附1准静态静电场

1、第五章 准静态电磁场第 5 章 准静态电磁场 电准静态场Electroquasitatic 简写 EQS 磁准静态场 Magnetoquasistatic 简写 MOS 任意两种场之间的空间尺度和时间尺度没有绝对的分界线。 工程应用（电气设备及其运行、生物电磁场等）电准静态场)0t(B准静态场（低频）时变电磁场磁准静态场)0t(D具有静态电磁场的特点 动态场（高频） 似稳场（忽略推迟效应）电磁波电准静态场特点： 电场的有源无旋性与静电场相同，称为电准静态场（EQS）。用洛仑兹规范 ，得到动态位满足的微分方程t A/,22JA低频时，忽略二次源 的作用，即 ，电磁场基本方程为t D0DHDBEJ

2、BJH,t/0,0,特点：磁场的有旋无源性与恒定磁场相同，称为磁准静态场（MQS）。磁准静态场 低频时，忽略二次源 的作用，即 ,0iE)0(tBDEJBDJH,0t,0,t电磁场基本方程为0A/,22JA 用库仑规范 ，得到动态位满足的微分方程5.1 电准静态场和磁准静态场 满足泊松方程，说明 EQS 和 MQS 忽略了滞后效应和波动性，属于似稳场。A, EQS和MQS 场中，同时存在着电场与磁场，两者相互依存。 EQS场的电场与静电场满足相同的基本方程，在任一时刻 t ，两种电场的分布一致，解题方法相同。EQS的磁场按 计算。tDJH MQS的磁场与恒定磁场满足相同的基本方程，在任一时刻

3、t ，两种磁场的分布一致，解题方法相同，MQS的电场按 计算。tBE 在两种场中满足相同的微分方程，描述不相同的场，为什么？A,b） （EQS）和 （MQS），表明 E 不相同。Et AE a）A A的散度不同，A 必不相同， 也不相同；ABEQS 与 MQS 的共性与个性5.2 磁准静态场与集总电路 在MQS场中， 即 ，故有0 J0dsSJSJ dsSJSJSJSddd3213S2S10iii321即集总电路的基尔霍夫电流定律0i 时变场中sLeciLdtd)(dsBlEEElE电容（EQS）cLcdlEcLdls)t ( q) t ( qc1cuidtc1电阻（MQS）RLcdlERLd

4、lJislRuRi电感（MQS）SBlEdtdsLiLdtdLudtdiL电源sLeudslE有 CLRsuuuidtc1dtdiLRiu即集总电路的基尔霍夫电压定律 0u图5.2.1 结点电流图5.2.2 环路电压5.3 电准静态场与电荷驰豫 导体中，自由电荷体密度随时间衰减的过程称为电荷驰豫。5.3.1 电荷在均匀导体中的驰豫过程说明导电媒质在充电瞬间，以体密度分布的电荷随时间迅速衰减。EQS场中，导体媒质内的电位满足et02e1eet0Vt0e)r(dVer4)t ,r(特解之一为说明在EQS场中，导电媒质中自由电荷体密度 产生的电位很快衰减至零。设导电媒质 均匀，且各向同性，在EQS场

5、中,t J0t通解为etoe/DJ D式中 为 时的电荷分布 ， ( 驰豫时间)， o/e0t 导电媒质中，以 分布的电荷在充电过程中驰豫何方？ 充电后，导电媒质的电位为零吗？5.3.2 电荷在分片均匀导体中的驰豫过程结论：当导电媒质通电时，电荷的驰豫过程导致分界面有积累的面电荷。分界面上ttEE21n11n22EE和根据 有, t/qdsSJSl21Sl21StSJSJ21n2n1当 时，有0l 0tJJn1n2即0)EE(t)EE(n11n22n11n22解 EQS：S21UbEaE分界面衔接条件0)()(11221122EEtEE解方程，得面电荷密度为)e1(Ubats122112图5.

6、3.1 导体分界面 例5.3.1 研究双层有损介质平板电容器接至直流电压源的过渡过程，写出分界面上面电荷密度 的表达式。图5.3.2 双层有损介质的平板电容器 5.4 集肤效应与邻近效应 在正弦电磁场中， ，满足 的材料称为良导体，良导体中可以忽略位移电流，场为MQS：EEJJJjDCCJHHEj和 在导体中，MQS场中同时存在自由电流和感应电流。靠近轴线处，场量减小；靠近表面处，场量增加，称为集肤效应（skin effect )。在正弦稳态下，电流满足扩散方程（热传导方程）JJ22k式中jk45) j1(2/)j1(d1j 以半无限大导体为例，电流沿 y 轴流动，则有)x(Jk)x(Jy2y

7、2通解形式kx2kx1yecec)x(J5.4.1 集肤效应图5.4.1 电流的集肤效应图5.4.2 半无限大导体中的电流 Jy的分布通解kx2kx1yeCeC)x(J由 有 ,EJxjx0yeeJ1)x(Exjx0zeeJkj)x(H由 有 HEj 式中,通常满足 ,即 ,不计滞后效应,因此,此电流场属于似稳场。 1x1exj当 ， 有限，故xyj,0C2,J)0(JC0y1xjx0yeeJ)x(J则 令 称为透入深度（Skin depth），d 的大小反映电磁场衰减的快慢。21d当 时，幅值 0 xx0 x00yeJ)x(J 当材料确定后， 衰减快 电流不均匀分布。 d当 时，幅值 dxx

8、0)(000)(dxyeJdxJ%8 .36)(0100 xJeeJyxd 表示电磁场衰减到原来值的36.8% 所经过的距离 。图 5.4.3 透入深度 5.4.2 邻近效应 相互靠近的导体通有交变电流时,会受到邻近导体的影响，这种现象称为邻近效应（Proximate effect）。 频率越高，导体靠得越近，邻近效应愈显著。邻近效应与集肤效应共存，它会使导体的电流分布更不均匀。图5.4.5 单根交流汇流排的电流集肤效应图5.4.6 两根交流汇流排的邻近效应5.5 涡流及其损耗5.5.1 涡流 当导体置于交变的磁场中，与磁场正交的曲面上将产生闭合的感应电流，即涡流 (eddy current)

9、。其特点： 热效应 涡流是自由电子的定向运动，有与传导电流相同的热效应。 去磁效应，涡流产生的磁场反对原磁场的变化。 工程应用：叠片铁芯（电机、变压器、电抗器等）、电磁屏蔽、电磁炉等。5 .5 .2 涡流场分布以变压器铁芯叠片为例，研究涡流场分布。图5.5.2 变压器铁芯叠片图5.5.1 涡流图5.5.3 薄导电平板假设： ，场量仅是 的函数；xah, l ,故 分布在 平面，且仅有 y分量；zzB eB JE,xoy 磁场呈 y 轴对称,且 时， 。0 x 0zBB在MQS场中，磁场满足涡流场方程（扩散方程） z2z2z222HkHjdxHdkHH解方程，代入假设条件，可以得到/ )kx(c

10、hBH0Z)kx(chBB0z)kx(chJJ0y式中 2/K) j1(Kjk 和 的幅值分别为zByJ210z)Kx2cosKx2ch(21BB210y)Kx2cosKx2ch(21JJ 集肤效应，电流密度奇对称于y 轴，表面密度大，中心处 。 去磁效应，薄板中心处磁场最小；0Jy可见图5.5.4 薄导电平板的磁场图5.5.5 模值分布曲线yzJB , 当 ， 时, 集肤效应严重，若频率不变，必须减小钢片厚度，如 ， ，得 mm05. 0a Hz2000f mm5 . 0a44. 0Ka 1B/B0z5.5.3 涡流损耗体积V中导体损耗的平均功率为KacoschKaKasinshKa2Kal

11、hBdVJ1PV22zav2ye 若要减少 ,必须减小 （采用硅钢），减小 a（采用叠片），提高 （但要考虑磁滞损耗）1,aPeeP 工程应用： 曲线表示材料的集肤程度。以电工钢片为例，设 Kx2B/B0z则,m/s10,100070研究涡流问题具有实际意义（高频淬火、涡流的热效应电磁屏蔽等）。 )Kx2cosKx2ch(21BB0z2/K2/ax 注: a 为钢片厚度。)Hz( f)mm( aKa0/BBz5050020005 . 05 . 013 . 25 . 44 . 42 . 27 . 05 . 0图5.5.6 电工钢片的集肤效应5.6 导体的交流内阻抗例 5.6.1 计算圆柱导体的交

12、流参数（设透入深度 ） ad 安培环路定律eeH)ra(k0er2Ir2I根据zzE eH有)Hr(rr11Ez)ra(k0er2kIHkH) j1(2交流参数S20d)(I1jXRZSHEdSHH)j1(2(I1S20)j1(a2l2其中2a2lL,2a2lXR直流或低频交流 电流均匀分布 s/lR高频交流 集肤、去磁效应，电流不均匀分布 SHEd)(I1ZS*2在MQS场中，设EHSZ解 ，无反射，ad )ra(k0eI IIdLlH电流不均匀分布 图5.6.1 圆柱导体2a2lL2a2lR 交流电阻 R 随 的增加而增大221aaalR22aal2d2aR 直由于 ，故 ，且随 的增加而

13、增大，集肤效应的结果。直RR ad 自感 L 随 的增加而减小a22188lL2a28ladL2直由于 ,故 ，且随 的增加而减小，去磁效应的结果。adLL直5.7 电磁兼容简介 电磁兼容是在有限空间、时间、频谱资源条件下，各种用电设备（生物）可以共存，不致于引起降级的一门科学。即电磁干扰与抗电磁干扰问题。自然干扰源 雷电、太阳黑子、磁暴、沙暴、地球磁场等电磁干扰源电力传输系统 高压传输线绝缘子的电晕放电；高压传输线中电流与电压的谐波分量； 高压传输线之间的邻近效应； 电气化铁道、有轨无轨电车上的受电弓与电网线间的放电和电力电子器件整流后的电流谐波分（0.1150kHz） ； 气体放电灯 荧光

14、灯、高压汞灯、放电管等产生的放电噪音；静电放电 身着化纤衣物、脚穿与地绝缘的鞋子的人运动时，会积 通信系统 各种无线电广播、电视台、雷达站、通信设备等工作时， 都要辐射强能量的电磁波。 核电脉冲 继电器接触开断、核磁共振检测人为干扰源电牵引系统 累一定静电荷，当人接触金属后会放电；抗电磁干扰的两个主要措施：接地、电磁屏蔽。接地保护接地 在金属体（含设备外壳）与大地之间建立低阻抗电路，使雷电、过电流、漏电流等直接引入大地。工作接地 系统内部带电体接参考点（不一定与大地相连），以保证设备、系统内部的电磁兼容。电磁屏蔽磁屏蔽电屏蔽在高频电磁场中，利用电磁波在良导体中很快衰减的原理，选择 d 小且具有

15、一定厚度 的屏蔽材料。)2(dh 在低频或恒定磁场中，利用磁通总是走磁阻小的路径的原理，采用有一定厚度的铁磁材料。在任何频率下，利用金属感应电荷，且通过接地线流入大地的原理，采用金属屏蔽材料，且接地。若是静电场，可实现全屏蔽；若允许磁场存在，金属选非磁性的。屏蔽 屏蔽的谐振现象 ：当电磁波频率与屏蔽体固有频率相等时，发生谐振，使屏蔽效能急剧下降，甚至于加强原电磁场。静电屏蔽效能 静磁屏蔽效能,EElg20dB10SEE10SEHHHlg20dB屏蔽效能用分贝表示（E0 ，H0 表示无屏蔽时的场量） 试证明在MQS场中， 满足,AJA22和证明： 在MQS场中ABB0证明： 在EQS场中EE0)

16、(D2JAJH即)(2AJAABB0同理tDJHt)(JAt)(2AJA即t A取洛仑兹规范JA2有证毕。tBE0)t(AE同理t AED)t(AAt2, 0 A取得2证毕。JA2和2试证明在EQS场中， 满足,A取库仑规范 有JA20 A推导过程：确定稳态解 s1212UbaE 确定 ：对式（1）从 对t积分，且 得 000)0(E0)0(U2s)0(E2s1212Uba)0(E确定A )baba(UA,EA)0(E121121s22 E2 的解为t121121ss1212e )baba(UUba)t (E消去E1 ，则E2 满足的微分方程s1s1212212UdtdUE)ba(dtdE)b

17、a()1( E2 的通解形式2t2pt222EAeEAeEEE )2(特征根：12121212baba,baba（驰豫时间）s21UbEaE0)EE(dtd)EE(11221122和建立方程t121121ss1212e )baba(UUba) t (E同理可得 的表达式为) t (E1t121122ss1221e )baba(UUba) t (E分界面上的面电荷密度为)e1(Uba) t (E) t (Ets1221121122（当媒质参数满足 时， ）02112 当 时， 。随着 t 的增加，衰减项消失，直流稳态时，分界面有一层稳定的面电荷。00t 若将不均匀导体换成不均匀理想介质，分界面是

18、否存在面电荷 ？ 什么条件下可以不出现面电荷？ 推论： 在导体充电瞬间（静电场、恒定场），导电媒质分界面上总会产生随时间积累的面电荷，到达稳态后， 成为定值。若通低频时变电流（EQS） 是时间 t 的函数。 分界面的电荷驰豫过程可以从其电路模型的暂态过程理解。112111A)(E)(AA)0E0)0(E突变（122122B)(E)(BB)0E0)0(E突变（s122220Uba)(0)0(1图5.3.3 双层有损介质平板电容器的电路模型图5.3.4 媒质1中的电场强度 )t(E1图5.3.5 媒质1中的电场强度 ) t (E2图5.3.6 媒质分界面上面电荷的驰豫过程推导扩散方程：利用 ，有0 BJH2)(EttHB所以t2HHBEEEt)(2同理，对 两边取旋度t BE对 两边取旋度，JH JHHH2)(利用导体中 ，有0,0Et)(t2EHE在正弦电磁场中，令 ，有扩散方程jk 2HH22kEE22kJJ22k所以t2JJt2EE/JE 推