选修2-1双曲线集体备课教案--双曲线的方程及其应用

1、赫章一中集体备课资料2014-2015第一学期高二年级课堂教学教案学科： 数学 备课组教师： 集体讨论时间：2014年12月 日 教案执行时间： 2014年12月 日课题2.3.1 双曲线及其标准方程课型新授课主备教师 教学课时数1教学目标1.了解双曲线的定义，几何图形及标准方程的推导.2掌握双曲线的标准方程3.会利用双曲线的定义和标准方程解决一些简单的问题教学重点双曲线的定义和标准方程教学难点双曲线标准方程的推导及简单应用.教法与学法讲练结合教学用具是否用多媒体是教 学 过 程补充1、 新课引入：1悲伤的双曲线如果我是双曲线，你就是那渐近线如果我是反比例函数，你就是那坐标轴虽然我们有缘，能够

2、生在同一个平面然而我们又无缘，漫漫长路无交点为何看不见，等式成立要条件难道正如书上说的，无限接近不能达到为何看不见，明月也有阴晴圆缺此事古难全，但愿千里共婵娟2.PPT展示生活中的双曲线,引出本节的课题。二、课堂探究：探究点1 双曲线的定义问题1：椭圆的定义？：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆.；问题2：如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”，那么点的轨迹是怎样的曲线？即“平面内与两个定点F1，F2的距离的差等于非零常数的点的轨迹 ”是什么？看图分析动点M满足的条件：如图(A)，如图(B)，即由可得：（非零常数）上面两条曲线合起来叫做双曲线

3、,每一条叫做双曲线的一支.双曲线定义平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数（小于)的点的轨迹叫做双曲线. 两个定点双曲线的焦点;双曲线的焦距.（）【举一反三】1.定义中为什么要强调差的绝对值？（若不加绝对值，则曲线为双曲线的一支）2.定义中的常数可否为0，,？ 【说明】不能，若为0，曲线就是F1F2的垂直平分线了； 若为,曲线应为两条射线； 若为,这样的曲线不存在.探究点2 双曲线的标准方程1.建系.如图建立直角坐标系，使轴经过两焦点，轴为线段的垂直平分线.2.设点.设为双曲线上任意一点,双曲线的焦距为,则，又设点M与的距离的差的绝对值等于常数.3.列式由定义可知，双曲线就是集合： 即

4、4.化简代数式化简得：两边同除以得：由双曲线的定义知，,即,故,令，其中，代入上式得： 上面方程是双曲线的方程,我们把它叫做双曲线的标准方程.它表示焦点在轴上，焦点分别是的双曲线，这里.【想一想】焦点在y轴上的双曲线的标准方程应该是什么？我们应该如何求解？【提升总结】1.椭圆与双曲线的定义比较2.当焦点不确定时，椭圆的方程可设为双曲线方程可设为。三、典例精讲例1.已知双曲线两个焦点，双曲线上一点P到距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。解：因为双曲线的焦点在轴上，所以设其标准方程为因为，所以，所以因此，双曲线的标准方程为：例2 . 已知A,B两地相距800 m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地

5、晚2 s,且声速为340 m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.分析:首先根据题意,判断轨迹的形状.由声速及A，B两处听到爆炸声的时间差,可知A，B两处与爆炸点的距离的差为定值. 这样，爆炸点在以A，B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处远，所以爆炸点应在靠近B处的双曲线的一支上.解: 如图所示，建立直角坐标系,使A，B两点在轴上，并且坐标原点O与线段AB的中点重合.设爆炸点P的坐标为，则 即 ，因为，所以因此炮弹爆炸点的轨迹（双曲线）的方程为【举一反三】1.若在A,B两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点的轨迹是什么?解: 爆炸点的轨迹是线段AB的垂直平分线.2.根据两个不同的观测点测得同一炮

6、弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸点的准确位置. 而现实生活中为了安全，我们最关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位置呢?解:再增设一个观测点C，利用B，C（或A，C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.四、课堂训练1已知两定点，动点P满足，则当3和5时，P点的轨迹为()A双曲线和一直线 B双曲线和一条射线C双曲线的一支和一条射线 D双曲线的一支和一条直线2. 若方程的曲线是焦点在轴上的双曲线，则Î 3. 若双曲线过点和两点，求双曲线的标准方程.

7、小结1. 双曲线定义及标准方程；2.双曲线焦点位置的确定方法；3.求双曲线标准方程的关键（定位，定量）；4.双曲线与椭圆之间的区别与联系.布置作业板书设计 集 体 备 课 补 充 部 分 年 月 日2014-2015第一学期高二年级课堂教学教案学科： 数学 备课组教师： 集体讨论时间：2014年12月 日 教案执行时间： 2014年12月 日课题2.3.2 双曲线的简单几何性质 第1课时 双曲线的简单几何性质课型新授课主备教师 教学课时数1教学目标1.通过双曲线的方程和几何图形，了解双曲线的对称性、范围、顶点、离心率等简单几何性质.2了解双曲线的渐近性，并能用双曲线的简单几何性质解决一些简单的

8、问题教学重点双曲线的简单性质（范围、对称性、离心率、渐近线）的理解及简单应用教学难点对渐近线的理解和应用.教法与学法讲练结合教学用具是否用多媒体是教 学 过 程补充1、 新课引入：多媒体展示冷却通风塔的图片我们知道，电能是现代生活不可缺少的能源，目前我国主要靠火力发电，而火力发电主要是在火力发电厂中进行，火力发电厂简称“火电厂”，其形状就像照片中“粗烟囱”.那么这些“粗烟囱”是怎样建成的呢？这就需要我们了解双曲线的简单几何性质二、课堂探究：探究点1 双曲线的简单几何性质如果我们也按照椭圆的几何性质的研究方法来研究双曲线，那么双曲线将会具有什么样的几何性质呢？回忆一下双曲线的标准方程：.（焦点在

9、轴上）1. 范围因为2. 对称性以代方程不变，故图象关于 轴对称；以代方程不变，故图象关于 轴对称；以代且以代方程不变，故图象关于 原点 对称3. 顶点（1） 令=0，得,则双曲线与x轴的两个交点为，我们把这两个点叫双曲线的顶点;令=0,得,这个方程没有实数根，说明双曲线与轴没有交点，但我们也把画在轴上.（2） 如图，线段叫做双曲线的实轴，它的长为,叫做双曲线的半实轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长为,叫做双曲线的半虚轴长.4.渐近线下面我们证明双曲线上的点在沿曲线向远处运动时，与直线逐渐靠拢. 方案1：考查点到直线的距离 方案2：考查同横坐标的两点间的距离 .由双曲线的对称性知，我们只需证明

10、第一象限的部分即可.如图：设是双曲线上面的点，则是直线上有相同横坐标的点，则因为 （点N总是在点M上方），所以因为是点M到直线的距离，且，当逐渐增大时，逐渐减小，无限增大，接近于0，也接近于0.对于双曲线，直线叫做双曲线的渐近线。注意：1.双曲线的渐近线直线 2.渐近线是双曲线特有的几何性质，它决定着双曲线张口的开阔与否.在方程，如果，那么双曲线的方程为，它的实轴长和虚轴长都等于2.这时，四条直线围成正方形，渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴与虚轴所成的角。等轴双曲线： 实轴与虚轴等长的双曲线。 等轴双曲线方程为若焦点不确定，可设为 5. 离心率 与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的

11、比，叫做双曲线的离心率。因为，所以双曲线的离心率 思考：离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？由 因此，e越大，渐近线斜率越大，倾斜角越大，张角越大，张口越开阔，e越小，渐近线斜率越小，倾斜角越小，张角越小，张口越扁狭.所以双曲线的离心率是反应双曲线开口大小的几何量.【提升总结】1.与双曲线有相同焦点的双曲线方程为 2.与双曲线有相同渐近线方程的双曲线方程为 3.双曲线的简单几何性质以-x代x且以-y代y方程不变，故图象关于 对称原点三、典例精讲【例】求双曲线的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程解：将双曲线方程化为标准方程得：由此可知， 则 于是双

12、曲线的半实轴长 半虚轴长 焦点在轴上，焦点坐标为 离心率 渐近线方程为【提升总结】求渐近线方程的方法： 1根据焦点坐在坐标轴直接写渐近线方程 2将双曲线中的常数项变为0，反解出即可，如例题1中，将144变为0，即，解出4、 课堂训练1.(2014·广东高考)若实数k满足0<k<5，则曲线与曲线的（ ）A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等2.双曲线的渐近线方程为（ ）3与双曲线 有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是 4.求中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P(1，3)，离心率为的双曲线的标准方程小结布置作业板书设计 集 体 备 课

13、 补 充 部 分 年 月 日2014-2015第一学期高二年级课堂教学教案学科： 数学 备课组教师： 集体讨论时间：2014年12月 日 教案执行时间： 2014年12月 日课题2.3.2 双曲线的简单几何性质第2课时 双曲线方程及性质的应用课型新授课主备教师 教学课时数1教学目标1进一步掌握双曲线的标准方程和几何性质，能解决双曲线有关的综合问题2掌握直线与双曲线的位置关系的判断方法，能利用直线和双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦等问题，提高知识的综合应用能力教学重点直线与双曲线的交点个数，弦长和中点弦问题教学难点直线与双曲线的综合问题.教法与学法讲练结合教学用具是否用多媒体是教 学 过

14、程补充一、复习回顾：二、课堂探究：探究点1 由双曲线的性质求双曲线方程【例题1】双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如图），它的最小半径为12m,上口半径为13m，下口半径为25m,高为55m，试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程。（精确到1m）解：如图，建立冷却塔的轴截面所在平面的直角坐标系，使小圆的直径在轴上，圆心与原点重合，这时，上、下口的直径都平行于轴，且 设双曲线的方程为，令点C的坐标为，（y>0）则点B坐标为因为点B,C在双曲线上，所以所以所求双曲线的方程为【提升总结】已知双曲线的几何性质，求其标准方程的方法步骤：(1)确定焦点所在的位置，以确定双

15、曲线方程的形式；(2)确立关于的方程(组)，求出参数；(3)写出标准方程【例2】点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求点M的轨迹.解：设d是点M到直线的距离,根据题意有：由此得：化简变形得：所以点M的轨迹是实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线。【拓展延伸】双曲线的第二定义：平面内到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数（）的动点的轨迹是双曲线 【提升总结】双曲线中应注意的几个问题：(1)双曲线是两支曲线，而椭圆是一条封闭的曲线；(2)双曲线的两条渐近线是区别于其他圆锥曲线所特有的；(3)双曲线只有两个顶点，离心率e>1；(4)等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线，其离心率，实轴

16、长与虚轴长相等，两条渐近线互相垂直;(5)注意双曲线中的等量关系与椭圆中的不同探究点2 直线与双曲线的位置关系种类：相离; 相切; 相交(一个交点, 两个交点)【提升总结】直线与双曲线的位置关系：1.位置关系：相交、相切、相离2.判别方法(代数法)通法 联立直线与双曲线的方程，消元得到一元二次方程（当二次项系数不为0时） (1)>0直线与双曲线相交有两个公共点； (2)=0直线与双曲线相切有且只有一个公共点； (3)<0 直线与双曲线相离无公共点3. 弦长公式 4.点差法：若和是双曲线上的两点，是AB的中点，是AB所在直线的斜率,O是坐标原点。则有：【例题3】过双曲线的右焦点,倾斜角为的直线交双曲线与A，B两点，求.解：由题意知：，的坐标为因此直线AB方程为联立消去得：思路一(两点间距离公式)：解这个方程得：代入直线方程得于是所以思路二（弦长公式）：设则有【变式练习】能否求出的周长？3、 课堂训练1