多项式的整除性和带余除法

1、 多项式整除性理论主要讨论任给两个多项多项式整除性理论主要讨论任给两个多项式式 f(x),g(x), f(x),g(x), 是否有是否有 g(x) g(x) 整除整除f(x)f(x)以及以及与此相关的多项式的最大公因式与此相关的多项式的最大公因式, , 多项式的多项式的因式分解等问题因式分解等问题. . 在讨论一元多项式的整除性理论时在讨论一元多项式的整除性理论时, ,带余带余除法除法是是 一个重要定理一个重要定理, , 它给出了判断多项它给出了判断多项式式 g(x)g(x)能否整除多项式能否整除多项式f(x)f(x)的一个有效方法的一个有效方法; ; 并且是讨论一元多项式的最大公因式及多项并

2、且是讨论一元多项式的最大公因式及多项式根的理论基础式根的理论基础. .1-3 多项式的整除性和带余除法多项式的整除性和带余除法 带余除法定理带余除法定理: :对于对于PPx x 中任意两个中任意两个多项式多项式f f( (x x) )与与g(g(x x),),其中其中(g(g(x x)0,)0,一定有一定有PPx x 中的多项式中的多项式q(q(x x) )和和r(r(x x) )存在存在, ,使得使得.)(),(, 0)(,)()(,)()()()(是唯一决定的并且这样的或者其中成立xrxqxrxgxrxrxgxqxf.)()()(,)()()(的余式除称为的商除通常称为其中xfxgxrxf

3、xgxq Definition5.(Definition5.(整除的定义整除的定义) ) 称称PPx x 上的多项式上的多项式g(g(x x) ) 整除整除f(f(x x),),如果如果存在存在PPx x 上的多项式上的多项式h(h(x x), ), 使得使得.)()(,)()(,)(|)().()()(|)(),()()(|)(.)()()(倍式的为称因式的为称时当不能整除表示用整除表示用成立xgxfxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxhxgxfg(x)0, g(x)f(x)g(x)0, g(x)f(x)等价于等价于 g(x)g(x)除除 f(x)f(x)的余式零的余式零. .

4、 q(x)q(x)和和r(x)r(x)的求法与中学的方的求法与中学的方 法基本相同法基本相同. . 在做除法时在做除法时, , 可以可以分离系分离系 数数, , 因为次多项因为次多项 式是由它的式是由它的1 1 个系数唯一确个系数唯一确定的定的, (, (做除法时按降幂排列做除法时按降幂排列).). 由定义不难看出由定义不难看出1.1.零多项式被任意一个多项式整除零多项式被任意一个多项式整除; ;2.2.零多项式不能整除任意非零多项式零多项式不能整除任意非零多项式; ;3.3.任意多项式一定整除它自身任意多项式一定整除它自身. .4.4.零次多项式零次多项式( (非零常数非零常数) )整除任意

5、多项式整除任意多项式. .当当g(x)0g(x)0时时, ,由带余除法定理得到由带余除法定理得到Theorem1.Theorem1.对于对于PPx x 中任意两个多项式中任意两个多项式f f( (x x) )与与g(g(x x),),其中其中g(g(x x)0,)0,则则g(g(x x)|f()|f(x x) )的充分必要条件是的充分必要条件是g(x)g(x)除除f(x)f(x)的余式为零的余式为零. . 整除性的几个常用性质整除性的几个常用性质: :任一多项式任一多项式 f(x)f(x)都能被都能被 cf(x) cf(x) 整除整除值得注意的是值得注意的是: : 多项式的整除不是运算多项式的

6、整除不是运算, , 它是它是xx元素间元素间的一种关系的一种关系, , 类似于实数集类似于实数集 R R 元素间的大小元素间的大小关系关系, , 相等关系相等关系; ;多项式的整除性是不因数域的扩充而改变的多项式的整除性是不因数域的扩充而改变的. .即当数域扩充时即当数域扩充时, , 作为扩充后的数域上的多项作为扩充后的数域上的多项式式 f(x)f(x)和和g(x), g(x)g(x), g(x)除除f(x)f(x)的商式和余式仍的商式和余式仍然是上面的然是上面的q(x)q(x)和和r(x).r(x). )( |:.,.4 . 2.1)(25)(,. 2?1,.122342nnaxaxPaPE

7、XERCISESmxxxgxlxxxfmlEXAqpxxmxxqpmEXAMPLE证明是一个数域设整除能被，使求整除能多项式满足什么条件时实数 补充补充:综合除法综合除法rbbbbcbcbcbcbaaaaaccbracbbababxbxbxbxqrxqcxxfaxaxaxaxfnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn0321012101210012110122110111|,)()()()()(我们得到综合除法有比较系数设20)3(38113)(203811311143393495201|3:.9452)(3,. 32324frxxxxqxxxxfxEXAMPLE所以作综合除法解的商式和余数除用用综合除法求)(| )(0)(:*.73)1 (2)()(. 3).2(532)(. 223423xfcxcfixxiixxxfixEXERCISESfxxxxfEXERCISES结论的商式与余数除求用用综合除法求设的值。求设dcbadxcxbxaxxxEXAMPLE,)2()2()2(532. 32323课堂小结课堂小结 1.1.整除的概念及性质整除