnnnxxnfxnxxnnnxn ( )nfx0,1显然显然 是是上的上的连续函数列连续函数列, 0,1x lim( )0.nnfx, 例例1 设函数设函数13

10、6 图图1nf12n1nn xyO2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性可积性可微性且对任意且对任意数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社0,1sup |( )0|,nnxfx 又又( )0,1nfx在在 因此因此上一致上一致 收敛于收敛于 0 的充要条件是的充要条件是 . 0()nn 10( )d,2nnfxxn 因为因为1100( )d( )d0nfxxf xx故故lim02nnn 的充要条件是的充要条件是. 1,n 这这样样, ,当当时时虽然虽然 ( )nfx( )f x不一致收敛于不一致收敛于, 但定理但定理 13.10 的结论仍的结论仍 ( )nfx(

11、).f x不一致收敛于不一致收敛于但当但当 时时, =nn 101( )d2nfxx同同时时10( )d0.f xx也不收敛于也不收敛于( )nfx例例1说明当说明当收敛于收敛于 f(x) 时，时，一致收敛性是极一致收敛性是极 限运算与积分运算交换的充分条件限运算与积分运算交换的充分条件, 2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性可积性可微性成立成立. 不是必要条件不是必要条件. 数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社 定理13.11（可微分性）nf设设为定义在为定义在a, b上的函数列上的函数列, 2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性可积性可微性

12、的的收收敛敛点点，0 , xa b 若若为为nfddlim( )lim( ).(4)ddnnnnfxfxxx则则 , nfa b的的每每一一项项在在上上有连续的导数有连续的导数 nf ，且且在在a, b上一致收敛上一致收敛, nf 0lim(),nnfxA设设 , gfa b 为为在在上上的的极极限限函函数数，00( )()( )d .xnnnxfxfxftt由定理条件由定理条件, 对任一对任一 , xa b，证证 总有总有 ,nA当当时时 右右边边第第一一项项第第二二项项0( )d .xxg tt数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社,于是于是 f 所以上式左边极限存在所以上式

13、左边极限存在, 记为记为 0( )lim( )( )d .xnxnf xfxAg tt由由 g 的连续性及微积分学基本定理得的连续性及微积分学基本定理得.fg 这就证明了等式这就证明了等式(4). 2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性可积性可微性 推论设设函函数数列列定定义义在在区区间间上上，若若为为的的收收敛敛点点且且在在上上内内闭闭一一致致收收敛敛，( )lim( ).nnfxfx则则在在上上可可导导，且且数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性可积性可微性0 xnf注注 请注意定理中的条件请注意定理中的条

14、件为为的收敛点的作用的收敛点的作用. , a bnf在定理的条件下在定理的条件下, 还可推出在还可推出在 上函数列上函数列一一 致收敛于致收敛于f , 请读者自己证明请读者自己证明. 与前面两个定理一样与前面两个定理一样, 运算交换的充分条件运算交换的充分条件, 而不是必要条件而不是必要条件, 请看例请看例2. 一致收敛是极限运算与求导一致收敛是极限运算与求导 推论设设函函数数列列定定义义在在区区间间上上，若若为为的的收收敛敛点点且且在在上上内内闭闭一一致致收收敛敛，( )lim( )nnfxfx则则在在上上可可导导，且且数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社函数列函数列221(

15、 )ln(1),1,2,2nfxn xnn与与22( ),1,2,1nnxfxnn x在在0,1上都收敛于上都收敛于0, 0,11limmax |( )( )|,2nnxfxfx ( )0,1,nfx所所以以导导函函数数列列在在上上不不一一致致收收敛敛lim( )0lim( ) .nnnnfxfx 2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性可积性可微性例例2 由于由于但有但有数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社在上述三个定理中在上述三个定理中, 我们都可举出函数列不一致收我们都可举出函数列不一致收 敛但定理结论成立的例子敛但定理结论成立的例子. (如实变函数论如实变

16、函数论)将讨论使上述定理成立的较弱条件将讨论使上述定理成立的较弱条件, 但在目前情况下但在目前情况下, 只有满足一致收敛的条件只有满足一致收敛的条件, 才能才能 保证定理结论的成立保证定理结论的成立. 下面讨论定义在区间下面讨论定义在区间 , a b上函数项级数上函数项级数12( )( )( )(5)nu xuxux的连续性、逐项求积与逐项求导的性质的连续性、逐项求积与逐项求导的性质, 可根据函数列的相应性质推出可根据函数列的相应性质推出. 2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性可积性可微性在今后的进一步学习中在今后的进一步学习中 这些性质这些性质数学分析 第十三章 函数列与函

17、数项级数高等教育出版社 定理13.12（极限交换定理、连续性定理）( )nux 0()Ux 1. 若函数项级数若函数项级数在在一致收敛一致收敛, 0lim( )nnxxuxa ，每个每个n ,00lim( )lim( ).nnnxxxxuxuxa (6)( )nux , a b2. 若若区间区间上一致收敛上一致收敛, 续续, 2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性逐项积分逐项求导则有则有且对且对且每一项都连且每一项都连 , a b上也连续上也连续. 则其和函数在则其和函数在 数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社 定理13.14（逐项求导定理） 定理13.13（逐

18、项积分定理）( ) d( ) d .(7)bbnnaauxxuxx , a b在在上上一一致致收收敛敛，0 , xa b 为为 ( )nux 的收敛点的收敛点, dd( )( ) .(8)ddnnuxuxxx 且每一且每一若函数项级数若函数项级数( )nux 在在a, b上一致收敛上一致收敛, 2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性逐项积分逐项求导若函数项级数若函数项级数( )nux 在在a, b上每一项都有连续的上每一项都有连续的则则( )nux都连续都连续, 项项则则导函数，导函数，且且( )nux 数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社定理定理 13.13

19、和和 13.14 指出指出, 在一致收敛条件下在一致收敛条件下, 逐项逐项 求积或求导后求和等于求和后再求积或求导求积或求导后求和等于求和后再求积或求导. 注注 本节六个定理的意义不只是检验函数列或函数本节六个定理的意义不只是检验函数列或函数 项级数是否满足关系式项级数是否满足关系式(2)(4), (6)(8), 根据定理的条件根据定理的条件, 即使没有求出极限函数或和函数即使没有求出极限函数或和函数, 也能由函数列或函数项级数本身获得极限函数或和也能由函数列或函数项级数本身获得极限函数或和 函数的解析性质函数的解析性质.2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性逐项积分逐项求导更

20、重要的是更重要的是 数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社例例3 设设 2231( )ln(1),1,2,.nuxn xnn( )nux 0,1证明函数项级数证明函数项级数在在上一致收敛上一致收敛, 并讨并讨 论和函数在论和函数在0,1上的连续性、可积性与可微性上的连续性、可积性与可微性. ( )nux证证 对每一个对每一个 n, 易见易见为为0, 1上的增函数上的增函数, 231( )(1)ln(1),1,2,.nnuxunnn21,ln(1),ttt又又当当时时 有有不不等等式式2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性逐项积分逐项求导231( )ln(1)nux

21、nn故有故有 所以所以 3211,1,2,.nnnn21( )nuxn收收敛敛级级数数是是的的优优级级数数, ,因此级数因此级数 ( )nux 0,1在在上一致收敛上一致收敛. 数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社( )nux0,1由于每一个由于每一个在在上连续上连续, 定理定理13.13知知 ( )nux ( )S x0,1的和函数的和函数在在上连上连 续且可积续且可积. 2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性逐项积分逐项求导222221( ),1,2,(1)2nxxuxnnn xn nxn21( )nuxn即即也也是是的的优优级级数数, ,( )nux 0,

22、1故故 在在 由定理由定理13.14, 得知得知( )S x在在0, 1上可上可微微. 又由又由上一致收敛上一致收敛. 根据定理根据定理13.12与与数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社*例例4 确定函数项级数确定函数项级数 11nnxn 的收敛域并讨论的收敛域并讨论 和函数的连续性和函数的连续性. 2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性逐项积分逐项求导解解 首先利用连续性定理首先利用连续性定理(或极限交换定理或极限交换定理)建立一个建立一个 ( )nux , )a b若函数项级数若函数项级数的每一项在的每一项在上上 有定义有定义, ,( )nn ux a(i)

23、 在点在点右连续右连续;( , )xa b ( )nux (ii) 收敛收敛; , (iii) 级数级数( )nu a 发散发散, ( )nux ( , )a b则则在在上不一致收敛上不一致收敛.判别法判别法: 且且数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社lim( )( )nnxauxu a , 及极限交换定理得及极限交换定理得 lim( )lim( )( )nnnxaxauxuxu a 与与( )nu a 发散矛盾发散矛盾. 对函数项级数对函数项级数11,nnxn 用根式判别法求出其收用根式判别法求出其收 11|nnxxxnn()n 因为因为, | 1x | 1x 所以当所以当时

24、级数收敛时级数收敛, 时级数发散时级数发散. 2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性逐项积分逐项求导( )nux ( , )a b理由是理由是, 如果如果在在上一致收敛上一致收敛, 则由则由(i) 敛域敛域. 这就证明了上述判别法这就证明了上述判别法.数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社11nn 1x 当当 时时, 1( 1)10,nnn 也发散也发散. ( 1,1). 因此这个级数的收敛域为因此这个级数的收敛域为( 1,1) 11( ),nnf xxn 设在设在上上2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性逐项积分逐项求导11e0,nn1x 时时, 而当而当发散发散; 111nnn 的一般项的一般项级数级数111nnn 的一般项的一般项级数级数数学分析 第十三章 函数列与函数项级数高等教育出版社1( )nnuxxn 1x 1x 因为因为在在和和处分别为左处分别为左111nnn111nnn 而级数而级数和和发发 故根据本例第一段的判别法故根据本例第一段的判别法, 知道知道 11nnxn在在 ( 1,1) 上不一致收敛上不一致收敛. ( 1,1) 出和函数在出和函数在上连续上