一维连续型随机变量及其概率密度

1、一、连续型随机变量及其概率密度一、连续型随机变量及其概率密度二、常见连续型随机变量的分布二、常见连续型随机变量的分布三、小结三、小结第第2.32.3节一维连续型随机变量节一维连续型随机变量 及其概率密度及其概率密度性质性质. 0)(,)1( xpx对任意的对任意的. 1d)()2(xxp证明证明 (2) ttpFxxd)(lim)(1.,)(,d)()(),(,)(简简称称概概率率密密度度率率密密度度函函数数的的概概称称为为其其中中为为连连续续型型随随机机变变量量则则称称有有使使对对于于任任意意实实数数非非负负可可积积函函数数若若存存在在的的分分布布函函数数为为，为为随随机机变变量量设设Xxp

2、XttpxFxxpXxFXx 一、概率密度的概念与性质一、概率密度的概念与性质1.定义定义.d)(xxp11d)(xxpSxxpxd)( 2证明证明.d)(xxpxx 21 )()(12121221xFxFxXPxXPxXxXPxXxPxxpxd)( 1xxp0)( 211221xxdxxpxFxFxXxP)()()() 3().()(,)()(xpxFxxp 则有则有处连续处连续在点在点若若4)(aFaXP ,d)(xxpa 1aXPaXP xxpxxpad)(d)()(1aF .d)(xxpa同时得以下计算公式同时得以下计算公式(5)PX=a=0.由于由于PX=a=F(a)-F(a-0),

3、而而F(x)在在R上连续上连续,所以所以PX=a=0.证证:由此可得由此可得连续型随机变量的概率与区间的开闭无关连续型随机变量的概率与区间的开闭无关bXaP bXaP bXaP bXaPbadxxp)(1s1Sa b xxp0)( 不可能事件的概率一定为不可能事件的概率一定为0,而概率为而概率为0的事件不一定是不可能事件的事件不一定是不可能事件., 0 aXP注意注意是可能发生的显然aX 若若X是连续性随机变量是连续性随机变量,则则 是是 是某连续性随机变量是某连续性随机变量X的密度函数的充要条件的密度函数的充要条件.1)(; 0)(,dxxpxpRx)(xp事实上事实上:.)(;)(;)(.

4、,)(2713210432230 XPXkxxxkxxpX求求的分布函数的分布函数求求确定常数确定常数其它其它具有概率密度具有概率密度随机变量随机变量设设解解, 1d)() 1 (xxp由例例1的的概概率率密密度度为为知知由由Xk61)2( .,)(其它其它04322306xxxxxp, 1d)22(d3043 xxxkx得得.61 k解解之之得得得由xttpxFd)()(当当 时时 ,0 x00)(xdtxF30 x当当 时时 ,43 x当当 时时 ,当当 时时 ,4xxdttpxF)()(xdttdt0060122x3030d)22(d60)(xttttdtxF4232xx43430002

5、260)(xdtdttdttdtxF1 . 4, 1, 43,423, 30,12, 0, 0)(22xxxxxxxxF即即271)3( XP)1()27(FF .4841 二、常见连续型随机变量的分布二、常见连续型随机变量的分布).,(,),(,)(baUXbaXbxaabxpX记为记为区间上服从均匀分布区间上服从均匀分布在区间在区间则称则称其它其它具有概率密度具有概率密度设连续型随机变量设连续型随机变量定义定义 011. 均匀分布均匀分布boaxp )(概率密度概率密度函数图形函数图形 ., 1, 0)(bxbxaabaxaxxF分布函数分布函数xo)(xF a b 1均匀分布分布函数图形

6、均匀分布分布函数图形演示演示例例3 设随机变量设随机变量 X 在在 2, 5 上服从均匀分布上服从均匀分布, 现现对对 X 进行三次独立观测进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值试求至少有两次观测值大于大于3 的概率的概率. X 的分布密度函数为的分布密度函数为 .,)(其其它它05231xxp设设 A 表示表示“一次观测中一次观测中X的值大于的值大于 3 ”,解解即即 A= X 3 .2 YP.2720 因而有因而有设设Y 表示表示3次独立观测中观测值大于次独立观测中观测值大于3的次数的次数,则则., 323BY32132223C033332132C3)( XPAP由由于于,32d3153

7、 x.,.,)(分布分布的指数的指数服从参数为服从参数为则称则称为常数为常数其中其中的概率密度为的概率密度为设连续型随机变量设连续型随机变量定义定义XxxexpXx0000 2. 指数分布指数分布指数分布密度指数分布密度函数图形函数图形演示演示)(xp3121 某些元件或设备的寿命服从指数分布某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如例如无线电元件的寿命无线电元件的寿命 , 电力设备的寿命电力设备的寿命, 动物的寿动物的寿命等都服从指数分布命等都服从指数分布.应用与背景应用与背景分布函数分布函数 . 0, 0, 0,1)(xxexFx 指数分布分布函数图形指数分布分布函数图形演示演示3121例例4

8、 设某类日光灯管的使用寿命设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为服从参数为 =1/2000的指数分布的指数分布(单位单位:小时小时)(1)任取一只这种灯管任取一只这种灯管, 求能正常使用求能正常使用1000小时以小时以上的概率上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以小时以上上,求还能使用求还能使用1000小时以上的概率小时以上的概率. .,)(000120001xxexFxX 的分布函数为的分布函数为解解1000)1( XP10001 XP)1000(1F .607. 021 e10002000)2( XXP10001000,2000 XP

9、XXP10002000 XPXP1000120001 XPXP)1000(1)2000(1FF .607. 021 e指数分布的重要性质指数分布的重要性质 :“无记忆性无记忆性”.).,(,)0(,21)(22)(22NXXxexpXx记为的正态分布或高斯分布服从参数为则称为常数其中的概率密度为设连续型随机变量定义3. 正态分布正态分布(或或高斯分布高斯分布)高斯资料高斯资料图形演示图形演示)(xp正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征;)1(对称对称曲线关于曲线关于x ;)(,)(xpx212取取得得最最大大值值时时当当 ;)(,)(03 xpx时时当当;)4(处处有有拐拐点点

10、曲曲线线在在x )(xp;,)(,)6(轴作平移变换轴作平移变换着着只是沿只是沿图形的形状不变图形的形状不变的大小时的大小时改变改变当固定当固定xxp;)5(轴为渐近线轴为渐近线曲线以曲线以 x)(xp)(xp.,)(,)7(图图形形越越矮矮越越胖胖越越大大图图形形越越高高越越瘦瘦越越小小而而形形状状在在改改变变不不变变图图形形的的对对称称轴轴的的大大小小时时改改变变当当固固定定xp正态分布密度函数图形正态分布密度函数图形演示演示)(xp正态分布的分布函数正态分布的分布函数texFxtd21)(222)( 正态分布分布函数图形正态分布分布函数图形演示演示 正态分布是最常见最重要的一种分布正态分

11、布是最常见最重要的一种分布,例如例如测量误差测量误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;正常情况下生产的产品尺寸正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景 正态分布下的概率计算正态分布下的概率计算texFxtd21)(222)( xXP ? 原函数不是原函数不是初等函数初等函数方法一方法一:利用利用MATLAB软件包计算软件包计算(演示演示)方法二方法二:转化为标准正态分布查表计算转化为标准正态分布查表计算).1, 0(,1, 0),(2NN记记为为态态分分

12、布布的的正正态态分分布布称称为为标标准准正正这这样样时时中中的的当当正正态态分分布布 标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布的概率密度表示为,21)(22 xexx 标准正态分布标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的分布函数表示为.,d21)(22 xtexxt 标准正态分布的图形标准正态分布的图形.225. 1),1 , 0( XPNX求求已已知知解解225. 1 XP)25. 1 ()2( 8944. 09772. 0 例例6 . 0828. 0 ).(1)(:),1 , 0(xxXPxNX证明已知证证dtexXPxtx2221)()(duedueuxux22222121

13、)(1)(1)(xxXPxXPutxx).1 , 0(),(2NXZNX 则则若若引引理理证明证明的的分分布布函函数数为为XZ xZP xXPxXP ,d21222)( xtte得得令令,ut xZP xuued2122),(x ).1 , 0( NXZ 故故解解textd21222)(, ut令ueuxd2122)(xXPxFueuxd2122.)(),(),(2xxFxFXNX证明的分布函数为已知例例7. x证毕证毕)()(cFdFdXcP 因因而而. cd . cddXcP 即即例例 已知已知)4 , 1 ( NX,求求)2(XP解解:)2(XP)2(1XP)2(1F)212(1)5 .

14、 1(1)5 . 1 (9332. 0.)3(;2)2(;,)1(:., 1,arcsin, 0)(的概率密度的概率密度随机变量随机变量的值的值系数系数求求的分布函数为的分布函数为设连续型随机变量设连续型随机变量XaXaPBAaxaxaaxBAaxxFX 例例(其中其中 )0aBAaxBAxFaFaxax2arcsinlim)(lim0)(故有故有解解 (1) 因为因为 X 是连续型随机变量是连续型随机变量, 11lim)(lim2arcsin)(axaxxFBAaaBAaF,)(连连续续所所以以xF.1 B ., 1,arcsin121, 0)(axaxaaxaxxF所所以以,21 A解解之之得得)2(aF 0)2arcsin(121 aa6121 2)2(aXaP )( aF .32 )()(xFxp 的的概概率率密密度度为为随随机机变变量量 X)3(., 0,122其它axaxa.0244,)5 , 0(2有实根的概率有实根的概率求方程求方程上服从均匀分布上服从均匀分布在在设设 kkxxk解解,12有有实实根根时时或或即即 kk,0)2(16162时时当当 kk则有实根的概率为则有实根的概率为.53d5152 x例例3分布函数分布函数概概率率密密度度三、小结三、小结2. 常见连续型随机变量的分布常见连续型随机变量的分布 xttpxFd