第五章(第1节)多自由度系统的振动

1、多自由度系统概多自由度系统概述述 多自由度系统是指有限个自由度的系统。多自由度系统是指有限个自由度的系统。 任何复杂的工程实际振动问题都可以简化或离散任何复杂的工程实际振动问题都可以简化或离散化为多自由度系统的振动问题。化为多自由度系统的振动问题。 多自由度系统的振动方程一般是一组相互耦合的多自由度系统的振动方程一般是一组相互耦合的常微分方程组。在系统微幅振动的情况下，这组微分方常微分方程组。在系统微幅振动的情况下，这组微分方程式是线性常系数的。程式是线性常系数的。 线性多自由度系统存在与自由度数相等的多个固线性多自由度系统存在与自由度数相等的多个固有频率。有频率。 每个固有频率对应于系统的一

2、种特定的振动形态，每个固有频率对应于系统的一种特定的振动形态，称为称为固有振型（或固有振型（或模态）。模态）。 系统以任一固有频率进行的振动为主振动。系统以任一固有频率进行的振动为主振动。 多自由度系统概述多自由度系统概述求解方法求解方法（1 1）振型叠加法）振型叠加法它是通过坐标变换，使耦它是通过坐标变换，使耦合的运动微分方程转化为一组新坐标下的相互独立的运合的运动微分方程转化为一组新坐标下的相互独立的运动微分方程，对已经解耦的每一个方程就像单自由度系动微分方程，对已经解耦的每一个方程就像单自由度系统一样地可以独立求解，然后进行坐标的反变换，求得统一样地可以独立求解，然后进行坐标的反变换，求

3、得原坐标的振动响应解。方法。原坐标的振动响应解。方法。 矩阵方法是一种很适合进行多自由度系统的振动矩阵方法是一种很适合进行多自由度系统的振动分析和计算的方法，它可以把大量的方程组处理为简洁分析和计算的方法，它可以把大量的方程组处理为简洁的符号，并为求解提供规则的算法。的符号，并为求解提供规则的算法。（2 2）直接积分法）直接积分法是通过直接积分微分方程求出方程的是通过直接积分微分方程求出方程的数值解。较为复杂的多自由度系统振动的分析计算需要数值解。较为复杂的多自由度系统振动的分析计算需要由计算机来求解问题的数值解。由计算机来求解问题的数值解。 建立多自由度系统微分方程的方法建立多自由度系统微分

4、方程的方法 建立多自由度振动系统微分方程，一般采用两种主建立多自由度振动系统微分方程，一般采用两种主要方法。要方法。 牛顿力学方法：牛顿力学方法：分析力学方法：分析力学方法： 这种方法必须考虑约束反力并画出物体系统的受力这种方法必须考虑约束反力并画出物体系统的受力图，对于一些简单问题，采用这种方法比较直观简便。图，对于一些简单问题，采用这种方法比较直观简便。 这种方法首先应该合理选取系统的广义坐标，然后这种方法首先应该合理选取系统的广义坐标，然后根据拉格朗日方程等分析力学方法，建立系统的运动方根据拉格朗日方程等分析力学方法，建立系统的运动方程，由于这种方法仅涉及动能、势能和功等标量形式的程，由

5、于这种方法仅涉及动能、势能和功等标量形式的物理量，对于复杂的多自由度振动系统建立运动微分方物理量，对于复杂的多自由度振动系统建立运动微分方程较为方便。程较为方便。应用牛顿力学建立多自由度系统微分方程应用牛顿力学建立多自由度系统微分方程 例例5.1 考虑图考虑图5.1-1(a)的三个自由度系统，的三个自由度系统，应用牛顿第二定律导出系统的运动微分方程。设应用牛顿第二定律导出系统的运动微分方程。设弹簧是线性的，阻尼是粘性的。弹簧是线性的，阻尼是粘性的。 解：解：如图如图5.1-1(a)所示，坐标所示，坐标q1，q2，q3分别分别表示表示m1，m2，m3偏离其各自平衡位置的水平位移，偏离其各自平衡位

6、置的水平位移，而而Q1，Q2，Q3是相应的外激励。是相应的外激励。图 5.1-1应用牛顿力学建立多自由度系统微分方程应用牛顿力学建立多自由度系统微分方程 为了用牛顿第二定律导出运动方程，分别作出质量为了用牛顿第二定律导出运动方程，分别作出质量m1，m2，m3的受力图，如图的受力图，如图5.1-1(b)所示。对质量所示。对质量mi(i=1, 2, 3)应用牛顿第二定律可导出运动微分方程应用牛顿第二定律可导出运动微分方程 )()(1221221111111qqkqqcqkqcQqm )()()()(233233122122222qqkqqcqqkqqcQqm )()(233233333qqkqqc

7、Qqm 图 5.1-1应用牛顿力学建立多自由度系统微分方程应用牛顿力学建立多自由度系统微分方程改写成下列形式改写成下列形式1221212212111)()(Qqkqkkqcqccqm 23323212332321222)()(Qqkqkkqkqcqccqcqm 33323332333Qqkqkqcqcqm 此式可用矩阵形式表达为此式可用矩阵形式表达为 MqCqKqQ其中各矩阵和列阵分别为其中各矩阵和列阵分别为1230000,00mmmM1222233330,0cccccccccC1222233330,0kkkkkkkkkK应用牛顿力学建立多自由度系统微分方程应用牛顿力学建立多自由度系统微分方程

8、123,qqqq123,qqqq123,qqqq123QQQQ其中其中M、C和和K分别称为质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，分别称为质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，q、 、 和和Q分别称为位移向量、速度向量、加速度向量分别称为位移向量、速度向量、加速度向量和外激励向量。显然可见，和外激励向量。显然可见，M、C、K为对称矩阵。为对称矩阵。q q 应用牛顿力学建立系统的运动微分方程，必须画应用牛顿力学建立系统的运动微分方程，必须画受力图，为此常常要引入那些未知的约束反力，因此对受力图，为此常常要引入那些未知的约束反力，因此对于较为复杂的系统，显得很繁琐。于较为复杂的系统，显得很繁琐。应用拉格朗日方程建立

9、多自由度系统微分方程应用拉格朗日方程建立多自由度系统微分方程考虑有阻尼系统，其拉格朗日方程形式为考虑有阻尼系统，其拉格朗日方程形式为 应用拉格朗日方程建立多自由度系统的运动微分应用拉格朗日方程建立多自由度系统的运动微分方程，不必引入那些不用知道的未知约束反力，从能量方程，不必引入那些不用知道的未知约束反力，从能量观点上统一建立起来系统的动能观点上统一建立起来系统的动能T、势能、势能U和功和功W之间的之间的标量方程，在应用上带来了不少方便。标量方程，在应用上带来了不少方便。 )(ddtQqUqTqTtjjjj), 2 , 1(nj(5.1-1)式中式中qj和和 为振动系统的广义坐标和广义速度，为

10、振动系统的广义坐标和广义速度，T为系统为系统的动能，它是广义速度的二次型，的动能，它是广义速度的二次型，U为系统的势能，它为系统的势能，它是广义坐标的二次型，是广义坐标的二次型，Qj(t)为对应于广义坐标为对应于广义坐标qj的除有的除有势力以外的其它非有势力的广义力，势力以外的其它非有势力的广义力，n为系统的自由度为系统的自由度数目。数目。 jq 应用拉格朗日方程建立多自由度系统微分方程应用拉格朗日方程建立多自由度系统微分方程 应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程的主要步骤如下：的主要步骤如下：判断系统的自由度数，并适当选取广义坐标，判断系统的自由度数，

11、并适当选取广义坐标，其数目和自由度数相同；其数目和自由度数相同；计算系统的动能和势能；计算系统的动能和势能；计算非有势力所对应的各广义坐标的广义力；计算非有势力所对应的各广义坐标的广义力；将求得的动能、势能和广义力代入拉格朗日方将求得的动能、势能和广义力代入拉格朗日方程中进行运算，即可得到系统的运动微分方程。程中进行运算，即可得到系统的运动微分方程。应用拉格朗日方程建立多自由度系统微分方程应用拉格朗日方程建立多自由度系统微分方程 例例5.1-2 如图如图5.1-2所示的平板刚体由四根弹簧连接，所示的平板刚体由四根弹簧连接，被限制在图示光滑水平面内运动，图示位置为平衡位置，被限制在图示光滑水平面

12、内运动，图示位置为平衡位置，且弹簧为原长。已知质量为且弹簧为原长。已知质量为m，转动惯量为，转动惯量为Io。试导出。试导出微幅运动的微分方程。微幅运动的微分方程。 解：解：取刚体质心取刚体质心O点偏离平衡点偏离平衡位置的位置的x，y和刚体绕质心的转角和刚体绕质心的转角 为广义坐标，为广义坐标，即即321,qyqxq系统的动能为系统的动能为22221)(21oIyxmT取平衡位置为取平衡位置为势能零点，系统的势能为势能零点，系统的势能为244233222211)(21)(21)(21)(21aykaykaxkaxkU图5.1-2应用拉格朗日方程建立多自由度系统微分方程应用拉格朗日方程建立多自由度

13、系统微分方程计算拉格朗日方程中各项导数如下：计算拉格朗日方程中各项导数如下：1122d,0,()()dTTUmxk xakxatxxx3344d,0,()()dTTUmykyakyatyyy11222333444d,0d()()()()oTTItUk xakxaakyaakyaa应用拉格朗日方程建立多自由度系统微分方程应用拉格朗日方程建立多自由度系统微分方程代入拉格朗日方程代入拉格朗日方程(5.1-1)得系统运动微分方程为得系统运动微分方程为0)()(221121akakxkkxm 0)()(443343akakykkym 1 122334422221 1223344()()()0oIk ak

14、 axk ak ayk ak ak ak a写成矩阵形式写成矩阵形式MqKq0应用拉格朗日方程建立多自由度系统微分方程应用拉格朗日方程建立多自由度系统微分方程其中质量矩阵和刚度矩阵为其中质量矩阵和刚度矩阵为121 12234334422221 12233441 122334400000000ommIkkk ak akkk ak ak ak ak ak ak ak ak ak aMK位移向量为位移向量为Txyq应用拉格朗日方程建立多自由度系统微分方程应用拉格朗日方程建立多自由度系统微分方程第一阶主振型第一阶主振型第第二二阶阶主主振振型型第三阶主振型第三阶主振型应用拉格朗日方程建立多自由度系统微分

15、方程应用拉格朗日方程建立多自由度系统微分方程 例例5.1-3 如图如图5.1-3所示的质量块所示的质量块m，可沿光滑水平，可沿光滑水平面滑动，其右侧与刚度为面滑动，其右侧与刚度为k的弹簧相连，左侧与阻尼系的弹簧相连，左侧与阻尼系数为数为c的阻尼器相连，并在质量块的阻尼器相连，并在质量块m上作用一水平外激励上作用一水平外激励Q。摆锤重。摆锤重m1，由一长为，由一长为l的无重刚杆与滑块的无重刚杆与滑块m以铰相连，以铰相连，并只能在图示铅垂面内摆动。试列出此系统的振动微分并只能在图示铅垂面内摆动。试列出此系统的振动微分方程。方程。 解：解：以平衡时质量以平衡时质量块块m的质心的质心O点为坐标原点为坐

16、标原点。以点。以q1=x和和q2=为广义为广义坐标，则质点坐标，则质点m1坐标为坐标为sin1lxxcos1ly 图 5.1-3应用拉格朗日方程建立多自由度系统微分方程应用拉格朗日方程建立多自由度系统微分方程系统动能为系统动能为)(2121212112yxmxmT即即cos21)(21122121x lmlmxmmT 摆锤摆锤m1所受重力所受重力m1g和弹簧反力和弹簧反力kx为有势力，滑块为有势力，滑块m所受重力所受重力mg与光滑面的反力相平衡。与光滑面的反力相平衡。以平衡位置为势以平衡位置为势能的零位置，则系统势能为能的零位置，则系统势能为2121)cos1 (kxglmU 外激励外激励Q与

17、阻尼力与阻尼力 为非有势力，它们与广义坐为非有势力，它们与广义坐标标q1和和q2对应的广义力分别为对应的广义力分别为xc0,21QxcQQ应用拉格朗日方程建立多自由度系统微分方程应用拉格朗日方程建立多自由度系统微分方程计算拉格朗日方程各项导数如下：计算拉格朗日方程各项导数如下： 2111d()cossin ,d0,Tmm xmlmltxTUkxxx211111dcossin ,dsin ,sinTmlmlxmlxtTUmlxm gl 代入拉格朗日方程代入拉格朗日方程(5.1-1)得系统运动微分方程为得系统运动微分方程为0sincossincos)(11212111glmx lmlmQkxxclmlmxm