第二章2.2.2 第1课时

1、2.2.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质标准方程标准方程 (ab0)(ab0) (ab0)(ab0)图形图形范围范围_2222xy1ab2222yx1ab-axa,-byb-axa,-byb-bxb,-aya-bxb,-aya椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质标准方程标准方程 (ab0)(ab0) (ab0)(ab0)对称性对称性对称轴对称轴:_;:_;对称中心对称中心:_:_焦点焦点F F1 1_,F_,F2 2 _ _F F1 1 _ ,F_ ,F2 2 _焦距焦距|F|F1 1F F2 2|=_|=_|F|F1 1F F2 2|=_|=_顶点顶点A A1 1_,A_,A2

2、 2 _;_;B B1 1 _,B_,B2 2 _A A1 1 _,A_,A2 2 _;_;B B1 1 _,B_,B2 2 _轴长轴长长轴长轴|A|A1 1A A2 2|=_;|=_;短轴短轴|B|B1 1B B2 2|=_|=_长轴长轴|A|A1 1A A2 2|=_;|=_;短轴短轴|B|B1 1B B2 2|=_|=_离心率离心率e=e=_e=_e=_坐标轴坐标轴(0,0)(0,0)(-c,0)(-c,0)(c,0)(c,0)(0,-c)(0,-c)(0,c)(0,c)2c2c2c2c(-a,0)(-a,0)(a,0)(a,0)(0,-b)(0,-b)(0,b)(0,b)(0,-a)(

3、0,-a)(0,a)(0,a)(-b,0)(-b,0)(b,0)(b,0)2a2a2b2b2a2a2b2b(0,1)(0,1)(0,1)(0,1)2222xy1ab2222yx1abcaca判断判断:(:(正确的打正确的打“”,”,错误的打错误的打“”)”)(1)(1)椭圆的顶点是椭圆与坐标轴的交点椭圆的顶点是椭圆与坐标轴的交点.(.() )(2)(2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a+ca+c.(.() )(3)(3)椭圆的离心率椭圆的离心率e e越接近于越接近于1,1,椭圆越圆椭圆越圆.(.() )提示提示: :(1)(1)错误错误. .只有椭圆方程是标准

4、方程时只有椭圆方程是标准方程时, ,此说法才正确此说法才正确, ,而而此处并未说明是标准方程此处并未说明是标准方程, ,故不正确故不正确. .(2)(2)正确正确. .椭圆上的点到焦点的距离的最大值为椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a+ca+c, ,最小值为最小值为a-c.a-c.(3)(3)错误错误. .离心率离心率e e越接近于越接近于1,1,即即c c越大越大, ,这时这时b b越小越小, ,椭圆越扁椭圆越扁. .答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)【知识点拨【知识点拨】对椭圆几何性质的六点说明对椭圆几何性质的六点说明(1)(1)椭圆的焦点决定了椭圆的位置椭圆的焦点决定了椭

5、圆的位置. .在在ab0ab0时时, ,方程方程的焦点在的焦点在x x轴上轴上, ,方程方程 的焦点在的焦点在y y轴上轴上. .(2)(2)椭圆的范围决定了椭圆的大小椭圆的范围决定了椭圆的大小, ,即椭圆即椭圆 位于四位于四条直线条直线x=x=a,ya,y= =b b围成的矩形内围成的矩形内. .2222xy1ab2222yx1ab2222xy1ab(3)(3)椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度, ,具体影响如下具体影响如下: :(4)(4)椭圆是轴对称与中心对称图形椭圆是轴对称与中心对称图形, ,具体如下具体如下: :(5)(5)椭圆的长轴和短轴都是线段椭圆的

6、长轴和短轴都是线段, ,并不是直线并不是直线, ,所以它们有长度所以它们有长度, ,长轴长是长轴长是2a,2a,短轴长是短轴长是2b.2b.(6)(6)在椭圆中在椭圆中,a,b,c,a,b,c都具有实际的具体意义都具有实际的具体意义, ,其中其中a a长半轴长长半轴长, ,b b短半轴长短半轴长, ,c c半焦距半焦距. .它们之间的关系是它们之间的关系是a a2 2-b-b2 2=c=c2 2. .类型类型 一一 利用标准方程研究几何性质利用标准方程研究几何性质 【典型例题【典型例题】1.(20131.(2013北京高二检测北京高二检测) )椭圆椭圆x x2 2+8y+8y2 2=1=1的短

7、轴的端点坐标的短轴的端点坐标是是( () )A.(0,- ),(0, )A.(0,- ),(0, )B.(-1,0),(1,0)B.(-1,0),(1,0)C.(2 ,0),(-2 ,0)C.(2 ,0),(-2 ,0)D.(0,2 ),(0,-2 )D.(0,2 ),(0,-2 )2.2.设椭圆方程为设椭圆方程为mxmx2 2+4y+4y2 2=4m(m0)=4m(m0)的离心率为的离心率为 , ,试求椭圆试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标. .2424222212【解题探究【解题探究】1.1.题题1 1中的方程是标准形式吗中的方程是标准

8、形式吗? ?如何在标准形式如何在标准形式下区分焦点所在的坐标轴下区分焦点所在的坐标轴? ?2.2.题题2 2中的方程首先应如何处理中的方程首先应如何处理? ?能判断出焦点的位置吗能判断出焦点的位置吗? ?探究提示探究提示: :1.1.题题1 1中的方程不是椭圆的标准形式中的方程不是椭圆的标准形式, ,标准形式是标准形式是(mn(mn且且m0,n0).m0,n0).当当mn0mn0时时, ,焦点在焦点在x x轴上轴上, ,当当nm0nm0时时, ,焦点在焦点在y y轴上轴上. .2.2.首先把此方程化成标准形式首先把此方程化成标准形式, ,因为不确定焦点的位置因为不确定焦点的位置, ,故需要讨论

9、处理故需要讨论处理. .22xy1mn【解析【解析】1.1.选选A.A.把方程化为标准形式得把方程化为标准形式得焦点在焦点在x x轴上轴上,b,b2 2= ,b= ,b= , ,故椭圆短轴的端点坐标为故椭圆短轴的端点坐标为(0,(0, ). ).22xy1,1181824242.2.椭圆方程可化为椭圆方程可化为(1)(1)当当0m40m4m4时时,a= ,b=2,c= ,a= ,b=2,c= ,e= e= 解得解得m=m=a= c=a= c=椭圆的长轴的长和短轴的长分别为椭圆的长轴的长和短轴的长分别为 ,4,4,焦点坐标为焦点坐标为F F1 1( ),F( ),F2 2( ),( ),顶点坐标

10、为顶点坐标为A A1 1( ),( ),A A2 2 ( ),( ),B B1 1(-2,0),B(-2,0),B2 2(2,0).(2,0).mm4cm41,a2m163,4 3,32 3,38 332 30,32 30,34 30,34 30,3【拓展提升【拓展提升】确定椭圆的几何性质的四个步骤确定椭圆的几何性质的四个步骤(1)(1)化标准化标准: :把椭圆方程化成标准形式把椭圆方程化成标准形式. .(2)(2)定位置定位置: :根据标准方程分母大小确定焦点位置根据标准方程分母大小确定焦点位置. .(3)(3)求参数求参数: :写出写出a,ba,b的值的值, ,并求出并求出c c的值的值.

11、 .(4)(4)写性质写性质: :按要求写出椭圆的简单几何性质按要求写出椭圆的简单几何性质. .【变式训练【变式训练】求椭圆求椭圆64x64x2 2+25y+25y2 2=400=400的长轴长、短轴长、焦距、的长轴长、短轴长、焦距、离心率、焦点和顶点坐标离心率、焦点和顶点坐标. .【解析【解析】椭圆的方程可化为椭圆的方程可化为16 ,16 ,焦点在焦点在y y轴上轴上, ,并且长半轴长并且长半轴长a=4,a=4,短半轴长短半轴长b=b=半焦距半焦距长轴长长轴长2a=8,2a=8,短轴长短轴长2b=5,2b=5,焦距焦距2c= .2c= .离心率离心率e= ,e= ,焦点坐标为焦点坐标为(0,

12、- ),(0, ),(0,- ),(0, ),顶点坐标为顶点坐标为(- ,0),( ,0),(0,-4),(0,4).(- ,0),( ,0),(0,-4),(0,4).22xy1,251642545,2222539cab16,4239c39a83923925252类型类型 二二 利用几何性质求标准方程利用几何性质求标准方程【典型例题【典型例题】1.(20131.(2013宜春高二检测宜春高二检测) )焦距为焦距为6,6,离心率离心率e= ,e= ,焦点在焦点在x x轴上轴上的椭圆的标准方程是的椭圆的标准方程是( () )A. B.A. B.C. D.C. D.2.(20132.(2013大理

13、高二检测大理高二检测) )已知椭圆的长轴长是短轴长的已知椭圆的长轴长是短轴长的2 2倍倍, ,且经过点且经过点A(2,0),A(2,0),求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程. .22xy14522xy1162522xy15422xy1251635【解题探究【解题探究】1.1.如果只给离心率的值如果只给离心率的值, ,方程能够确定吗方程能够确定吗? ?2.2.题题2 2中椭圆的焦点的位置是确定的吗中椭圆的焦点的位置是确定的吗? ?探究提示探究提示: :1.1.方程不能确定方程不能确定. .离心率的值只决定扁平程度离心率的值只决定扁平程度, ,不能确定椭圆不能确定椭圆的方程的方程. .2.2.题中给

14、出的条件只是定量条件题中给出的条件只是定量条件, ,并不能确定焦点位置并不能确定焦点位置, ,所以所以解题时应分情况讨论解题时应分情况讨论. .【解析【解析】1.1.选选D.D.由条件知由条件知2c=62c=6且且 解得解得c=3,a=5,c=3,a=5,从而从而b b2 2=a=a2 2-c-c2 2=16.=16.又又椭圆焦点在椭圆焦点在x x轴上轴上, ,所以椭圆的标准所以椭圆的标准方程为方程为2.2.若椭圆的焦点在若椭圆的焦点在x x轴上轴上, ,设椭圆方程为设椭圆方程为 (ab0),(ab0),椭圆过点椭圆过点A(2,0), =1,a=2.A(2,0), =1,a=2.2a=22a=

15、22b,b=1,2b,b=1,方程为方程为 +y+y2 2=1.=1.若椭圆的焦点在若椭圆的焦点在y y轴上轴上, ,设椭圆方程为设椭圆方程为 =1(ab0),=1(ab0),c3,a522xy1.25162222xy1ab24a2x42222yxab椭圆过点椭圆过点A(2,0),A(2,0),b=2,b=2,由由2a=22a=22b,a=4,2b,a=4,方程为方程为综上所述综上所述, ,椭圆的标准方程为椭圆的标准方程为 +y+y2 2=1=1或或 =1.=1.222041,ab22yx1.1642x422yx164【互动探究【互动探究】1.1.题题1 1中中, ,把把“焦点在焦点在x x轴

16、上轴上”去掉去掉, ,结果如何结果如何? ?【解析【解析】焦点可能在焦点可能在x x轴上轴上, ,也可能在也可能在y y轴上轴上, ,由于由于a=5,ba=5,b2 2=16,=16,故标准方程为故标准方程为 或或22xy1251622yx1.25162.2.题题2 2中中, ,把把“经过点经过点A(2,0)”A(2,0)”改为改为“焦点为焦点为(2,0)”,(2,0)”,结果如何结果如何? ?【解析【解析】焦点为焦点为(2,0),(2,0),椭圆的焦点在椭圆的焦点在x x轴上且轴上且c=2,c=2,由条件知由条件知2a=22a=22b,2b,a=2b.a=2b.又又a a2 2-b-b2 2

17、=c=c2 2, ,(2b)(2b)2 2-b-b2 2=4,=4,即即b b2 2= ,a= ,a2 2= ,= ,椭圆的标准方程为椭圆的标准方程为4316322xy1.16433【拓展提升【拓展提升】1.1.根据几何性质求椭圆方程的两个关键根据几何性质求椭圆方程的两个关键2.2.求椭圆标准方程的一般方法及步骤求椭圆标准方程的一般方法及步骤(1)(1)基本方法基本方法: :待定系数法待定系数法. .(2)(2)一般步骤一般步骤: :类型类型 三三 与离心率有关的问题与离心率有关的问题 【典型例题【典型例题】1.(20131.(2013大理高二检测大理高二检测) )椭圆椭圆 的离心率为的离心率

18、为( () )22xy11681132A. B. C. D.32322.(20122.(2012江西高考江西高考) )椭圆椭圆 (ab0)(ab0)的左、右顶点的左、右顶点分别是分别是A,B,A,B,左、右焦点分别是左、右焦点分别是F F1 1,F,F2 2. .若若|AF|AF1 1|,|F|,|F1 1F F2 2|,|F|,|F1 1B|B|成等比数列成等比数列, ,则此椭圆的离心率为则此椭圆的离心率为( () )A.A. B. B. C.C. D. -2 D. -23.3.椭圆椭圆 (ab0)(ab0)的右顶点是的右顶点是A(a,0),A(a,0),其上存在一点其上存在一点P,P,使使

19、APO=90APO=90, ,求椭圆的离心率的取值范围求椭圆的离心率的取值范围. .2222xy1ay1ab【解题探究【解题探究】1.1.利用公式求离心率的关键是什么利用公式求离心率的关键是什么? ?2.2.椭圆的长轴上的顶点到焦点的距离如何表示椭圆的长轴上的顶点到焦点的距离如何表示? ?3.3.求离心率的取值范围的关键是什么求离心率的取值范围的关键是什么? ?探究提示探究提示: :1.1.利用公式求离心率的关键是准确确定利用公式求离心率的关键是准确确定a a和和c c的值的值. .2.2.长轴的顶点到相应焦点的距离为长轴的顶点到相应焦点的距离为a-c,a-c,到另一

20、侧焦点的距离为到另一侧焦点的距离为a+ca+c. .3.3.求离心率的取值范围的关键是建立求离心率的取值范围的关键是建立a,b,ca,b,c的齐次不等关系式的齐次不等关系式. .【解析【解析】1.1.选选D.D.方程方程 中中,a,a2 2=16,c=16,c2 2=16-8=8,=16-8=8,离心率离心率2.2.选选B.B.因为因为A,BA,B为左、右顶点为左、右顶点,F,F1 1,F,F2 2为左、右焦点为左、右焦点, ,所以所以|AF|AF1 1|=a-c,|F|=a-c,|F1 1F F2 2|=2c,|BF|=2c,|BF1 1|=a+c|=a+c. .又因为又因为|AF|AF1

21、1|,|F|,|F1 1F F2 2|,|,|BF|BF1 1| |成等比数列成等比数列, ,所以所以(a+c)(a-c(a+c)(a-c)=4c)=4c2 2, ,即即a a2 2=5c=5c2 2, ,所以离心率所以离心率e=e=22xy1168c2 22e.a425.53.3.设设P(x,yP(x,y),),由由APO=90APO=90知知:P:P点在以点在以OAOA为直径的圆上为直径的圆上. .圆的方程是圆的方程是:(x- ):(x- )2 2+y+y2 2=( )=( )2 2y y2 2=ax-x=ax-x2 2 又又P P点在椭圆上点在椭圆上, ,故故: : 把把代入代入得得:

22、: (a(a2 2-b-b2 2)x)x2 2-a-a3 3x+ax+a2 2b b2 2=0.=0.a2a22222xy1ab2222xaxx1ab故故(x-a)(a(x-a)(a2 2-b-b2 2)x-ab)x-ab2 2=0,=0,xa,x0 xa,x0 又又0 xa,0 xa,0 a0 a2b2b2 2aa2 2a a2 22ce又又0e1,0e1,故所求的椭圆离心率的取值范围是故所求的椭圆离心率的取值范围是 e1.e4,k+44,但当但当k0k0时时,k+44,k+40,m=4.4,m0,m=4.解得解得e=e=2ym32522123.23.3.椭圆椭圆25x25x2 2+9y+9

23、y2 2=225=225的长轴长、短轴长、离心率依次是的长轴长、短轴长、离心率依次是( () )A.5,3,0.8A.5,3,0.8 B.10,6,0.8 B.10,6,0.8C.5,3,0.6C.5,3,0.6 D.10,6,0.6 D.10,6,0.6【解析【解析】选选B.B.把椭圆的方程写成标准形式为把椭圆的方程写成标准形式为 知知a=5,b=3,c=4.a=5,b=3,c=4.2a=10,2b=6, =0.8.2a=10,2b=6, =0.8.22xy1,925ca4.4.椭圆椭圆6x6x2 2+5y+5y2 2=30=30上的点到其焦点的距离的最大值是上的点到其焦点的距离的最大值是, ,最小值是最小值是. .