微分几何第二章曲面论第六节曲面上的测地线

1、6 曲面上的测地线1.1.曲面曲线的测地曲率；曲面曲线的测地曲率；2.2.曲面上的测地线；曲面上的测地线；3.3.曲面上的半测地坐标网；曲面上的半测地坐标网；4.4.曲面上测地线的短程性；曲面上测地线的短程性；5.5.高斯高斯- -波涅波涅(Gauss-Bonnet)(Gauss-Bonnet)公式公式; ;6.6.曲面上向量的平行移动；曲面上向量的平行移动；7.7.极小曲面极小曲面. .问题：问题：的的线线段段中中直直线线段段最最短短，平平面面上上，连连接接两两点点QP,的的线线段段中中哪哪条条最最短短？在在曲曲面面上上，连连接接两两点点QP,6.1 曲面上曲线的测地曲率曲面上曲线的测地曲率

2、)(S),(:21uurr )(C)2 , 1(),(: suuP n n令令 定义定义上的投影上的投影在在点的曲率向量点的曲率向量在在曲线曲线 krPC )(上上的的投投影影）点点的的切切平平面面上上（也也就就是是在在 PS.)(点的测地曲率点的测地曲率在在称为曲线称为曲线PCgk:记作记作即即 krkg测地曲率的概念测地曲率的概念一一.)(S),(:21uurr )(C)2 , 1(),(: suuP n n令令 kkg)( nk),( nk ),(nk nk )( )(nk )2cos( k,sin k ,cos kkn 而而于于是是有有命题命题1 1222gnkkk 命题命题2 2，

3、kkg)()(的的曲曲率率上上的的投投影影曲曲线线在在切切平平面面是是曲曲线线其其中中 CCk证：证：)(S),(:21uurr )(C)2 , 1(),(: suuP n 测地曲率的几何意义测地曲率的几何意义二二.)( C.理理在在柱柱面面上上应应用用梅梅尼尼埃埃定定的的法法向向量量，是是柱柱面面在在P 的的法法截截面面，沿沿切切方方向向是是柱柱面面在在点点平平面面 P ),( CP的的法法截截线线是是沿沿切切方方向向柱柱面面在在点点 的的法法曲曲率率，沿沿切切方方向向是是柱柱面面在在点点设设 Pkn由由梅梅尼尼埃埃定定理理，, kkn),(cos kkn而而)( k.gk . kkg测地曲

4、率的计算公式测地曲率的计算公式三三.),(nkkg ),(nk ),(nrr ，而而iiirdsdur )(S),(:21uurr )(C)2 , 1(),(: suuP n )(),(21susurr 或或iiiijjijirdsudrdsdudsdur 22,iiikijkkijjijirdsudnLrdsdudsdu 22,iiikijkkijjijirdsudnLrdsdudsdu 22,kkkjijiijkjikjikijrdsudndsdudsduLrdsdudsdu 22, jijiijkkjijikijkndsdudsduLrdsdudsdudsud,22),(nrrkg ii

5、irdsdur ),()()(21,1212222221nrrdsdudsdudsuddsdudsdudsdudsuddsdujijijiijjiij jijijiijjiijgdsdudsdudsuddsdudsdudsdudsuddsdugk,1212222221)()(.式式测测地地曲曲率率的的一一般般计计算算公公 特特别别地地，在在正正交交坐坐标标网网下下，, 0 F此此时时，,2111EEu ,2211GEv ,2121112EEv ,2221212GGu ,2122EGu ,2222GGv jijijiijjiijgdsdudsdudsuddsdudsdudsdudsuddsdug

6、k,1212222221)()()()(1221211121112222222121221122dsdvdsdvdsdudsdvdsdvdsdudsdudsdudsuddsdvdsdvdsdvdsdudsdvdsdvdsdudsdudsdudsvddsdug )(2)(22)(2)(2)(22)(23222222322dsdvEGdsdvdsduEEdsdudsdvEEdsuddsdvdsdvdsduGGdsdvdsduGGdsduGEdsvddsduguvuvuv ，的的夹夹角角为为与与令令曲曲线线的的切切方方向向 urS P坐标曲线坐标曲线u坐标曲线坐标曲线vCurvr 则则 dsrd,s

7、incos GrErvu 又又 dsrd,dsdvrdsdurvu 比比较较以以上上两两式式得得：,sin,cosGdsdvEdsdu )1(cossin22dsEdEdsdEdsud )(21cossindsdvEdsduEEEdsdEvu )sincos(21cossinGEEEEEdsdEvu )sincos(21cossinGEEEEEdsdEvu ,2cossin2cossin22EGEEEEdsdEvu 同同理理，,2sin2cossincos2222GGEGGGdsdGdsvdvu 的表达式整理得：的表达式整理得：代入上面代入上面gk sin2cos2EGGGEEdsdkuvg

8、sinln21cosln21uGEvEGdsd sinln21cosln21uGEvEGdsdkg 公公式式柳柳维维尔尔)(Liouville 曲曲线线，对对于于 u, 0 vEGkug ln21曲曲线线，对对于于 v,2 uGEkvg ln21.sincos vugggkkdsdk 注注.测地曲率是内蕴量测地曲率是内蕴量6.2 曲面上的测地线曲面上的测地线定义定义.均均为为零零，则则称称为为测测地地线线曲曲率率果果它它上上面面每每一一点点的的测测地地曲曲面面上上的的一一条条曲曲线线，如如测地线及其性质测地线及其性质一一.注注.地线地线曲面上的直线一定是测曲面上的直线一定是测命题命题3 3.0

9、线重合于曲面的法线线重合于曲面的法线的点以外，曲线的主法的点以外，曲线的主法除了曲率为除了曲率为测地线测地线曲面上非直线的曲线是曲面上非直线的曲线是证：证：是是测测地地线线，若若曲曲线线)(C由由定定义义可可知知，上上任任意意一一点点，对对曲曲线线)(C, 0sin kkg, 0 k, 0sin ,0 或或故故 ,/n .曲面的法线曲面的法线即曲线的主法线重合于即曲线的主法线重合于曲面的法线，曲面的法线，若曲线的主法线重合于若曲线的主法线重合于,/n 即即,0 或或则则 , 0sin kkg.)(是是测测地地线线曲曲线线 C推论推论2 2切，切，如果两曲面沿一曲线相如果两曲面沿一曲线相并且此曲

10、线是其中并且此曲线是其中一个曲面的测地线，一个曲面的测地线，.的测地线的测地线那么它也是另一个曲面那么它也是另一个曲面证：证：若该曲线是直线，若该曲线是直线，)1(.测地线测地线则它必是另一个曲面的则它必是另一个曲面的若该曲线非直线，若该曲线非直线，)2(由已知，由已知，共的切平面，共的切平面，两曲面沿这条曲线有公两曲面沿这条曲线有公因而沿这条曲线，因而沿这条曲线， 它们的法线重合，它们的法线重合，只有一条，只有一条，而曲线在一点的主法线而曲线在一点的主法线重合时，重合时，线与两曲面之一的法线线与两曲面之一的法线所以当这条曲线的主法所以当这条曲线的主法线重合，线重合，同时必与另一曲面的法同时必

11、与另一曲面的法知，知，由命题由命题3.面面的的测测地地线线这这条条曲曲线线也也是是另另一一个个曲曲推论推论1 1./)(nr 的曲线是测地线的曲线是测地线不含逗留点不含逗留点曲面上曲面上. 1例例.地线地线球面上的大圆一定是测球面上的大圆一定是测球心，球心，因为大圆的主法线通过因为大圆的主法线通过.因而重合于球面的法线因而重合于球面的法线. 2例例线的测地线是曲率线线的测地线是曲率线证明曲面上一条异于直证明曲面上一条异于直.它是平面曲线它是平面曲线证：证：是是异异于于直直线线的的测测地地线线，设设曲曲线线)(C,/n 则则,n 即即求导得：求导得：两边对弧长两边对弧长s,n 即即nk )( 又

12、又是是曲曲率率线线，若若曲曲线线)(C由由罗罗德德里里格格定定理理得得：rdkndN rknN 即即 Nk 式式得得：代代入入)( Nkk 得得：两两边边点点乘乘 ，0 .)(是是平平面面曲曲线线曲曲线线 C是是平平面面曲曲线线，若若曲曲线线)(C，则则0 式式得得：代代入入)( nk 即即n/ ，或或rdnd/.)(是是曲曲率率线线曲曲线线 C测地线的方程测地线的方程二二.由由测测地地线线的的特特征征：,/n )2 , 1( , 0 lrnl而而0 lr 从从而而0 lrr jijiijkkjijikijkndsdudsduLrdsdudsdudsudr,22 得得：两两边边点点乘乘lr k

13、jijikijkkldsdudsdudsudg0,22)2 , 1( l kjijikijkkldsdudsdudsudg0,22)2 , 1( l, 0)det( klgg解解，于于是是以以上上方方程程组组只只有有零零0,22 jijikijkdsdudsdudsud)2 , 1( k.地线的微分方程地线的微分方程这就是一般坐标网下测这就是一般坐标网下测对于正交坐标网，对于正交坐标网，公公式式，由由柳柳维维尔尔)(Liouville测地线的微分方程为：测地线的微分方程为： sin1cos1sinln21cosln21GdsdvEdsduuGEvEGdsd sin1cos1sinln21cos

14、ln21GdsdvEdsduuGEvEGdsd.,的一阶线性微分方程组的一阶线性微分方程组和自变量和自变量这是关于三个变数这是关于三个变数svu 若若给给定定初初始始条条件件：,)(,)(,)(000000 svsvusu：则则方方程程组组有有唯唯一一一一组组解解).(),(),(ssvvsuu . 1例例22)()(dvuGduuEI 曲面的第一基本形式为曲面的第一基本形式为求证：求证：曲线是测地线；曲线是测地线； u)1(. 0)()2( uGvu曲线是测地线曲线是测地线证：证：曲线而言，曲线而言，对对 u)1(, 0)( s 由已知，由已知，, 0)(ln vuE代代入入柳柳维维尔尔公公

15、式式得得： sinln21cosln21uGEvEGdsdkug . 0 .曲线是测地线曲线是测地线 u曲线而言，曲线而言，对对 v)2(,2)( s由已知，由已知，, 0)(ln vuE代代入入柳柳维维尔尔公公式式得得： sinln21cosln21uGEvEGdsdkvg uGE ln21uGGE121 0 vgkv曲线是测地线曲线是测地线. 0)( uGu定理定理1 1，及曲面的一个切方向及曲面的一个切方向给定曲面上任一点给定曲面上任一点)(0dP证：证：).(0dP的测地线切于该方向的测地线切于该方向则存在唯一一条过点则存在唯一一条过点测地线的微分方程为：测地线的微分方程为：0,22

16、jijikijkdsdudsdudsud)2 , 1( k，处的一个切方向处的一个切方向和点和点给定曲面上一点给定曲面上一点)(),(020100dPuuP,0201 dsdudsdu即即：方程组的一个初始条件方程组的一个初始条件相当于给出了上述微分相当于给出了上述微分2 , 1,000 kdsdudsduuusskkkk时时存在唯一性定理，存在唯一性定理，由二阶微分方程组解的由二阶微分方程组解的.是唯一存在的是唯一存在的满足这个初始条件的解满足这个初始条件的解也就是说，也就是说，)(:)(suuCkk 存在唯一一条曲线存在唯一一条曲线.,)()(),(020102010 dsdudsduds

17、usuP，并且切于切方向，并且切于切方向过点过点命题命题，同同切切方方向向的的一一切切曲曲线线中中在在曲曲面面上上同同一一点点具具有有相相证：证：，以测地线的曲率为最小以测地线的曲率为最小.向向的的法法截截线线的的曲曲率率测测地地线线的的曲曲率率等等于于同同方方，由定理由定理1测测地地线线，已已知知切切方方向向必必有有唯唯一一的的在在曲曲面面上上过过同同一一定定点点沿沿，同同切切方方向向的的一一切切曲曲线线中中而而曲曲面面上上同同一一点点具具有有相相，它们都有相同的法曲率它们都有相同的法曲率nk,222gnkkk 时时，只只有有0 gk才最小，才最小，k.所以测地线的曲率最小所以测地线的曲率最

18、小.nkk 此时此时.截截线线的的曲曲率率而而后后者者正正是是同同方方向向的的法法问问题题：线线的的曲曲线线是是什什么么曲曲线线？既既是是渐渐近近曲曲线线又又是是测测地地曲曲面面上上,6.3 曲面上的半测地坐标网曲面上的半测地坐标网定义定义曲面上的一个坐标网，曲面上的一个坐标网， 其中一族是测地线，其中一族是测地线，正交轨线，正交轨线，另一族是这族测地线的另一族是这族测地线的则称这个坐标网为则称这个坐标网为.半测地坐标网半测地坐标网注注.)1(为测地平行线为测地平行线测地线的正交轨线也称测地线的正交轨线也称.)2(在曲面上的推广在曲面上的推广的极坐标网的极坐标网是平面上是平面上半测地坐标网半测

19、地坐标网Ox曲线族曲线族 曲线族曲线族 r命题命题给定曲面上一条曲线，给定曲面上一条曲线，网，网，总存在一个半测地坐标总存在一个半测地坐标.中包含给定的一条曲线中包含给定的一条曲线它的非测地坐标曲线族它的非测地坐标曲线族证：证：)(C问题：问题：在半测地坐标网下，在半测地坐标网下，怎样？怎样？曲面的第一基本形式将曲面的第一基本形式将，半测地坐标网是正交网半测地坐标网是正交网, 0 F222GdvEduds 于是于是曲线族为测地线族，曲线族为测地线族，今取今取 u，曲线族为测地平行线族曲线族为测地平行线族 v应满足测地线方程：应满足测地线方程：常数常数曲线曲线则则)( vu0,22 jijiki

20、jkdsdudsdudsud)2 , 1( k时时，但但2 k常常数数， vu2曲曲线线满满足足的的第第二二个个方方程程由由 u0,2222 jijiijdsdudsdudsud即即0222221212211 vvuvvuuuv 得：得：0211 , 0 F, 02211 GEv. 0 vE从从而而. 0)(: uEEuE的的函函数数仅仅是是即即，使使得得在在曲曲面面上上引引进进新新的的参参数数vu, duuu)( vv ，于于是是dvvdduuud ,)( ：曲面的第一基本形式为曲面的第一基本形式为222),(vdvuGudds )(vv 其其中中，常常数数曲曲线线对对)( vvu，有有22

21、udds .曲曲线线的的弧弧长长是是故故 uu行行线线，常常数数的的任任意意两两条条测测地地平平是是测测地地线线和和再再设设 vcucu21曲曲线线则则沿沿任任一一条条 u 21ccuds.12常常数数 cc命题命题标网，标网，上的坐标网为半测地坐上的坐标网为半测地坐如果曲面如果曲面S：的第一基本形式可写为的第一基本形式可写为则曲面则曲面S222),(vdvuGudds 曲曲线线的的弧弧长长，是是此此时时参参数数 uu.)(的的弧弧长长相相等等线线截截得得族族被被任任意意两两条条测测地地平平行行测测地地线线曲曲线线且且 u)(C1cu 2cu )(C，的参数方程为的参数方程为标网的曲线标网的曲

22、线如果再设确定半测地坐如果再设确定半测地坐0)(uuC ，使使得得数数再再在在曲曲面面上上引引进进新新的的参参vu,uu vdvuGv),(0 )(vv 其其中中，于于是是vdvuGvdudud),(,0 ：曲面的第一基本形式为曲面的第一基本形式为202),(),( vuGvdvuGud)(,()(,(),(0vvuGvvuGvuG 其中其中),(),(0vuGvuG 222),(vdvuGudds 222),(vdvuGudds 即即（常常数数）有有：此此时时，对对于于曲曲线线0:)(uuuC ),(),(),(000vuGvuGvuG 1 ，于是上式变为：于是上式变为：22vdds .)(

23、的的弧弧长长是是曲曲线线参参数数Cv之之间间的的弧弧长长为为和和上上介介于于两两测测地地线线并并且且曲曲线线21)(dvdvC 21ddvds.12dd :)(是一条测地线是一条测地线测地坐标网的曲线测地坐标网的曲线如果再进一步选确定半如果再进一步选确定半C0uuu 由测地线方程：由测地线方程：0,1212 jijiijdsdudsdudsud知：知：, 0200122 uuuuuEG. 0),(0 vuGu从从而而结论：结论：,:)(0uuvC 曲线曲线为为取曲面上的一条测地线取曲面上的一条测地线,)(曲线曲线正交的测地线族为正交的测地线族为另取与另取与 uC.则得一半测地坐标网则得一半测地

24、坐标网测地线测地线)(C在此半测地坐标网下，在此半测地坐标网下，简化为简化为曲面的第一基本形式可曲面的第一基本形式可222),(dvvuGduds 满足条件满足条件其中其中),(vuG. 0),(, 1),(00 vuGvuGu的几何意义：的几何意义：参数参数vu,)(上上常数常数曲线或曲线或即即在测地线族在测地线族 vu;1221cccucuv 之之间间的的弧弧长长为为和和曲曲线线介介于于,)(0上上在测地线在测地线uuC .)(1221dddvdvu 之之间间的的弧弧长长为为和和即即两两测测地地线线曲曲线线介介于于两两6.4 曲面上测地线的短程性曲面上测地线的短程性定理定理,QP和和域域内

25、内的的两两点点若若给给定定曲曲面面上上充充分分小小邻邻.,弧弧长长最最短短的的曲曲线线两两点点的的曲曲面面上上的的曲曲线线中中线线段段是是连连结结两两点点在在小小邻邻域域内内的的测测地地则则过过QPQP证：证：.PQ.S)(C，选取一个半测地坐标网选取一个半测地坐标网在曲面在曲面)(S曲线族，曲线族，一测地线族为一测地线族为在内的在内的上包含上包含使曲面使曲面 uCS)()(曲线族，曲线族，它们的正交轨线族为它们的正交轨线族为 v根据上节的结论，根据上节的结论，：曲面的第一基本形式为曲面的第一基本形式为222Gdvduds , 0)( vC 的方程为的方程为不妨设曲线不妨设曲线)0 ,(),0

26、 ,(,21uuQP两两点点的的坐坐标标分分别别为为),(21uu .PQ.S)(C)(C)0 ,(1u)0 ,(2u的弧长为：的弧长为：到到由由于是沿测地线于是沿测地线QPC)(duvGSuuCPQ 212)()(1 21uudu.12uu 两两点点的的任任意意一一条条曲曲线线，是是小小邻邻域域内内连连结结又又设设曲曲线线QPC,)().(uvv 其其方方程程为为：的弧长为：的弧长为：到到由由于是曲线于是曲线QPC)(duvGSuuCPQ 212)()(1，其中其中)(dudvv , 112 vG而而duvGSuuCPQ 212)()(1于是于是 21uudu.12uu .)()()()(C

27、PQCPQSS 即即.0时等号成立时等号成立当且仅当当且仅当 v，曲线曲线常数常数即即但但)(0 uvv.)()(重合重合与与这表明这表明CC.,)(两两点点的的最最短短线线是是连连结结测测地地线线段段QPC6.5 高斯高斯-波涅波涅(Gauss-Bonnet)公式公式问题：问题：,180角角之之和和为为在在平平面面内内，三三角角形形的的内内？如如何何把把它它推推广广到到曲曲面面上上定理定理SG1 2 3 n 1 2 n 21 niiGgGdskKd(Gauss-Bonnet公式公式)引理引理的的边边界界，光光滑滑曲曲线线组组成成单单连连通通条条设设曲曲面面上上Gnn)1( 时时，则则当当适适

28、当当选选定定绕绕行行方方向向.2 绕绕行行一一周周的的总总转转角角为为上上的的单单位位切切向向量量边边界界G )(证证明明略略定理的证明：定理的证明：，在在曲曲面面上上取取正正交交坐坐标标网网 由由柳柳维维尔尔公公式式得得： sinln21cosln21uGEvEGdsdkg sin2cos2EGGGEEdsduv GEGGEEGEdsduv sin2cos2 dsdvEGGdsduEGEdsduv22 dvEGGduEGEddskuvg22 dvEGGduEGEddskuvg22 有有：对对每每个个,2 , 1ni iiiidvEGGduEGEddskuvg2121 求和得：求和得：对对i

29、GuvniGgdvEGGduEGEddski211 平平面面内内的的对对应应区区域域，在在为为令令uvGD则由格林公式则由格林公式 DGdudvvPuQQdvduP)()1( DGdudvvPuQQdvduP)(得得： GuvdvEGGduEGE21dudvEGEEGGDvvuu 21dudvGEEGDvvuu )()(dudvEGGEEGEGDvvuu )()(1 dKG )2(另一方面，另一方面， 由由引引理理得得： 211 niiniid)3()3(),2()1(把把代代入入得得： GuvniGgdvEGGduEGEddski211 )1( GuvdvEGGduEGE21 dKG )2(

30、 GniiGgKddsk 12.21 niiGgGdskKd推论推论1 1是是一一条条光光滑滑闭闭曲曲线线，若若 G .21 niiGgGdskKd则则有有：.2 GgGdskKd推论推论2 2条条测测地地线线组组成成，由由若若nG 则则有有：.21 niiGKd推论推论3 3是是一一个个测测地地三三角角形形，若若 G 则则有有：.31 iiGKd，角形角形即三条测地线围成的三即三条测地线围成的三)(SG1 2 3 1 2 3 1 2 3 )()()(3211 nii331 ii )(是是测测地地三三角角形形的的内内角角i .31 iiGKd在在平平面面上上，, 0 K;31 ii；三三角角形

31、形内内角角之之和和小小于于的的曲曲面面上上在在 ,0 K.,0 三三角角形形内内角角之之和和大大于于的的曲曲面面上上在在 K. 内内角角之之和和大大于于如如：任任一一个个球球面面三三角角形形欧欧氏氏几几何何罗罗氏氏几几何何黎黎曼曼几几何何6.6 曲面上向量的平行移动曲面上向量的平行移动问题：问题：在在欧欧氏氏空空间间中中，？能能否否把把它它应应用用到到曲曲面面上上SvP的的向向量量所所谓谓始始点点为为,vP 的的向向量量平平移移于于始始点点为为的的始始点点、终终点点和和是是指指将将vv ,边边形形分分别别相相连连可可得得一一平平行行四四)(如如图图PQvP Q v 平平行行移移动动得得来来的的

32、，是是由由此此时时也也称称vv 在在笛笛卡卡尔尔坐坐标标系系下下，.的的分分量量相相等等和和vv .答答案案：否否.PvPT.P v PT 移移动动曲曲面面上上的的向向量量及及其其平平行行一一.定义定义)(曲曲面面上上的的向向量量场场，上上任任一一点点如如果果对对曲曲面面PS，指指定定唯唯一一的的一一个个向向量量)(Pv.)(上上的的一一个个向向量量场场是是曲曲面面则则称称SPv相相切切，在在点点与与使使PSPv)(S)(C)(tuuii ).(tM)(taa )(taa 向向量量函函数数.)(的的向向量量场场沿沿曲曲线线称称为为曲曲面面CS )(C)(tuuii ).(tM)(taa )(.

33、ttM )(tta )(ta 0)( tad绝绝对对微微分分S)(CM.aM .ada nada 为为沿沿法法线线方方向向的的投投影影向向量量nadan)( nadn)( 为为在在切切平平面面上上的的投投影影向向量量tada)( nadnada)( aD定义定义)(绝绝对对微微分分aDaadat )(anadnada )(nadnad)( .)(的的绝绝对对微微分分移移动动到到沿沿曲曲线线从从点点称称为为向向量量MCMa .称称为为相相应应的的绝绝对对微微商商dtaD注注.)1(切平面上的投影向量切平面上的投影向量处的处的在点在点就是通常微分就是通常微分绝对微分绝对微分MadaD.)2(上的向

34、量上的向量仍为曲面仍为曲面绝对微分绝对微分SaD.)3(微微分分在在曲曲面面上上的的推推广广绝绝对对微微分分是是平平面面上上普普通通在平面上，在平面上，常向量，常向量， n得得由由0)( tan, 0 adnnadnadaD)( .ad 注注.)()1(有关有关念与所选曲线念与所选曲线以上定义的平行移动概以上定义的平行移动概C0)2( aDaadat )(.重合重合投影到切平面上与投影到切平面上与即把即把aada 是平行向量场是平行向量场向量场向量场)()3(ta./nad事事实实上上，为为平平行行向向量量场场向向量量场场)(ta0)( nadnadaDnadnad)( ./nad在在平平面面

35、上上，)4(其其维维塔塔平平行行移移动动向向量量的的勒勒维维 .动动是是一一致致的的与与通通常常意意义义下下的的平平行行移移在平面上，在平面上，.adaD 定义定义)(平平行行向向量量场场的的向向量量场场，上上沿沿曲曲线线为为曲曲面面设设)()(CStaa , 0 aD如如果果.)()(平平行行向向量量场场其其维维塔塔意意义义下下的的勒勒维维为为则则称称向向量量场场 taa.是是平平行行向向量量与与此此时时也也称称adaa 的的向向量量场场，上上沿沿曲曲线线为为曲曲面面设设)2 , 1(),(:)()( ituuCStaaii，的的坐坐标标是是向向量量场场)(),()(21tatataa 2211)()()(rtartata 即即 iiiradad于于是是 iiiiiirdarda ijjijiiiidurarda)( ijjijkkkijiiiidunLrarda)( jijiijkjikjikijiiinduaLrduarda, jijiijkjijikijkknduaLrduad