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1、球面坐标变换Qf ( x, y, z)dVdQf ( x, y, z)dV .V注：这里 Q 既代表一个所求的量，又代表该量的值由柱面坐标变换的根据， 使我们想到若三重积分中 , 当被积函数含有 x2 y2 z2 时，联想到球面方程，我们有如下的球面坐标变换.1、球面坐标系设 M 为空间一点，球球面坐标( ,) 规定如下：为原点到 M 点的距离，是矢量 OM 与 oz轴的正向所夹的角，是过 Oz轴及点 M 的半平面与包含正 x轴的半平面 ozx所成的角， ,的变化范围分别是图 9-4002 （或）， 0，0（如图 9-40）.2、球面坐标变换从图上容易看出，点M的直角坐标（ x, y, z）与

2、球面坐标（, p）之间的关系为x0M c o ss i n c o s ,ZsinP(x,y,z)Z(, )DzsinCOABxP (x,y,0)yy0M s i ns i n s i n ,XOzc o s .图 9-41X下述三族曲面称为球面坐标系中的坐标曲面;（?）一族中心在原点的球面ri (常数 )，即x2y 2z2ri 2 .（? ）一族顶点在原点而对称轴与0z轴重合的圆锥面i 常数，即x 2y2z2 t a n2i0.（? ）一族通过 oz轴的半平面i (常数 )，即 ytan i .若这三族坐标曲面把一个空间区域V 分成几个小区域，这样得到的小区域中，有规则的小区域（如图 9-4

3、1）的体积V 近似地为VAB ADsin2 sin2 sin d d d由于f ( x, y, z)f (sincos ,sin,sin,cos)由 Qf ( x, y, z)dV ，有VdQf ( x, y, z)dV f ( x, y, z)dVf (f (sinsincos cos,sinsinsinsin,cos cos)VV这就是三重积分从直角坐标变换为球面坐标的换元公式.球面坐标系中的体积元素为dV2sind dd,上式可化为先对，再对，后对的累次积分来进行计算.我们还可以利用二次柱面坐标变换来证明球坐标变换公式 .为了得到从直角坐标系的三重积分化为球坐标系的三重积分公式，只要从直

4、角坐标化为球坐标.xsincos ,ysinsin , 看作是两次直角坐标化为柱坐zcos .xr cos ,zc o s ,标 yr sin ,rs i n , 的复合 ,于是由 2 证zz.得的结果 ,从直角坐标 ( x, y, z),于是f ( x, y, z)dxdydzf (r cos , r sin, z)rdrddz.再把 ( z, r ,) 看作直角坐标 ,而把 ( ,) 看成对应的柱坐标 ,有f (r cos , r sin, z)rdrd dzf (sincos ,sin,cos )2 sin dd从而利用直角坐标系的三角积化柱坐标系的三重积分 , 得到从直角坐标系三重积分化为球坐标系数三重积公式为f ( x, y, z)dxdydzf (sincos ,sinsin,co当被积函数含

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