数值分析--1误差

1、 数值分析是做什么用的？数值分析是做什么用的？数学数学模型模型对复杂的实际问题对复杂的实际问题.),(,)(,ln,xfdxddxxfbxAxaxbax 计算计算方法方法计算机计算机编程编程近似解近似解第一章第一章 误差误差 /* Error */1 误差的背景介绍误差的背景介绍 /* Introduction */1. 来源与分类来源与分类 /* Source & Classification */ 从实际问题中抽象出数学模型从实际问题中抽象出数学模型 模型误差模型误差 /* Modeling Error */ 通过测量得到模型中参数的值通过测量得到模型中参数的值 观测误差观测误差

2、/* Measurement Error */ 求近似解求近似解 方法误差方法误差 (截断误差截断误差 /* Truncation Error */ ) 机器字长有限机器字长有限 舍入误差舍入误差 /* Roundoff Error */1 Introduction: Source & Classificationdxex 102 近近似似计计算算: :例例大家一起猜？大家一起猜？ dxe2x1011 / e解法之一解法之一：将将 作作Taylor展开后再积分展开后再积分2xe 91!4171!3151!21311)!4!3!21(10864210dxxxxxdxe2xS4R4 /*

3、Remainder */,104 Sdxe2x取取则则 111!5191!414R称为称为截断误差截断误差 /* Truncation Error */005091!414.R 这这里里7430024010333014211013114.S 0010200050. | 舍入误差舍入误差 /* Roundoff Error */ |006000100050102.dxe-x 的的总总体体误误差差计计算算= 0.747 由截去部分由截去部分/* excluded terms */引起引起由留下部分由留下部分/* included terms */引起引起1 Introduction: Spread

4、 & Accumulation2. 传播与积累传播与积累 /* Spread & Accumulation */例：例：蝴蝶效应（气象学家洛伦兹，蝴蝶效应（气象学家洛伦兹，1963） 南美洲亚马孙河流域热带雨林中的一只蝴蝶翅膀一拍，偶南美洲亚马孙河流域热带雨林中的一只蝴蝶翅膀一拍，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯引起一尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯引起一场龙卷风？！场龙卷风？！South AmericaTexas以上是一个以上是一个病态问题病态问题 /* ill-posed problem*/ 其原因在于：蝴蝶翅膀的运动，导致其身边的空气系统发生变化

5、，并引起微弱气流的产生，而微弱气流的产生又会引起它四周空气或其他系统产生相应的变化，由此引起连锁反映，最终导致其他系统的极大变化。 此效应说明，事物发展的结果，对初始此效应说明，事物发展的结果，对初始条件具有极为敏感的依赖性，初始条件条件具有极为敏感的依赖性，初始条件的极小偏差，将会引起结果的极大差异。的极小偏差，将会引起结果的极大差异。1 Introduction: Spread & Accumulation.210110,n,dxexeIxnn 例：计算例：计算11 nnInI 公式一：公式一：注意此公式注意此公式精确精确成成立立632120560111100.edxeeIx 记为

6、记为*0I80001050 .IIE则初始误差则初始误差111111110010 nI)e(ndxexeIdxexennnn391414231519594249414122764807131632896000121030592000111088128000101.367879440111415*13*14*12*13*11*12*10*11*9*10*0*1.II.II.II.II.II.II.II ? ! !1 Introduction: Spread & Accumulation考察第考察第n步的误差步的误差nE| )1()1( |*11* nnnnnnInIIIE| !01En|

7、Enn 我们有责任改变。我们有责任改变。造成这种情况的是造成这种情况的是不稳定的算法不稳定的算法 /* unstable algorithm */迅速积累，误差呈递增走势。迅速积累，误差呈递增走势。可见初始的小扰动可见初始的小扰动801050| .E)1(1111nnnnInIInI 公式二：公式二：注意此公式与公式一注意此公式与公式一在理论上在理论上等价等价。方法：先估计一个方法：先估计一个IN , ,再反推要求的再反推要求的In ( n N )。11)1(1 NINeNNNINNeI 11)1(121*可取可取0* NNNIIEN, ,时时当当1 Introduction: Spread

8、& Accumulation632120560)1(11367879440)1(210838771150)1(1110773517320)1(1210717792140)1(1310668702200)1(1410638169180)1(151042746233016116121*1*0*2*1*11*10*12*11*13*12*14*13*15*14*15.II.II.II.II.II.II.II.eI 取取1 Introduction: Spread & Accumulation考察反推一步的误差：考察反推一步的误差：|1)1 (1)1 (1|*1NNNNENININE

9、以此类推，对以此类推，对 n 6 log6，即，即 n 6，应取，应取 * = 3.14159。3 函数的误差估计函数的误差估计 /*Error Estimation for Functions*/问题问题：对于：对于 y = f (x)，若用，若用 x* 取代取代 x，将对，将对y 产生什么影响？产生什么影响？分析分析：e*(y) = f (x*) f (x) e*(x) = x* xMean Value Theorem= f ( )(x* x)x* 与与 x 非常接近时，可认为非常接近时，可认为 f ( ) f (x*) ，则有：，则有：|e*(y)| | f (x*)|e*(x)|即：即

10、：x*产生的误差经过产生的误差经过 f 作用后被放大作用后被放大/缩小了缩小了| f (x*)|倍。故称倍。故称| f (x*)|为为放大因子放大因子 /* amplification factor */ 或或 绝对条件数绝对条件数 /* absolute condition number */.3 Error Estimation for Functions*)()(*| )(|xfyey*er *)(*| )(|xxex*er )(*)(*)(*)(*)(*)(xexfxfxxxxxfxxxxfxfr 相对误差条件数相对误差条件数 /* relative condition number*

11、/ f 的条件数在某一点是的条件数在某一点是小小大大，则称，则称 f 在该点是在该点是好条件的好条件的 /* well-conditioned */ 坏条件的坏条件的 /* ill-conditioned */。注：关于多元函数注：关于多元函数 的讨论，请参阅教的讨论，请参阅教材第材第11、12、13、14页。页。).,(21nx,x,xfy 3 Error Estimation for Functions例例:计算计算 y = ln x。若。若 x 20，则取，则取 x 的几位有效数字可保证的几位有效数字可保证 y 的相对误差的相对误差 0.1% ?*ln| )(*| )(*|*)(*)(*

12、| )(|xxexexyxyxy*errr 解：设截取解：设截取 n 位有效数字后得位有效数字后得 x* x，则，则估计估计 x 和和 y 的相对误差上限满足近似关系的相对误差上限满足近似关系)(*ln)(*yxxrr %1 . 0*ln102111 xan不知道怎么办啊？不知道怎么办啊？可能是可能是1，也可能是，也可能是9，取最坏情况，即取最坏情况，即a1 = 1。 n 4例：计算例：计算 ，取，取 4 位有效，即位有效，即 , 则相对误差则相对误差 9820ln)8920ln(. %.1010029820ln9820ln8920ln5 4 几点注意事项几点注意事项 /* Remarks *

13、/1. 避免相近二数相减避免相近二数相减 (详细分析请参阅教材详细分析请参阅教材p.13)例：例：a1 = 0.12345，a2 = 0.12346，各有，各有5位有效数字。位有效数字。 而而 a2 a1 = 0.00001，只剩下，只剩下1位有效数字。位有效数字。 几种经验性避免方法：几种经验性避免方法：;xxxx ;1lnlnln xxx当当 | x | 1 时：时：;2sin2cos12xx .6121112xxxex更多技巧请见教材第更多技巧请见教材第13页、页、22页习题页习题4。4 Remarks2. 避免小分母避免小分母 : 分母小会造成浮点溢出分母小会造成浮点溢出 /* ove

14、r flow */3. 避免大数避免大数吃吃小数小数例：用单精度计算例：用单精度计算 的根。的根。 010)110(992 xx精确解为精确解为110291 x,x 算法算法1 1：利用求根公式利用求根公式aacbbx242 在计算机内，在计算机内，109存为存为0.1 1010，1存为存为0.1 101。做加法时，做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1 的指数部分须变为的指数部分须变为1010，则：，则：1 = 0.0000000001 1010，取，取单精度时就成为：单精度时就成为： 109+1=0.10000000 1

15、010+0.00000000 1010=0.10000000 1010大数大数吃吃小数小数024,102422921 aacbbxaacbbx4 Remarks算法算法2：先解出先解出 再利用再利用9211024)( aacbbsignbx11010991221 xacxacxx求和时求和时从小到大从小到大相加，可使和的误差减小。相加，可使和的误差减小。例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算1 + 2 + 3 + + 40 + 1094. 先化简再计算，减少步骤，避免误差积累。先化简再计算，减少步骤，避免误差积累。一般来说，计算机处理下列运算的速度

16、为一般来说，计算机处理下列运算的速度为 exp ,5. 选用稳定的算法。选用稳定的算法。HW: p.22-23 #4, #6 , #9Lab 01. Numerical Summation of a Series Produce a table of the values of the series (1)for the 3001 values of x, x = 0.0, 0.1, 0.2, , 300.00. All entries of the table must have an absolute error less than 1.0e-10. This problem is bas

17、ed on a problem from Hamming (1962), when mainframes were very slow by todays microcomputer standards. InputThere is no input.Output The output is to be formatted as two columns with the values of x and (x) printed as in the C fprintf: fprintf(outfile,%6.2f%16.12fn,x,psix); /* hererepresents a space

18、 */ 1)(1)(kxkkx As an example, the sample output below shows 4 acceptable lines out of 3001, which might appear in the output file. The values of x should start at 0.00 and increase by 0.1 until the line with x = 300.00 is output. Sample Output ( represents a space)0.001.6449340668480.101.534607244904.1.001.000000000000.2.000.7500