相似三角形综合题解析

1、相似三角形综合题解析一解答题（共22小题）1（2008眉山）如图，E是矩形ABCD的边DC延长线上一点，连接AE分别交BC，BD于F，G（1）图中有全等三角形吗？（对角线分矩形所得两个三角形除外）若有，请写出一对来；若没有，请添加一个条件（不添加辅助线和不改变图中字母），使得图中有全等三角形，并写出来；（2）图中有相似三角形吗？设矩形ABCD的周长为20，对角线长为2，求DE的长，使得你找出的一对相似三角形的相似比为2：32如图（1），在锐角三角形ABC中，ABBCACD、E分别是AB、BC边上的两个动点，连接DE、CD（1）当点D、E运动时，分别在图（2）、图（3）中画出DE运动的位置，要求

2、在图（2）中，仅有一组三角形相似，在图（2）中，仅有两组三角形相似（2）当AB=9，BC=8，CA=6时，选择（1）中的图（3），即有两组三角形相似时，求DE的长3已知：如图，在ABC中，AB=3，AC=2，能否在AC上（不同于A，C）找到点D，过点D作DEAB交于BC于E，过点E作EFAC交AB于F，连接FD，将ABC分割成四个相似的小三角形，但其中至少有两个小三角形的相似比不等于1？若能，求出点D位置；若不能，请说明理由4如图，E为ABCD的边BC延长线上一点，AE与BD交于点F，与DC交于点G（1）写出所有与ABE相似的三角形，并选择其中一对相似三角形加以证明；（2）若BC=2CE，求的

3、值（3）若BC=kCE，求的值5如图1，在四边形ABCD的AB边上取一点E（点E不与A，B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成3个三角形如果其中有2个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的相似点；如果这3个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的强相似点（1）图1中，若A=B=DEC=50，说明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点；（2）如图2，点E是矩形ABCD的AB边上的一个强相似点，若DE=3，AE=BE，求矩形ABCD的面积；（3）在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，B=90，点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，请判断AE与B

4、E的数量关系（要求画出示意图，不必说明理由）6（2013咸宁）阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点解决问题：（1）如图1，A=B=DEC=55，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点

5、）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系7定义：如果一个图形经过分割，能分为4个与自身相似的图形，我们称它为“能四阶自相似分割图形”如图1，任意ABC取各边的中点D、E、F，连接DE、EF、DF，分得的ADF、BDE、DEF、CEF显然都与ABC相似，则任意ABC是“能四阶自相似分割图形”（1）小明发现：任意矩形ABCD（如图2）也是“能四阶自相似分割图形”请你利用尺规作图作出分割线（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）同组

6、的小华思考后提出：能不能设计一种方案，将任意ABC分割成四个与ABC相似的小三角形，且其中至少有两个小三角形的相似比不为1？为了研究方便，小华取AB=6，AC=4，BC=5，（如图3）并成功地设计出了分法请你完成小华的分法，并简单地说明理由8（2008闸北区二模）如图所示，已知边长为3的等边ABC，点F在边BC上，CF=1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边EFG，直线EG，FG交直线AC于点M，N，（1）写出图中与BEF相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设BE=x，MN=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（4）若AE=1，试求GMN的面积

7、9（2011浙江模拟）ABC和DEF是两个等腰直角三角形，A=D=90，DEF的顶点E位于边BC的中点上（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：BEMCNE；（2）如图2，将DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论10（2013永州）如图，已知ABBD，CDBD（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；（2）若AB=9，CD=4，BD=

8、12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；（3）若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；（4）若AB=m，CD=n，BD=l，请问m，n，l满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点？两个P点？三个P点？11已知：正方形ABCD中，点F为边CD的中点，DF=3，连接AF并延长，与BC的延长线交于G点（1）连接BF（如图1），在不添加任何辅助线的条件下，请找出所有

9、相似的三角形，并选择其中的一对加以证明；（2）E是边CB上一动点，连接EF，M为AD上任意一点，且MFEF，连接ME（如图2）若MEF与ADF相似，求EB的长12已知：如图，四边形ABCD是菱形，A=60，直线EF经过点C，分别交AB、AD的延长线于E、F两点，连接ED、FB相交于点H（1）找出图中与BEC相似的三角形，并选一对给予证明；（2）如果菱形的边长是3，DF=2，求BE的长；（3）请说明BD2=DHDE的理由13（2010奉贤区一模）如图，已知：在RtABC中，ACB=90，AC=BC=4，M是边AB的中点，E、G分别是边AC、BC上的一点，EMG=45，AC与MG的延长线相交于点F

10、（1）在不添加字母和线段的情况下写出图中一定相似的三角形，并证明其中的一对；（2）连接结EG，当AE=3时，求EG的长14已知：如图，正方形的边长为1，可以算出一个正方形的对角线长为（1）求两个正方形并排成的矩形的对角线长及三个正方形并排成的矩形的对角线长，进而猜想出n个正方形并排成的矩形的对角线长；（2）在图（2）中找出一对相似三角形并加以说明；（3）由图（3）在下列所给的三个结论中，选择一个正确的结论加以证明：BCE+BDE=45；BEC+BED=45；BEC+DFE=4515（2011莆田质检）如图，矩形ABCD中，点M从A点出发在线段AB上作匀速运动（不与A、B重合），同时点N从B点出

11、发在线段BC上作匀速运动（1）如图1，若M为AB中点，且DMMN请在图中找出两对相似三角形：_，_，选择其中一对加以证明；（2）如图2，若AB=5，BC=3点M的速度为1个单位长度/秒，点N的速度为个单位长度/秒，运动的时间为t秒当t为何值时，DAM与MBN相似？请说明理由；如果把点N的速度改为a个单位长度/秒，其它条件不变，是否存在a的值，使得DAM与MBN和DCN这两个三角形都相似？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由16（2000山西）请阅读下面材料，并回答所提出的问题三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例已知：如图，ABC中，AD

12、是角平分线求证：分析：要证，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在三角形相似现在B、D、C在一直线上，ABD与ADC不相似，需要考虑用别的方法换比在比例式中，AC恰是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C作CEAD，交BA的延长线于E，从而得到BD、DC、AB的第四比例项AE，这样，证明就可以转化成证AE=AC证明：过C作CEDA，交BA的延长线于ECEDA，CEDA（1）上述证明过程中，用到了哪些定理？（写对两个定理即可）（2）在上述分析、证明过程中，主要用到了下列三种数学思想的哪一种？选出一个填在后面的括号内数形结合思想；转化思想；分类讨论思想（3）用三角形内角平

13、分线性质定理解答问题：已知：如图，ABC中，AD是角平分线，AB=5cm，AC=4cm，BC=7cm求BD的长17如图1，已知线段AB=8，点C是AB上的一动点（不包括A、B），在AB同侧作两个等边三角形ACD和BCE，连DE，点P、F分别是DE和BE的中点，连接AF，分别交DC、CE于G、H（1）写出图中所有的相似三角形（除等边三角形ACD和BCE外）；（2）当点C在AB中点时，如图2，求CP的长及AG：GH：HF；（3）点M、N是线段AB上两点，且AM=BN=2，当点C从点M向点N运动时，求点P所经过的路径长18阅读：如图1把两块全等的含45的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板D

14、EF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点D旋转，两边分别与线段AB、BC相交于点P、Q，易说明APDCDQ猜想（1）：如图2，将含30的三角板DEF（其中EDF=30）的锐角顶点D与等腰三角形ABC（其中ABC=120）的底边中点O重合，两边分别与线段AB、BC相交于点P、Q写出图中的相似三角形_（直接填在横线上）；验证（2）：其它条件不变，将三角板DEF旋转至两边分别与线段AB的延长线、边BC相交于点P、Q上述结论还成立吗？请你在图3上补全图形，并说明理由连接PQ，APD与DPQ是否相似？为什么？探究（3）：根据（1）（2）的解答过程，你能将

15、两三角板改为一个更为一般的条件，使得（1）成立？19如图1：等边ADE可以看作由等边ABC绕顶点A经过旋转相似变换得到但是我们注意到图形中的ABD和ACE的关系，上述变换也可以理解为图形是由ABD绕顶点A旋转60形成的于是我们得到一个结论：如果两个正三角形存在着公共顶点，则该图形可以看成是由一个三角形绕着该顶点旋转60形成的利用上述结论解决问题：如图2，ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，ABD，ACE，BFC都是等边三角形，求四边形ADFE的面积；图3中，ABCADE，AB=AC，BAC=DAE=，仿照上述结论，推广出符合图3的结论（写出结论即可）20在等边ABC中，点D为AC上一点，连

16、接BD，直线l与线段BA、BD、BC分别相交于点E、P、F，且BPF=60（1）如图1，写出图中所有与BDC相似的三角形，并选择其中一对给予证明；（2）若直线l向右平移，与线段BA、BD、BC或其延长线分别相交于E、P、F，请在图2中画出一个与图1位置不尽相同的图形（其它条件不变），此时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由；（3）探究：如图1，当BD满足什么条件时（其它条件不变），BPE的面积是BPF的面积的2倍？请写出探究结果，并说明理由（说明：结论中不得含有未标识的字母）21定义：在三角形所在的平面上任作一条直线，若该直线将这个三角形分割成两部分，

17、且分割后至少有一部分与原三角形相似，则这条直线叫做这个三角形的相似分割线（1）如图1，在ABC中，已知ACP=B，则直线CP就是ABC的相似分割线若A=90，请在图1中作出过点P的ABC的其余的相似分割线；如图2，在ABC中，若直线CF是ABC过点C的相似分割线，点P在线段AF（包含点F、不包含点A）上运动，请写出ABC的过点P的所有相似分割线的条数（2）如图3，ABC是O的内接三角形，H、G是O上不同的两点，B是的中点，C是的中点，且AG、AH分别交BC于点D、E两点求证：AG和AH都是ABC的相似分割线；如果AE、AD恰好又是ABD和ACE的相似分割线，试说明：此时D、E两点刚好是BC边上

18、的黄金分割点22（2011东台市二模）在四边形ABCD中，AC=AB，DC=DB，CAB=60，CDB=120，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF思考验证：（1）求证：DE=DF；（2）在图1中，若G在AB上且EDG=60，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明；归纳结论：（3）若题中条件“CAB=60且CDB=120”改为CAB=，CDB=180，G在AB上，EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要证明）探究应用：（4）运用（1）（2）（3）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在四边形ABCD中，ABC=90，CAB=CAD=30，E在AB上，D

19、EAB，且DCE=60，若AE=3，求BE的长参考答案与试题解析一解答题（共22小题）1（2008眉山）如图，E是矩形ABCD的边DC延长线上一点，连接AE分别交BC，BD于F，G（1）图中有全等三角形吗？（对角线分矩形所得两个三角形除外）若有，请写出一对来；若没有，请添加一个条件（不添加辅助线和不改变图中字母），使得图中有全等三角形，并写出来；（2）图中有相似三角形吗？设矩形ABCD的周长为20，对角线长为2，求DE的长，使得你找出的一对相似三角形的相似比为2：3考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定；矩形的性质1082614专题：开放型分析：根据判定两个三角形全等的一般方法有：AS

20、A、SSS、SAS、SSA、HL可知使ABFECF，可添加BF=CF；根据矩形的性质求出矩形的边长，利用相似的性质可求得CE：DE=2：3，所以DE=12解答：解：（1）没有添加条件为：点F是BC的中点，即BF=CF，即可得到ABFECF；（2）有相似三角形，如：CEFEDA，设CD=x，则BC=10x，在RTBCD中，x2+（10x）2=52，解得x=4或x=6，因为BCDC，所以BC=6，DC=4，若，CEFDEA，相似三角形的相似比为2：3，则CE：DE=2：3，DE=12点评：本题考查三角形全等的性质和判定方法以及矩形的性质，相似三角形的判定及性质，判定两个三角形全等的一般方法有：AS

21、A、SSS、SAS、SSA、HL判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件判定两个三角形相似的一般方法有：1，两个角相等；2，三边对应成比例；3，两边对应成比例，夹角相等2如图（1），在锐角三角形ABC中，ABBCACD、E分别是AB、BC边上的两个动点，连接DE、CD（1）当点D、E运动时，分别在图（2）、图（3）中画出DE运动的位置，要求在图（2）中，仅有一组三角形相似，在图（2）中，仅有两组三角形相似（2）当AB=9，BC=8，CA=6时，选择（1）中的图（3），即有两组三角形相似时，求DE的长考点：相似三角形的

22、判定与性质1082614专题：压轴题；动点型分析：（1）作三角形相似，保证两角相等即可；（2）利用相似三角形的性质解答解答：解：（1）如图所示：图（2）中仅有ABCACD；图（3）中仅有ABCACD，CBDDBE；（2）在图（3）中，由ABCACD，得AD=4，CD=BD=ABAD=5（1分）由CBDDBE，得DE=点评：本题利用三角形相似的结论解题，考查了同学们的转化能力，解三角形问题往往用到相似3已知：如图，在ABC中，AB=3，AC=2，能否在AC上（不同于A，C）找到点D，过点D作DEAB交于BC于E，过点E作EFAC交AB于F，连接FD，将ABC分割成四个相似的小三角形，但其中至少有

23、两个小三角形的相似比不等于1？若能，求出点D位置；若不能，请说明理由考点：作图相似变换1082614专题：作图题分析：在AC上取点D，过点D作ADF=B，画出草图，找到相应的对应点，根据对应边成比例求得AD的长即可解答：解：ADF=B，A=AADFABC，AD：AF=AB：AC，设AD=3x，CD=23x，AF=2x，FB=32x，A=CDE=DEF=EFB，ADF=DEC=DFE=B，ADFDECEFDFBE，由AD：AF=BF：EF，3x：2x=（32x）：3x，x=，AD=3x=点评：考查相似三角形的画法及性质的应用；判定出4个相似三角形的对应点是解决本题的突破点4如图，E为ABCD的边

24、BC延长线上一点，AE与BD交于点F，与DC交于点G（1）写出所有与ABE相似的三角形，并选择其中一对相似三角形加以证明；（2）若BC=2CE，求的值（3）若BC=kCE，求的值考点：相似形综合题；相似三角形的判定1082614分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得ABCD，ADBC，平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，即可得ABEGCEGDA；（2）易证得ADFEBF，根据相似三角形的对应边成比例可得，又由BC=2CE，即可求得的值；（3）易证得ECGEBA，ABFGDF，根据相似三角形的对应边成比例可得：，又由BC=kCE，即可求得的值解答：解：（

25、1）ABEGCEGDA；证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ADBC，ABEGCE，GCEGDA，ABEGCEGDA；（2）四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AD=BC，ADFEBF，BC=2CE，AD：BE=2：3，=；（3）四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，ABCD，ADBC，ECGEBA，ABFGDF，BC=kCE，点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似与相似三角形的对应边成比例定理的应用5如图1，在四边形ABCD的AB边上取一点E（

26、点E不与A，B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成3个三角形如果其中有2个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的相似点；如果这3个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的强相似点（1）图1中，若A=B=DEC=50，说明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点；（2）如图2，点E是矩形ABCD的AB边上的一个强相似点，若DE=3，AE=BE，求矩形ABCD的面积；（3）在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，B=90，点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，请判断AE与BE的数量关系（要求画出示意图，不必说明理由）考点：相似形综合题1082614

27、专题：压轴题分析：（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得A+ADE=DEC+BEC，然后求出ADE=BEC，再根据两角对应相等两三角形相似求出ADE和BEC相似；（2）先判断出DEC=90，再根据ADE和ECD相似，利用相似三角形对应边成比例可根据AE=BE可得AE=AB=CD，然后求出CD的长，再求出AE，利用勾股定理列式求出AD，然后利用矩形的面积公式列式计算即可得解；（3）分清况讨论，CED=90，再根据“点E是强相似点”判断出CE、DE分别是BCD和ADC的平分线，然后根据ADE和EDC相似，利用相似三角形对应边成比例可得=，根据BCE和ECD相似，利用相似三角形对

28、应边成比例可得=，整理即可得到AE=BECDE=90，同理可得AE与BE的数量关系解答：解：（1）由三角形外角性质可得A+ADE=DEC+BEC，A=DEC，ADE=BEC，又A=B，ADEBEC，点E是四边形ABCD的AB边上的相似点；（2）点E是矩形ABCD的AB边上的一个强相似点，DEC=90，由ADEECD得，=，AE=BE，AB=CD，AE=AB=CD，=，解得CD=6，AE=6=，在RtADE中，AD=，矩形ABCD的面积=6=9；（3）点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，B=90，若DEC=90，AED+BEC=18090=90，BCE+BEC=90，AED=BCE，若B

29、CE与ECD互余，则四边形ABCD是矩形，所以，BEC和ECD只能相等，同理ADE与EDC也相等，即CE、DE分别是BCD和ADC的平分线，由ADEEDC得，=，AECD=DEEC，由BCEECD得，=，BECD=DEEC，AE=BE若EDC=90，AED与BEC相似，只有ADE=BCE，BEC=AED，EC是DEB的角平分线，CD=CB，CBECDE，BCE=DCE，DE=BE，ADC+BCD=90，BCE+DCE+CDE+ADE=180，即可得3ADE=90，ADE=30，AE：DE=1：2，AE：BE=1：2综上可得：AE：BE=1：1或AE：BE=1：2点评：本题考查了相似形综合题，主

30、要利用了相似三角形对应边成比例，矩形的对边平行且相等的性质，读懂题目信息，理解四边形边上的相似点与强相似点的定义并根据图形确定出相似三角形，准确找出对应边是解题的关键6（2013咸宁）阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点解决问题：（1）如图1，A=B=DEC=55，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形AB

31、CD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系考点：相似形综合题1082614专题：压轴题分析：（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明ADEBEC，所以问题得解（2）根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可（3）因为点E是梯形ABCD的AB边上的一

32、个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解解答：解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点理由：A=55，ADE+DEA=125DEC=55，BEC+DEA=125ADE=BEC（2分）A=B，ADEBEC点E是四边形ABCD的AB边上的相似点（2）作图如下：（3）点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，AEMBCEECM，BCE=ECM=AEM由折叠可知：ECMDCM，ECM=DCM，CE=CD，BCE=BCD=30，BE=CE=AB在RtBCE中，tanBCE=tan30，点评：本题考查了相似三角形的判定和性

33、质，矩形的性质，梯形的性质以及理解相似点和强相似点的概念等，从而可得到结论7定义：如果一个图形经过分割，能分为4个与自身相似的图形，我们称它为“能四阶自相似分割图形”如图1，任意ABC取各边的中点D、E、F，连接DE、EF、DF，分得的ADF、BDE、DEF、CEF显然都与ABC相似，则任意ABC是“能四阶自相似分割图形”（1）小明发现：任意矩形ABCD（如图2）也是“能四阶自相似分割图形”请你利用尺规作图作出分割线（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）同组的小华思考后提出：能不能设计一种方案，将任意ABC分割成四个与ABC相似的小三角形，且其中至少有两个小三角形的相似比不为1？为了研究方便，小

34、华取AB=6，AC=4，BC=5，（如图3）并成功地设计出了分法请你完成小华的分法，并简单地说明理由考点：相似三角形的判定与性质；作图应用与设计作图1082614专题：几何图形问题分析：（1）作AD的中垂线MN、AB的中垂线PQ即可，分成的四个矩形和原来的矩形相似（2）在BC上取点D，过点D作DEAB交AC于点E，过点D作DFAC交AB于点F，就可以将任意ABC分割成四个与ABC相似的小三角形，且其中至少有两个小三角形的相似比不为1解答：解：（1）如图2，作AD的中垂线MN、AB的中垂线PQ即可，分得的四个矩形与原矩形相似（2分）（2）如图3，在BC上取点D，过点D作DEAB交AC于点E，过点

35、D作DFAC交AB于点F，易证：CDEDBFCBA，四边形AEDF为平行四边形，设CE=x，则AE=4x，CDECBA，可得，DE=x，AF=DE=x，（6分）如果：AEFABC，可得，CE=，AF=，CD=（8分）（其他类似方法同样给分）点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，相似三角形的对应边成比例以及应用与设计作图的知识点8（2008闸北区二模）如图所示，已知边长为3的等边ABC，点F在边BC上，CF=1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边EFG，直线EG，FG交直线AC于点M，N，（1）写出图中与BEF相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设BE=x，MN=

36、y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（4）若AE=1，试求GMN的面积考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质1082614专题：压轴题分析：（1）根据ABC与EFG都是正三角形，所以它们的内角都是60，相等，再结合平角等于180，可以找出另外的相关的两个角的和等于120，然后即可确定出图中所有相似的三角形；（2）只要证明另外和等于120的两个角对应相等，即可利用两角对应相等，两三角形相似；（3）因为点E的位置以及BE的长度都不确定，所以分（i）点E在线段AB上且点MN都在线段AC上；（ii）点E在线段AB上，点G在ABC内；（iii）当点E在线段BA的延长线上，三种

37、情况进行讨论；（4）AE=1，而点E的位置不确定，所以要分两种情况进行讨论求解，（i）在线段AB上，则GMN是边长为1的正三角形；（ii）在射线BA上，则GMN是有一个角是30的直角，分别求出两直角边，面积可求解答：解：（1）BEFAMECFNGMN；（3分）证明：（2）在BEF与AME中，B=A=60，AEM+AME=120，（1分）GEF=60，AEM+BEF=120，BEF=AME，（1分）BEFAME；（1分）解：（3）（i）当点E在线段AB上，点M、N在线段AC上时，如图，BEFAME，BE：AM=BF：AE，即：x：AM=2：（3x），AM=，同理可证BEFCFN；BE：CF=BF

38、：CN，即：x：1=2：CN，CN=，AC=AM+MN+CN，3=+y+，y=（1x3）；（ii）当点E在线段AB上，点G在ABC内时，如备用图一，同上可得：AM=，CN=，AC=AM+CNMN，3=+y，y=（0x1）；（iii）当点E在线段BA的延长线上时，如备用图二，AM=，CN=，AC=MN+CNAM，3=y+，y=（x3）；综上所述：y=（0x1），或y=（x1）；（4）（i）当AE=1时，GMN是边长为1等边三角形，SGMN=1=；（1分）（ii）当AE=1时，GMN是有一个角为30的Rt，x=4，y=，NG=FGFN=41=，SGMN=点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，

39、等边三角形的性质，本题难点在于点E的位置不确定，要分情况进行讨论，综合性较强，难度较大9（2011浙江模拟）ABC和DEF是两个等腰直角三角形，A=D=90，DEF的顶点E位于边BC的中点上（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：BEMCNE；（2）如图2，将DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论考点：相似三角形的判定；等腰直角三角形1082614专题：证明题；开放型分析：因为此题是特殊的三角形，所以首先要分析等腰直角三角形的性质：可得锐角为45，根据角之间的关系，利

40、用如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似可判定三角形相似；再根据性质得到比例线段，有夹角相等证得ECNMEN解答：证明：（1）ABC是等腰直角三角形，MBE=45，BME+MEB=135又DEF是等腰直角三角形，DEF=45NEC+MEB=135BME=NEC，（4分）而B=C=45，BEMCNE（6分）（2）与（1）同理BEMCNE，（8分）又BE=EC，（10分）则ECN与MEN中有，又ECN=MEN=45，ECNMEN（12分）点评：此题考查了相似三角形的判定和性质：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等

41、，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似10（2013永州）如图，已知ABBD，CDBD（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；（3）若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP

42、的长；（4）若AB=m，CD=n，BD=l，请问m，n，l满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点？两个P点？三个P点？考点：相似形综合题1082614专题：压轴题分析：（1）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据B=D=90和相似三角形的判定得出当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入求出即可；（2）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据B=D=90和相似三角形的判定得出当=或

43、=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入求出即可；（3）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据B=D=90和相似三角形的判定得出当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入求出即可；（4）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据B=D=90和相似三角形的判定得出当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入后根据根的判别式进行判断即可解答：解：（1）存在P点，使

44、以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，理由是：设BP=x，ABBD，CDBD，B=D=90，当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，=或=，解方程得：x=，方程得：x（10x）=36，x210x+36=0，=（10）241360，此方程无解，当BP=时，以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，此时BP的值为；（2）在BD上存在2个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，理由是：设B

45、P=x，ABBD，CDBD，B=D=90，当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，=或=，解方程得：x=，方程得：x（12x）=36，x212x+36=0，=（10）24136=0，此方程的解为x2=x3=6，当BP=或6时，以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，存在2个点P，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，此时BP的值为或6；（3）在BD上存在3个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，理由是：设BP=x，ABBD，CDBD，B=D=90，当=或=

46、时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，=或=，解方程得：x=，方程得：x（15x）=36，x215x+36=0，=（15）24136=81，此方程的解为x2=3，x3=12，当BP=或3或12时，以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，存在3个点P，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，此时BP的值为或3或12；（4）设BP=x，ABBD，CDBD，B=D=90，当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，=或=，解方程得：x=，方程得：x（lx）=mn，x2l

47、x+mn=0，=（l）241mn=l24mn，当l24mn0时，方程没有实数根，即当l24mn0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点；当l24mn=0时，方程有1个实数根，当l24mn=0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的两个P点；当l24mn0时，方程有2个实数根，当l24mn0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的三个P点点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，根的判别式的应用，注意：ax2+bx+c=0（a0，a、b、c为常数），当=b24ac0时，方程无实数解

48、，当=b24ac=0时，方程有两个相等的实数解，当=b24ac0时，方程有两个不等的实数解11已知：正方形ABCD中，点F为边CD的中点，DF=3，连接AF并延长，与BC的延长线交于G点（1）连接BF（如图1），在不添加任何辅助线的条件下，请找出所有相似的三角形，并选择其中的一对加以证明；（2）E是边CB上一动点，连接EF，M为AD上任意一点，且MFEF，连接ME（如图2）若MEF与ADF相似，求EB的长考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质1082614专题：计算题；证明题分析：（1）首先由已知得到三个全等三角形，ADFBCFCFG，然后已知图形得CFGABG，所

49、以写出所有相似的三角形为：CFGBFCADFABG（2）先由ADF与MEF相似，再延长MF，与BG交于N点推出MDFCFN，MF=FN，MFENFE，最后证得DAFCFE，求出EB的长解答：解：（1）由已知正方形ABCD和点F为边CD的中点，得：AD=BC，DF=CF，ADF=BCF=90，CFG=DFA（对顶角），FCG=FDA=90，ADFBCFCFG所以写出所有相似的三角形为：CFGBFCADFABG，选：CFG和ABG四边形ABCD是正方形，CDABABG=FCG，BAG=CFGCFGABG；（2）若ADF与MEF相似ADF=EFM=90（）DAF=MEF延长MF，与BG交于N点F为C

50、D中点DF=CFD=DCN=90，DFM=CFNMDFCFN，MF=FN，MFE=NFE=90，FB=FBMFENFE，MEF=FEN=DAF又ADBGDAF=GG=FEG=MEFEF=FG（7分）E与B重合，即EB=0，（）EMF=DAFDAF=GEMF=GM与A点重合易证DAFCFE，代入解得CE=，BE=6=，综上所述，当BE=0或时，MEF与ADF相似点评：此题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质及正方形的性质解答此题的关键是运用它们的判定和性质作答12已知：如图，四边形ABCD是菱形，A=60，直线EF经过点C，分别交AB、AD的延长线于E、F两点，连接ED、FB相交于点H（1）找出图中与BEC相似的三角形，并选一对给予证明；（2）如果菱形的边长是3，DF=2，求BE的长；（3）请说明BD2=DHDE的理由考点：相似三角形的判定与性质；菱形的性质1082614专题：几何综合题分析：（1）根据相似三角形的判定定理，即可找到BECDCF；BECAEF；（2）根据相似三角形的判定证明BCEAFE，再根据相似三角形的对应边的比相等求解；（3）利用菱形的性质、等边三角形的性质以及相似三角形的判定以及性质可以证明BHDEBD，再根据相似三角形的性质即可证