线代讲义 特征值与特征向量矩阵的对角化

1、第四章 特征值与特征向量 矩阵的对角化§4.1向量的内积 正交矩阵1.向量的内积定义4.1 设有n维向量和，那么是一个数，记为，称为向量与的内积，即性质设是n维向量，是一个数，那么（1）（2）（3）（4）定义4.2设有n维向量,称为向量的模或长度。当且仅当；时称为单位向量。定理4.1 柯西-施瓦茨不等式对于任何的n维向量和，有成立。定义4.3 设有n维向量和，称为向量和的夹角。如果称向量和正交。零向量与任何向量正交。定义4.4 两两正交的单位向量组称为正交规范组。定理4.2 如果是两两正交的非零向量，那么向量组线性无关。反之不然。但是通过下面的方法，可以将一个线性无关的向量组化为两两

2、正交的单位向量组。设是一个线性无关的向量组，令 且与（）正交，那么得到所以如果再将都化为单位向量，那么得到正交规范向量组：这种方法就是格拉姆-施密特正交化规范化方法。2.正交矩阵定义4.5 如果n阶方阵满足称为正交矩阵。性质如果A、B是正交矩阵，那么（1）；（2）；（3）、是正交矩阵；（4）AB是正交矩阵。定义4.6 如果为正交矩阵，线性变换称为正交变换。定理4.3 矩阵A为正交矩阵的充要条件是其行（列）向量组为正交规范组。即：例4.1 已知，求一个非零向量，使得为正交向量组。解 设与正交的向量为，那么有即其基础解系与向量正交。例4.2求非零向量使之与成为两两正交的向量组。解 设与正交的向量为

3、，那么这个齐次线性方程组的基础解系，与正交（当然的与任意线性组合也是与正交的向量）。但是，并非正交，下面将其正交化。那么为正交向量组。例4.3 已知为正交矩阵，求和。解 由于A为正交矩阵，则其列向量组必为单位向量组，那么 A为正交矩阵时，其列向量组也必定是正交向量组或者§4.2 特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的定义定义4.7 设A是一个n阶方阵，若存在数和非零的n维列向量x使得则称数是矩阵A的特征值，非零向量x是矩阵A的对应于特征值的特征向量。显然是一个n元齐次线性方程组，并且有非零解（）。因此：。是关于的n次多项式，称为特征多项式，称为特征方程， 在复数范围内有n个根。2.

4、 特征值和特征向量的求法求解特征方程的根得到矩阵A的特征值；解齐次线性方程组求其非零解得到A的对应于的特征向量。特别地，n阶单位矩阵的n个特征值都是1；对角矩阵对角线上n个元素就是它的特征值。3特征值和特征向量的性质定理4.4 如果是矩阵A的特征值，则有：（1）（2）推论 n阶矩阵A可逆的充分必要条件是其n个特征值都不是零。定理4.5 n阶方阵A与其转置矩阵有相同的特征值（但特征向量一般不同）。定理4.6 如果是矩阵A的特征值，则：（1）是的特征值；（2）是的特征值；（3）是的特征值（如果A可逆）。定理4.7 矩阵A的不同特征值对应的特征向量线性无关。下面我们给出三个方面的例题：求特征值和特征

5、向量；利用特征值和特征向量计算；特征值和特征向量的有关证明。例4.4 求下列矩阵的特征值和特征向量：（1） （2）解（1）矩阵A的特征多项式解特征方程得到特征值：时，求齐次线性方程组的基础解系：其同解方程，基础解系为，所以，对应的全部特征向量为。时，求齐次线性方程组的基础解系：其同解方程组，基础解系为 所以，对应的全部特征向量为。（2）矩阵B的特征多项式解特征方程得到特征值：。求齐次线性方程组的基础解系：其同解方程组，基础解系为，得到全部特征向量为。例4.5证明：矩阵与其转置矩阵有相同的特征值。证明 由于说明与有相同的特征多项式，因此有相同的特征值。例4.6 如果是可逆矩阵A的特征值，证明：是

6、伴随矩阵的特征值。证明 设是矩阵A的对应于的特征向量，那么有两边同时左乘并且同乘数：即：根据定义，是的特征值。特征值和特征向量的有关证明一般有两种方法：利用特征多项式或特征方程；利用定义。上例中，证明特征多项式相同只能说明特征值相同，但不能说明特征向量相同；本例中，用定义不仅证明了是的特征值，而且说明了矩阵A的对应于的特征向量与的对应于的特征向量一样。例4.7 如果是矩阵A的不同特征值对应的特征向量，证明不是矩阵A的特征向量。证明 假设是矩阵A的对应于特征值的特征向量，根据定义有由于分别是对应的特征向量，因此所以即因为是不同特征值对应的特征向量，所以线性无关，那么当且仅当时上式成立。这与已知不

7、同相矛盾。故不是矩阵A的特征向量。例4.8设矩阵有特征值，求参数。解 因为是的特征值，所以和成立，即解得。例4.9 设是矩阵的逆矩阵的特征向量，求常数k的值。解 设是的对应于的特征向量，那么有两边同时左乘A且同乘数得到即P也是A的特征向量：或者例4.10设3阶矩阵A的特征值为-1，-1，3，求行列式和的值。解 因为矩阵A的特征值为-1，-1，3，所以的三个特征值：，因此由于3是矩阵A的特征值，那么，因此§4.3 相似矩阵1相似矩阵的定义定义4.8 设A和B是n阶方阵，若存在可逆矩阵P使得则称B是A的相似矩阵，或者称A与B相似，称P为相似变换矩阵。2. 相似矩阵的性质定理4.8 相似矩

8、阵一定是等价矩阵，反之不然。因此具有（1）自反性 与相似； （2）对称性若与相似，则与相似；（3）传递性 若与相似，且与相似，那么与相似。定理4.9 相似矩阵有相同的特征值。定理4.10 如果矩阵与相似，那么（1）；（2）；（3）与相似。3. 对角化的条件定义4.9 如果矩阵A能与对角矩阵相似，称矩阵A可对角化。定理4.11 n阶矩阵可对角化的充分必要条件是有n个线性无关的特征向量。推论1 如果n阶矩阵有n个不同特征值，那么可对角化。推论1 矩阵可对角化的充分必要条件是它的k重特征值都有k个线性无关的特征向量。定理4.12 实对称矩阵的特征值为实数。定理4.13 实对称矩阵不同特征值对应的特征

9、向量正交。定理4.14 实对称矩阵必定可以对角化，即存在正交矩阵，使得。4对角化方法根据定理4.11的结论和证明过程（参看教材）我们得到矩阵对角化的方法和步骤：（1） 求出特征值和特征向量；（2） 根据线性无关的特征向量的个数判断是否可对角化；（3） 如果要求求正交的相似变换矩阵，则需根据施密特正交化方法将特征向量正交单位化；（4） 根据所求的特征值写出相似的对角矩阵，根据特征向量写出相似变换矩阵。例4.11 判断下列矩阵是否可对角化？如果能对角化求出相似的对角矩阵和相应的相似变换矩阵：（1） （2）解（1） 在上一节例题4.4中，求出了矩阵特征值和特征向量：，由于矩阵的行列式，表明矩阵有3个线性无关的特征向量，因此矩阵可对角化。且与相似的对角矩阵为：相似变换矩阵。注意相似变换矩阵的特征向量的顺序要与对角矩阵中的特征值的顺序对应一致：如果对角矩阵，那么相似变换矩阵应为。（2） 根据上节例题4.4的结果，3阶矩阵B没有3个线性无关的特征向量（只有一个），因此矩阵B不可对角化。例4.12求上例4.4中矩阵的100次幂。解 根据上例的结果，相似变换矩阵，可求出由于得到例4.13