Chapter4-数字相关和数字卷积

1、第四章第四章 数字相关和数字卷积数字相关和数字卷积4.1 线性相关线性相关4.2 循环相关循环相关4.3 相干函数相干函数4.4 线性卷积线性卷积4.5 循环卷积循环卷积4.6 相关函数和功率谱的估计（自学）相关函数和功率谱的估计（自学）4.7 相关技术的应用相关技术的应用2022-3-161/584.1 线性相关线性相关 线性相关是讨论线性相关是讨论两信号两信号之间的之间的同步性同步性或或相似性相似性或或同相性同相性或两信号的变化规律是否具有或两信号的变化规律是否具有线性关系线性关系或或接近接近线性关系线性关系的的程度程度。 2022-3-16 设有离散信号设有离散信号x(n)和和y(n),

2、其线性相关函数为：其线性相关函数为： m0表示表示y(n)序列序列左移左移，m0表明有表明有同相成分同相成分存在，存在， rxy(m)3时，没有公共部分，相乘必然为零；时，没有公共部分，相乘必然为零；当位移当位移m0,表示表示y(-n)右移，右移， m0,表示表示y(-n)左移。左移。线性卷积运算的简洁表达方式：线性卷积运算的简洁表达方式：式中，式中，*表示线性卷积运算符。表示线性卷积运算符。31/584.4 线性卷积线性卷积令令k=m-n，则，则n=m-k 2022-3-16令令k=m+n，则，则n=k-m ( )() ( )()xyyxkrmx km y krm因此，卷积运算交换先后不影响

3、结果，但是相关运因此，卷积运算交换先后不影响结果，但是相关运算互为相反数。算互为相反数。 32/584.4 线性卷积线性卷积【例例4-9】设设x(n)和和y(n)是有限长的序列，序列是有限长的序列，序列x(n)长度长度为为N点，序列点，序列y(n)的长度为的长度为M点点, x(n)除区间除区间N1n N2之之外皆为外皆为0， y(n)除区间除区间N3n N4之外皆为之外皆为0，证明他们，证明他们的线性卷积函数的线性卷积函数cxy(m)的长度为的长度为M+N-1点，并且区间点，并且区间N3+N1m N4+N2之外皆为之外皆为0。2022-3-16证明：依题意，证明：依题意，x(n)的非的非0区间

4、：区间： N1n N2y(m-n)的非的非0区间：区间： N3m-n N4 因此：因此： N3+N1m N4+N233/584.4 线性卷积线性卷积2022-3-16【例例4-10】设设x(n)和和y(n)是有限长的序列，是有限长的序列，x(n)=1,0.1,-1,0.1, y(n)=0.1,1,0.1,-1, 求两序列的线性卷积。求两序列的线性卷积。解：线性卷积也可以采用直接计算法、表格法和图形法解：线性卷积也可以采用直接计算法、表格法和图形法求解。求解。 （1）直接计算法（）直接计算法（最直接最直接） x(n)和和y(n)都是都是4点长的序列，点长的序列，n从从0到到3有值，其余有值，其余

5、为零，当位移为零，当位移m6时，也没有公共部分，相乘为零；因而我们时，也没有公共部分，相乘为零；因而我们只要求只要求m0、1、2、3、4、5、6的的cxy(m)即可：即可： 34/584.4 线性卷积线性卷积2022-3-16综上，综上，35/584.4 线性卷积线性卷积 （2）图形法（）图形法（最复杂最复杂）2022-3-1636/584.4 线性卷积线性卷积2022-3-16 （3）表格法（）表格法（最直观最直观） 表格第一行表示表格第一行表示 x(n)，第二行开始把对应时刻，第二行开始把对应时刻m的的y(m-n)逐一填入，然后对同一逐一填入，然后对同一m值，取值，取x(n) y(m-n)

6、 的乘的乘积，再相加，得到积，再相加，得到cxy(m)。 x(0)x(1)x(2)x(3)y(0)y(-1)y(-2)y(-3)y(1)y(0)y(-1)y(-2)y(2)y(1)y(0)y(-1)y(3)y(2)y(1)y(0)y(4)y(3)y(2)y(1)y(5)y(4)y(3)y(2)y(6)y(5)y(4)y(3)37/584.4 线性卷积线性卷积 如果如果x(n)和和y(n)的序列点比较长，用上述的直接计算法、表的序列点比较长，用上述的直接计算法、表格法和图形法就显得不太方便，因此需要用矩阵形式来进行表格法和图形法就显得不太方便，因此需要用矩阵形式来进行表达。假设达。假设x(n)序

7、列长度为序列长度为N点，点， y(n)序列长度也为序列长度也为N点，两序列点，两序列N点之外皆为零，用矩阵的形式来表达线性卷积函数点之外皆为零，用矩阵的形式来表达线性卷积函数cxy(m) ： 2022-3-16 如果如果x(n)和和y(n)的长度不同，则将短的序列进行补的长度不同，则将短的序列进行补0，使得两，使得两序列点长相同，然后计算序列点长相同，然后计算cxy(m)。Matlab中有直接求线性卷积的中有直接求线性卷积的函数：函数：c=conv(x,y)。 cxy(0)cxy(1)cxy(N-1)cxy(2N-2)38/58课堂练习课堂练习2022-3-16用直接法和表格法做如下例题：用直

8、接法和表格法做如下例题：1、设、设x(n)和和y(n)是有限长的序列，是有限长的序列，x(n)=1,2,-2, y(n)=2,2,-2, 求两序列的线性卷积函数。求两序列的线性卷积函数。39/584.5 循环卷积循环卷积 循环卷积是针对序列的循环移位的一种相关运算。循环卷积是针对序列的循环移位的一种相关运算。 有限长序列的循环移位是指有限长序列的循环移位是指y(m-n)NRN(n),即让序即让序列列y(-n)以以N为周期进行周期延拓为周期进行周期延拓，然后再进行，然后再进行右移位右移位。 只朝一个方向进行移位的原因：对周期序列只朝一个方向进行移位的原因：对周期序列向右向右移动一个移动一个位置，

9、等效于位置，等效于向左移动向左移动N-1个位置个位置。2022-3-16 例如：将周期序列例如：将周期序列y(-n)N右移右移1个单位变为个单位变为y(-n+1)N, 由于是周期序列，因此有如下关系：由于是周期序列，因此有如下关系： y(-n+1)N= y(-n+1-N)N = y(-(n+(N-1)N40/584.5 循环卷积循环卷积2022-3-16 设有离散信号设有离散信号x(n)和和y(n),其其N点循环卷积函数为：点循环卷积函数为： 由于循环移位的关系，最后得到的循环卷积序列由于循环移位的关系，最后得到的循环卷积序列的长度就是的长度就是N点，点，m取取0,1,2,N-1。 循环卷积运

10、算的简洁表达式如下：循环卷积运算的简洁表达式如下： 式中，式中， 表示循环卷积运算符表示循环卷积运算符41/584.5 循环卷积循环卷积【例例4-11】求例求例4-10中的两个序列的中的两个序列的4点循环卷积函数。点循环卷积函数。 2022-3-16解：同样可以采用直接计算法、图形法和表格法来进解：同样可以采用直接计算法、图形法和表格法来进行求解行求解 （1）直接计算法）直接计算法 x(n)和和y(n)都是都是4点长的序列，点长的序列，n从从0到到3有值，其有值，其余为余为0, 4点循环相关就只要运算点循环相关就只要运算m=0,1,2,3的的 cxy(m)。把。把y(-n)以以4为周期进行周期

11、延拓，得到：为周期进行周期延拓，得到： 42/584.5 循环卷积循环卷积2022-3-16因此，因此，43/584.5 循环卷积循环卷积 （2）表格法）表格法 第一行表示第一行表示x(n)，第二行并开始将对应时刻，第二行并开始将对应时刻m的的y(m-n)NRN(n)逐一填入，然后对同一逐一填入，然后对同一m值，取值，取x(n)与与y(m-n)NRN(n)对应项的乘积，再相加，得到循环相关对应项的乘积，再相加，得到循环相关函数函数 cxy(m)。 2022-3-16x(0)x(1)x(2)x(3)y(0)y(-1+4)y(-2+4)y(-3+4)y(1)y(0)y(-1+4)y(-2+4)y(

12、2)y(1)y(0)y(-1+4)y(3)y(2)y(1)y(0)44/584.5 循环卷积循环卷积 （3）图形法）图形法 通过右移可以依次得到通过右移可以依次得到m=0,1,2,3的的y(m-n)NRN(n)。然后将得到的然后将得到的4点序列与点序列与x(n)对应相乘，再相加即可。对应相乘，再相加即可。如下图，将第一幅图与最后一幅图相乘再相加即可得如下图，将第一幅图与最后一幅图相乘再相加即可得到当到当m=3时的时的cxy(3)=-1.98。2022-3-1645/584.5 循环卷积循环卷积2022-3-1646/584.5 循环卷积循环卷积 求循环卷积函数时，如果求循环卷积函数时，如果x(

13、n)的长度为的长度为N，y(n)的的长度为长度为M，若要求他们的，若要求他们的L点循环卷积，点循环卷积，L大于或等于大于或等于M、N，也是一样把，也是一样把y(-n)以以L为周期进行周期延拓，再为周期进行周期延拓，再右移位，取右移位，取L点主值与补点主值与补0到到L点长的点长的x(n)对应项相乘，对应项相乘，再相加。再相加。2022-3-16 如果如果x(n)和和y(n)的序列点比较长，同样也可以用矩的序列点比较长，同样也可以用矩阵的形式对阵的形式对cxy(m)进行求解：进行求解：cxy(0)cxy(1)cxy(N-1)47/584.5 循环卷积循环卷积 Matlab中的循环右移的函数中的循环

14、右移的函数circler() 2022-3-16function v=circler(y) N=length(y);v=zeros(N,N); for i=1:N for j=1:N v(i,j)=y(j); end L=y(N); for k=N:-1:2 y(k)=y(k-1); end y(1)=L; endV=V;生成矩阵生成矩阵给定给定x(n)与与y(n),计算过程：计算过程：V=circler(y);r=x*V，序列短就补，序列短就补0，使两短序列长度相等，在进行上述计算。使两短序列长度相等，在进行上述计算。48/58课堂练习课堂练习2022-3-16用直接法和表格法做如下例题：用

15、直接法和表格法做如下例题：1、设、设x(n)和和y(n)是有限长的序列，是有限长的序列，x(n)=1,2,-2, y(n)=2,2,-2, 求两序列的求两序列的3点循环卷积函数。点循环卷积函数。49/584.7 相关技术的应用相关技术的应用 相关技术分为自相关和互相关，分别用自相关函相关技术分为自相关和互相关，分别用自相关函数和互相关函数。数和互相关函数。 自相关函数研究信号本身：波形的同步性和周期自相关函数研究信号本身：波形的同步性和周期性等。性等。 互相关函数研究两信号的同一性程度：测定两信互相关函数研究两信号的同一性程度：测定两信号间的时间滞后或从噪声中检测信号。号间的时间滞后或从噪声中

16、检测信号。2022-3-16 对于确定信号对于确定信号x(n)的自相关函数：的自相关函数： 如果信号是随机的或周期的，其自相关函数定义：如果信号是随机的或周期的，其自相关函数定义：50/584.7 相关技术的应用相关技术的应用 几种常用信号的自相关函数。几种常用信号的自相关函数。 （1）信号为正弦波的自相关函数）信号为正弦波的自相关函数设设 ，周期为，周期为M，则自相关函数为：，则自相关函数为：2022-3-16cos()coscossinsincos()coscossinsincos()cos()sinsin251/584.7 相关技术的应用相关技术的应用 （2）信号为白噪声的自相关函数）信

17、号为白噪声的自相关函数设有一功率谱为设有一功率谱为 ，则自相关函数为：，则自相关函数为：2022-3-16 “白白”的含义指两点之间没有任何相关性，带限白的含义指两点之间没有任何相关性，带限白噪声，功率谱为矩形波。噪声，功率谱为矩形波。sinc函数性状，就是函数性状，就是m=0有最有最大值，大值，m足够大时趋近足够大时趋近0。 一个观测信号一个观测信号x(n)实际上是周期信号实际上是周期信号s(n)和随机信和随机信号号w(n)的叠加加过程，的叠加加过程，x(n)= s(n)+ w(n)。 如果信号和噪声互不相关，则自相关函数：如果信号和噪声互不相关，则自相关函数： rxx(m)= rss(m)

18、+ rww(m) m足够大，足够大， rxx(m)不为不为0，可以判定周期信号存在！，可以判定周期信号存在！52/584.7 相关技术的应用相关技术的应用【例例4-13】设周期信号设周期信号s(n)=0.8sin(n/5)，噪声，噪声w(n)为随为随机产生的白噪声，观测信号机产生的白噪声，观测信号x(n)= s(n)+ w(n)。2022-3-16%产生产生s信号信号clearm=1:300;for n=1:300 s(n)=0.8*sin(pi*n/5);end%产生随机白噪声产生随机白噪声w=randn(1,300);%生成观测信号生成观测信号x=s+w;%产生自相关函数产生自相关函数rw

19、w=xcorr(w);V=circlel(s);rss=s*V;%或者或者rss=xcorr(s);for k=301:599 rss(k)=rss(k-300+1);endrxx=xcorr(x);%生成原始信号图生成原始信号图figure,subplot(3,1,1),plot(m,w)subplot(3,1,2),plot(m,s)subplot(3,1,3),plot(m,x)%生成自相关函数图生成自相关函数图figure,subplot(3,1,1),plot(-299:299,rww)subplot(3,1,2),plot(-299:299,rss)subplot(3,1,3),p

20、lot(-299:299,rxx)%扩大观测信号的自相关函数扩大观测信号的自相关函数figure,plot(120:299,rxx(120:299)53/584.7 相关技术的应用相关技术的应用结果：结果：2022-3-16050100150200250300-505纯 干 扰 w050100150200250300-101周 期 信 号 s050100150200250300-505观 测 信 号 x-300-200-1000100200300-5000500纯 干 扰 信 号 的 自 相 关 函 数 rww-300-200-1000100200300-1000100周 期 信 号 的 自

21、相 关 函 数 rss-300-200-1000100200300-5000500观 测 信 号 的 自 相 关 函 数 rxx120140160180200220240260280300-150-100-50050100150观 测 信 号 的 自 相 关 函 数 rxx截 取 片 段54/584.7 相关技术的应用相关技术的应用【例例4-14】设设x(n)= e-0.05ncos(n/6)，y(n)=1.2x(n-n0),它它们的波形如下图所示，试估计延迟们的波形如下图所示，试估计延迟n0。2022-3-16%生成信号生成信号x和和ym=0:23;for n=1:24 x(n)=exp(-

22、0.05*n)*cos(pi*n/6);endfor n=5:24 y(n)=1.2*x(n-4);endy(1:4)=0;figure,subplot(2,1,1),stem(m,x),title(信号信号x)subplot(2,1,2),stem(m,y),title(信号信号y)%求信号求信号x和和y的互相关函数的互相关函数rxy和和ryxrxy=xcorr(x,y);ryx=xcorr(y,x);figure,subplot(2,1,1),stem(-23:23,rxy),title(信号信号x和和y的互相关函数的互相关函数rxy)subplot(2,1,2),stem(-23:23,

23、ryx),title(信号信号x和和y的互相关函数的互相关函数ryx)55/584.7 相关技术的应用相关技术的应用结果：结果：2022-3-160510152025-1-0.500.51信 号 x0510152025-1-0.500.511.5信 号 y-25-20-15-10-50510152025-6-4-20246信 号 x和 y的 互 相 关 函 数 rxy-25-20-15-10-50510152025-6-4-20246信 号 x和 y的 互 相 关 函 数 ryx56/58本章小结本章小结2022-3-161、掌握：线性相关、线性卷积、相掌握：线性相关、线性卷积、相干干函数和相

24、干函数和相干系数；系数；2、熟悉：循环相关和循环卷积；熟悉：循环相关和循环卷积；3、了解：相关技术的应用。了解：相关技术的应用。57/58本章习题本章习题2022-3-16用直接法和表格法做如下例题：用直接法和表格法做如下例题：1、设、设x(n)和和y(n)是有限长的序列，是有限长的序列，x(n)=2,0.1,-2,0.1, y(n)=0.1,2,0.1,-2, 求两序列的线性相关、循环相关、求两序列的线性相关、循环相关、线性卷积和循环卷积函数。线性卷积和循环卷积函数。58/582022-3-16下集预告下集预告第五章第五章 维纳滤波维纳滤波59/582022-3-16实验二详解实验二详解%

25、选择信号类型并设定参数，产生信号选择信号类型并设定参数，产生信号x(n)clear; clc;disp(请选择信号请选择信号);disp(1 - 伪随机序列伪随机序列randn();disp(2 - 实际测量的心电信号实际测量的心电信号);disp(3 - 实际测量的脑电信号实际测量的脑电信号);b = input(信号：信号：);switch b % 输入序号，产生相应信号，输入序号，产生相应信号，L=128，N=8 case 1 L = input(每段数据长度每段数据长度 L n); N = input(数据共多少段数据共多少段 N n); x = randn(1, L*N); case

26、 2 load ecgdata; display(数据总长度数据总长度,num2str(length(ecgdata),点点); L = input(每段数据长度每段数据长度 L n); N = input(数据共多少段数据共多少段 N n); x = ecgdata (1:(N*L); case 3 load eegdata; display(数据总长度数据总长度,num2str(length(eegdata),点点); L = input(每段数据长度每段数据长度 L n); N = input(数据共多少段数据共多少段 N n); x = eegdata (1:(N*L);end% 估计

27、信号的统计特征量估计信号的统计特征量Xmean = zeros(1,N); % 每段数据均值每段数据均值Xms = zeros(1,N); % 每段数据均方值每段数据均方值Xvar = zeros(1,N); % 每段数据方差每段数据方差rxs=xcorr(x,x);pxs=abs(fft(rxs);for k = 1:N xs = x(k-1)*L+1):(k*L); Xmean(k) = mean(xs); Xms(k) = std(xs).2+ Xmean(k)2; Xvar(k) = var(xs);end% 显示显示n = 1:N;figure;subplot(2,3,1); stem(n,Xmean,.); title(mean);subplot(2,3,2); stem(n,Xms