数字逻辑第1章-数制与编码

1、第一章第一章 数制与编码数制与编码2大纲31.0 引言模拟电子电路数字电子电路数字信号:在时间上和数值上不连续的信号（即离散信号）模拟信号:在时间上和数值上连续的信号。ut电子电路tu对模拟信号进行传输和处理的电子线路称为模拟电子电路。对数字信号进行传输和处理的电子线路称为数字电子电路。也称为逻辑电路。4大纲 1.0 引言引言51.1 进位计数制进位计数制 61.1.1 十进制 基数为10,逢十进一 ,基本数码 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9;相邻高位是低位权的十倍。 位置记数法 : (S )10= (an-1an-2.a1a0a-1a-2.a-m )10（或） 按权展开式: (S )

2、10= an-110n-1+ an-210n-2+.+a1101+a0100+a-110-1+a-210-2+.+a-m10-m7十进制数按权展开式实例 (99.807) D 101 100 10-1 10-2 10- (209.04)10 2102 0101910001014 10281.1.2 二进制 基数为2,逢二进一 ,基本数码 0、1;相邻高位是低位权的二倍。 位置记数法:(S )2 2= (an-1an-2.a1a0a-1a-2.a-m )2 2 (或B) 按权展开式: (S )2 2= an-12 2n-1 + an-22 2n-2+.+a12 21+a02 20+a-12 2-

3、1+a-22 2-2+.+a-m2 2-m9二进制数按权展开式实例 （10011101.101）2 2 + 2 2+2 2+2 2+2 2+2 2+2 2+ 2 2 + 2 2-+2 2-+2 2- （101.101）22 2+2 2+ 2 2 + 2 2-+2 2-+2 2-10二进制数运算规则 加法规则： 0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=0(进位为1) 减法规则： 0-0=0，0-1=1(借位为1)，1-0=1，1-1=0 乘法规则： 00=0，01=0 ，10=0，11=1 除法规则： 0/1=0， 1/1=111二进制加法实例 1 1 0 0 1+ 1 0 1 1 1 1

4、1 012二进制减法实例 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 013二进制乘法实例 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 14二进制除法实例 1 0 1 1 0 1 ) 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 015二进制乘法(1001*1011)1 0 0 11 0 0 11 0 0 11 0 0 11 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1161 0 1 11001*11001*01001*1用移位加法实现(1001*1011)1 0 0 11 0 0 11

5、 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 10 0 0 01 0 0 1+ + 1 1 0 1 1+ 0 1 1 0 1 1赋初值01 0 0 1+ 1001*1二进制除法可用移位减法实现二进制除法可用移位减法实现171.1.3 十六进制 基数为16,逢十六进一 ,基本数码 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F;相邻高位是低位权的十六倍。 位置记数法 : (S )1616= = (an-1an-2.a1a0a-1a-2.a-m )16 16 (或） 按权展开式: (S )1616= an-11616n-1+ an-21616n-2+.+a116161+a0

6、16160+a-11616-1 +a-21616-2+.+a-m1616-m18十六进制实例 (3AF.022)=1616+16161+16160+1616-1 +1616-2+1616- (AF.02)1616=16161+16160+1616-1 +1616-219八进制 基数为8,逢八进一 ,基本数码 0、1、2、3、4、5、6、7;相邻高位是低位权的八倍。 位置记数法 : (S)8 8=(an-1an-2.a1a0a-1a-2.a-m )8 8(或） 按权展开式: (S)8 8= an-18 8n-1+ an-28 8n-2+.+a18 81+a08 80+a-18 8-1 +a-28

7、 8-2+.+a-m8 8-m20八进制实例 (175.302)8 8=8 8+8 8+8 8+8 8-1+8 8-2+8 8- -21任意(r)进制 基数为r,逢r进一 ,基本数码 r个;相邻高位是低位权的r倍。 位置记数法: (S )r=(an-1an-2 .a1a0a-1a-2.a-m )r 按权展开式: (S)r=an-1rn-1+an-2rn-2+. +a1r1+a0r0+a-1r-1 +a-2r-2 + .+a-mr-m22不同进制数对照表(08)十进制数二进制数八进制数十六进制数000000001000101120010022300110334010004450101055601

8、10066701110778100010823不同进制数对照表(915)十进制数二进制数八进制数十六进制数9100111910101012A11101113B12110014C13110115D14111016E15111117F24大纲 1.0 引言引言 1.1 进位计数制进位计数制251.2 数制转换数制转换 1.2.1 1.2.1 二进制数与十进制数的转换二进制数与十进制数的转换 二进制数转换成十进制数二进制数转换成十进制数十进制数转换成二进制数十进制数转换成二进制数 1.2.2 1.2.2 八进制数、十六进制数与二进八进制数、十六进制数与二进制数的转换制数的转换八进制数转换成二进制数八

9、进制数转换成二进制数二进制数转换成八进制数二进制数转换成八进制数十六进制数转换成二进制数十六进制数转换成二进制数二进制数转换成十六进制数二进制数转换成十六进制数26二进制数转换成十进制数 按权展开并相加得到按权展开并相加得到（）（）1 12 26 61 12 25 51 12 23 31 12 20 01 12 2-1-1+1+12 2-2-2（）（）（）（）1 12 26 6+1+12 24 4+1+12 23 31 12 21 1+1+12 20 0+1+12 2-2-2646416160.250.25（91.25)91.25)D D271.2.1 十进制整数转换成二进制数 除除2 2取余

10、取余(143)D=(10001111)B012481735711432222222210001111余数余数28十进制小数转换成二进制数乘取整直到小数部分为乘取整直到小数部分为0 0或达到所要求的精度。或达到所要求的精度。 (0.8125 )10=(0.1101)229转换依据111111111.111二进制数2827262524232221202-12-22-3十进制数二进制转十进制：整数部分乘2，小数部分除2，求总和十进制转二进制：整数部分除2取余，小数部分乘2取整301.2.2 八进制数转换成二进制数 以小数点为中心，分别向左或向右每一位以小数点为中心，分别向左或向右每一位八进制数对应三

11、位二进制数。八进制数对应三位二进制数。（）（）( ( 0 1 0.0 1 0. ) )31二进制数转换成八进制数 以小数点为中心，分别向左或向右每三位以小数点为中心，分别向左或向右每三位二进制数对应一位八进制数，不足部分补二进制数对应一位八进制数，不足部分补。( () )( () )o o32十六进制数转换成二进制数 以小数点为中心，分别向左或向右每一位以小数点为中心，分别向左或向右每一位十六进制数对应四位二进制数。十六进制数对应四位二进制数。（）（）（ ）33二进制数转换成十六进制数 以小数点为中心，分别向左或向右每四位以小数点为中心，分别向左或向右每四位二进制数对应一位十六进制数，不足部分

12、二进制数对应一位十六进制数，不足部分补补（）（） = =（0 00 0 0 0） = =（ ）34大纲 1.0 引言引言 1.1 进位计数制进位计数制 1.2 数制转换数制转换351.3 机器码机器码 1.3.1 真值与机器数 1.3.2 原码表示法 1.3.3 反码表示法 1.3.4 补码表示法 1.3.5 机器数加减运算 1.3.6 十进制数的补数361.3.1 真值与机器数符号位符号位 数值位数值位1 11 10 01 10 0N1=+1011N1=+10111 11 10 01 11 1N2=N2=10111011371.3.2 原码表示法 原码表示法用原码表示法用“0”表示正号，用表

13、示正号，用“1”表示负表示负号，有效值部分用二进制的绝对值表示。以下号，有效值部分用二进制的绝对值表示。以下n均表示字长的有效位。均表示字长的有效位。X(n)X(n)的原码+100101001-100111001381.3.3 反码表示法 位二进制数的反码有位二进制数的反码有N+1位。位。 符号位符号位：最高一位为符号位，正数的符号：最高一位为符号位，正数的符号位用表示，负数的符号位用表示。位用表示，负数的符号位用表示。 数值位数值位：正数的数值位与真值相同、负数：正数的数值位与真值相同、负数的数值位由真值按位求反得到。的数值位由真值按位求反得到。39反码表示X(n)X(n)反码+100101

14、0011001101100.10010.10010.10011.01100.00001.1111401.3.4 补码表示法:最高一位为符号位，正数的符号位最高一位为符号位，正数的符号位用表示，负数的符号位用表示。用表示，负数的符号位用表示。：正数的数值位与真值相同、负数：正数的数值位与真值相同、负数的数值位由真值按位求反最低位加的数值位由真值按位求反最低位加1得到。得到。41补码表示X(n)X(n)反码X(n)补码+10010100101001100110110101110.10010.10010.10010.10011.01101.0111421.3.5 机器数加减运算 原码的运算 原码运算

15、规则 原码运算实例 反码的运算 反码运算规则 反码运算实例 补码的运算 补码运算规则 补码运算实例43原码运算规则 同符号数相加时，先得符号位，数值位再相加；相减时，先比较两数大小得符号位，数值位用绝对值大的数减小的数。44原码运算实例 已知已知 求：；求：；原原原原原原 原原 原原 45反码运算规则 符号位和数值位一起参加运算，符号位的进位与最低数值位再相加。 反反反 反反反46反码运算实例反码运算实例 已知01010110001011 求：； 反=00101011； 反=00001011； -反=11010100；-反=11110100 +反反反 =00101011+00001011=00

16、110110 X+Y=+0110110 -反反-反=00101011+11110100=00100000 X-Y=+0100000 Y-X反Y反-X反=00001011+ 11010100 =11011111 Y-X=-010000047补码运算规则补码运算规则48补码运算实例补码运算实例 已知已知X1= 0.1001,X2=0.0101，求求 X2+X1补补和和X2-X1补补。 X2+X1补补= X2补补+X1补补= 1.1011+0.1001 由于符号位产生了进位，因此，由于符号位产生了进位，因此，要将此进位略去，即要将此进位略去，即X2+X1补补= 0.0100 运算结果的符号位为运算结

17、果的符号位为0，说明是，说明是正数的补码，补码与原码相同。正数的补码，补码与原码相同。由于其符号位为由于其符号位为0,则其真值为则其真值为X2+X1= 0.010049补码运算实例补码运算实例 X2-X1补= X2补+-X1补= 1.1011+1.0111 由于符号位产生了进位，因此，要将此进位略去，即X2-X1补= 1.0010 运算结果的符号位为1，说明是负数的补码，应对补码求补后才能得到原码，即X2-X1原= 1.1110 由于其符号位为1,则其真值为X2-X1= -0.111050 对对1010的补数的补数 对的补数对的补数51对对1010的补数的补数 十进制“对10的补数”与二进制的

18、补码类似。 符号位：正数用表示，负数用表示。 数值位：正数与真值相同；负数按位对求补，最低位加。 N1365 N1100365 N2=-365 N210963552用对用对1010的补求的补求123+456123+456 123+456123+4561010补补 =+123 =+123 1010补补+456 +456 1010补补 =0123+0456=0123+0456 =0579 =057953用对用对1010的补求的补求123-456123-456 123-456123-4561010补补 =+123 =+123 1010补补+-456 +-456 1010补补 =0123+9544=0

19、123+9544 =9667 =966754用对用对1010的补求的补求456-123456-123 456-123456-1231010补补 =+456=+4561010补补+-123+-1231010补补 =0456+9877=0456+9877 =0333 ( =0333 (符号位进符号位进1 1舍掉）舍掉）55用对用对1010的补求的补求5678-1235678-123 5678-1235678-1231010补补 = = 5678-01235678-01231010补补 =+5678 =+5678 1010补补+-0123 +-0123 1010补补 =05678+99877=056

20、78+99877 =05555 =0555556对的补数对的补数 十进制十进制“对的补数对的补数”与二进制的反码类与二进制的反码类似。似。 符号位：正数用表示，负数用表示符号位：正数用表示，负数用表示。 数值位：正数与真值相同；负数按位对数值位：正数与真值相同；负数按位对求补。求补。 N1365 N10365 N2=-365 N2963457用对用对9 9的补求的补求123+456123+456 123+456123+4569 9补补 =+123 =+123 9 9补补+456 +456 9 9补补 =0123+0456=0123+0456 =0579 =057958用对用对9 9的补求的补求

21、123-456123-456 123-456123-4569 9补补 =+123 =+123 9 9补补+-456 +-456 9 9补补 =0123+9543=0123+9543 =9666 =966659用对用对9 9的补求的补求456-123456-123 456-123456-1239 9补补 =+456=+4569 9补补+-123+-1239 9补补 =0456+9876=0456+9876 =10333 =10333 （符号位产生的进位在最低位需求和运算）（符号位产生的进位在最低位需求和运算）=033360大纲 1.0 引言引言 1.1 进位计数制进位计数制 1.2 数制转换数制

22、转换 1.3 机器码机器码61 1.4.1 数的定点表示 1.4.2 数的浮点表示621.4.1 数的定点表示 将小数点固定在符号位将小数点固定在符号位d d0 0之后，数值最高位之后，数值最高位d d-1-1之前。之前。其数据的表示范围随机器码表示其数据的表示范围随机器码表示方法的不同而不一样。方法的不同而不一样。格式如下：格式如下： d d0 0d d-1-1d d-2-2d d-(n-1)-(n-1). . . . . .63定点整数 将小数点固定在数的最低位之后，其数据将小数点固定在数的最低位之后，其数据的表示范围随机器码表示方法的不同而不的表示范围随机器码表示方法的不同而不一样。格式

23、如下：一样。格式如下：d0d1d2d(n-1).641.4.2 数的浮点表示 小数点的位置不固定小数点的位置不固定或说是浮动的称为浮或说是浮动的称为浮点表示。机器码中部点表示。机器码中部分字段表示阶码，部分字段表示阶码，部分字段表示尾数。分字段表示尾数。 阶码阶码尾数尾数尾符尾符阶符阶符 阶阶码码尾尾数数阶码不包括阶符尾数不包括尾符65浮点数的优点 浮点表示速度快、数域广、精度高。 16位浮点机器，5位阶码补码表示(含1位阶符)，11位尾数补码表示(含1位尾符)，则其数域为： 1215 2-162-16 2-102-16=2-26 (1-2-15) 215215 16位定点小数机器其数域为：

24、2-15=1-2-15 66大纲 1.0 引言引言 1.1 进位计数制进位计数制 1.2 数制转换数制转换 1.3 机器码机器码 1.4 数的定点和浮点表示数的定点和浮点表示67 6869二进制数二进制数84218421码码余码余码24212421码码54215421码码708421BCD码 用四位自然二进制码中的前十个码字来表示十进制数码。 由于8421码中的每一位的权是固定不变的，它属于恒权代码。恒权码的按权展开式如下： S= a3W3+a2W2+a1W1+a0W0，其中 W3 = 23 = 8 W2 = 22 = 4 W1 = 21 = 2 W0 = 20 = 1 因各位的权值依次为8、

25、4、2、1，故称8421BCD码。711001的按权展开示例 8421BCD码1001按权展开式为： 18+04+02+11= 9注意：在注意：在8421BCD码中，码中，不允许出现不允许出现1010，1011，1100，1101，1110，1111这六个这六个代码。代码。 在十进制中，没有数码同它们对应。在十进制中，没有数码同它们对应。72余3码 余3码是一种特殊的8421码，它是由8421BCD码加3后形成的，所以叫做余3码。 余余3码是一种对的自补码。码是一种对的自补码。 如果两个十进制数相加为如果两个十进制数相加为9，则它们的余，则它们的余3码按位求反得到。码按位求反得到。 余余3码的

26、各位无固定的权。码的各位无固定的权。730111余3码示例 十进制数7在8421BCD码中是0111。 其余3码为： 0111 0011（加3） 1010+742421码755421码76思考题 (34.56)(34.56)D D的的8421BCD8421BCD码，余码，余3 3码，码，24212421码和码和54215421码分别为码分别为多少？多少？77思考题答案 (34.56)(34.56)D D=(00110100.01010110)8421BCD码码=(01100111.10001001)余余3码码=(00110100.10111100)2421码码=(00110100.100010

27、01)5421码码781.4.2 可靠性编码 格雷码格雷码 (Gray )79格雷码 (Gray ) 格雷码又叫循环码，它有多种编码形式，但它们有一个共同的特点，就是。十进制0123456789格雷码000000010011001001100111010101001100110180格雷码与二进制数的转换 格雷码转为二进制数格雷码转为二进制数 二进制数转为格雷码二进制数转为格雷码81二进制数转为格雷码 设二进制数为B=BnBn-1B1B0，其对应的格雷码为G=GnGn-1G1G0，则: Gn=Bn Gi=Bi+1 Bi i = 0,1,2, ,n-1 以四位为例以四位为例: G4=B4 G3=

28、B4 B3 G2=B3 B2 G1=B2 B1820101和1001转换成格雷码83二进制数转换成格雷码示例1=(183)D=(184)D84格雷码转为二进制数 设格雷码为G=GnGn-1G1G0 ，其对应的二进制数为B=BnBn-1B1B0，则: 以四位为例以四位为例:iiinnGBBGB11,., 2 , 1 , 0ni12341212342323434344GGGGGBBGGGGBBGGGBBGB851100和0111转换成二进制数86110011010转换成二进制数1 1 0 0 1 1 0 1 01 1 0 0 1 1 0 1 01 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0

29、 0 1 1=(275)1=(275)D D87 这种代码由两部分组成:。 奇偶校验码能检验出二进制信息在传送过程中出现的一位错误。88十进制数码的奇偶校验码十进制数码十进制数码信息码信息码奇校验码奇校验码偶校验码偶校验码0 01 12 23 34 45 56 67 78 89 9000000000001000100100010001100110100010001010101011001100111011110001000100110011 00001 00000 00010 00010 00100 00101 00111 00110 01000 01001 01011 01011 01101

30、 01100 01110 01110 10000 10001 10011 10010 00000 00001 00011 00011 00101 00100 00110 00111 01001 01000 01010 01010 01100 01101 01111 01111 10001 10000 10010 100189F FX X1 1X X2 2X X3 3X Xn n接收端接收端90偶校验实例（1011）偶偶校校验验位位发发生生器器101110111 1101110111 110111011偶偶校校验验位位检检测测器器10111011正确正确出错出错1 110101 11 10 01

31、 11 10 01 1911.4.3 字符代码字符代码92LSDB3B2B1B0MSD B6B5B400000101001110010111011100000NUKDLESP0P、p10001SOHDC1!1AQaq20010STXDC2“2BRbr30011ETXDC3#3CS c s40100EOTDC4$4DT d t50101ENQNAK%5EU e u60110ACKSYN&6FV f v70111BELETB,7GW g w81000RSCAN(8HX h x91001HTEM)9IY I yA1010LFSUB*:JZ j zB1011VTESC+;K kC1100FFF

32、SN nF1111SIUS/?O oDEL93大纲 1.0 引言引言 1.1 进位计数制进位计数制 1.2 数制转换数制转换 1.3 机器码机器码94小结 数制，数据转换，码制及二进制代码的基本方法和概念。 进位计数制（基数和位权） 数制转换（多项式代替法和基数乘除法） 机器码（原码，反码和补码） 定点和浮点 8421BCD码，余3码和2421码；格雷码和奇偶校验码。95习题一解答 1.1（1）（4517.2394517.239）1010 =4 =410103 3+5+510102 2+1+110101 1+7+710100 0+2+21010- -1 1+3+31010-2 -2 +9+91

33、010-3-3（2 2）（）（10110.010110110.0101）2 2=1=12 24 4+0+02 23 3+1+12 22 2+1+12 21 1+0+02 20 0+0+02 2-1 -1 +1+12 2-2 -2 +0+02 2-3-3+1+12 2-4-4961.1(3,4)（3 3）（）（325.744325.744）8 8=3=38 82 2+2+28 81 1+5+58 80 0+7+78 8-1-1+4+48 8-2-2+4+48 8-3-3（4 4）（）（785.4AF)16785.4AF)16=7=716162 2+8+816161 1+5+516160 0+4+

34、41616-1-1+A+A1616- -2 2+F+F1616-3-3971.2(1,2) （1 1）10111+101.10110111+101.101 10111+ 101.101= 11100.101 （2 2）1100-111.0111100-111.011 1100.000 - 0111.011= 100.101981.2(3) （3 3）10.0110.011.011.01 10.01 10.01 1.011.01 1001 1001 0000 0000 1001 1001 10.1101 10.1101 991.2(4) （4 4）1001.00011001.000111.101

35、11.101 10.1 10.111101 )1001000.111101 )1001000.1 1110111101 11101 11101 1110111101 0 0 1001.3(1) (1)(1110101)B=(64+32+16+4+1)D=117=(165)O=(75)H1011.3(2) (2)(0.110101) B=(0.5+0.25+0.0625+0.015625)D=0.828125=(0.65)O=(0.D4)H1021.3(3) (3)(10111.01) B=(16+4+2+1+0.25)D=23. 25=(27.2)O=(17. 4)H1031.4(1) (29

36、)D=(11101)B=(35)o=(1D)H29/2=14 114/2=7 07/2=3 13/2=1 1=0 11041.4(2),p8 (2)(0.207)D(0. 001101)B=(0.15)o=(0.34)H0.207*2=0.414 00.414*2=0.828 00.828*2=1.656 10.656*2=1.312 10.312*2=0.624 00.624*2=1.248 11051.4(3) (3)(33.333)D=(100001. 010101)B=(41.25)o=(21.54)H33/2=16 116/2=8 08/2=4 04/2=2 02/2=1 0=1 1

37、0.333*2=0.666 00.666*2=1.332 10.332*2=0.664 00.664*2=1.328 10.328*2=0.656 00.656*2=1.312 11061.5 b b1 1b b0 0同为同为0 0时能整除，否则不能。时能整除，否则不能。1071.6(1) (1)0.10110.10110.1011原原=0.1011=0.1011反反=0.1011=0.1011补补=0.1011=0.10111081.6(2) (2)0.0000 0.0000 0.0000原原=0.0000=0.0000反反=0.0000=0.0000补=0.0000=0.00001091.

38、6(3) (3)-10110 -10110 -10110原原=110110=110110 -10110 -10110反反=101001=101001 -10110 -10110补=101010=1010101101.7 NN原原=1.1010 =1.1010 NN反反=1.0101 =1.0101 N=-0.1010N=-0.10101111.8(1) （1 1）0000101-00110100000101-00110100000101-00110100000101-0011010原原=10010101=10010101 0000101-00110100000101-0011010反反=000

39、0101=0000101反反+-0011010+-0011010反反 =00000101+11100101=11101010=00000101+11100101=111010100000101-00110100000101-0011010补补=0000101=0000101补补+-0011010+-0011010补补 =00000101+11100110=11101011=00000101+11100110=111010111121.8（2） （2 2）0.010110-0.1001100.010110-0.1001100.010110-0.1001100.010110-0.100110原原=1.010000=1.0100000.010110-0.1001100.010110-0.100110反反=0.010110=0.010110反反+-0